Zermelo Ernest

Matematycy Odsłon: 1037

Rodzicami Ernesta Zermelo byli Ferdynand Zermelo oraz Maria Augusta Elżbieta Ziegler. Jego ojciec był profesorem collegu, zatem Zermelo dorastał w rodzinie, która popierała jego kształcenie akademinckie. Do szkoły średniej uczęszczał do Gimnazjum Luisenstadtisches w Berlinie, które ukończył w 1889 r. W tych czasach popularne było wśród studentów niemieckich kształcenie się na kilku różnych uczelniach, i tak też postąpił Zermelo. Jego studia odbywały się na trzech uniwersytetach: Berlińskim, Halle i Fryburdzkim. Przedmiot jego studiów obejmował szeroki wachlarz dziedzin, od matematyki, po fizykę i filozofię.

Na tych uniwersytetach uczęszczał na wykłady prowadzone przez Frobeniusa, Lazarusa, Fuchsa, Plancka, Schmidta, Schwarza oraz Edmunda Husserla. Były to wybitne osobistości świata naukowego, wykładowcy inspirujący swych słuchaczy do pogłębiania wiedzy, i Zermelo po uzyskaniu pierwszego stopnia rozpoczął badania matematyczne. Obronił doktorat w 1894 r., kiedy to Uniwersytet Berliński odznaczył go stopniem za rozprawę pt. "Badania rachunku wariacyjnego" , która była kontynuacją wprowadzenia do obliczeń wariacji według Weierstrassa. W tej rozprawie rozwinął metodę Weierstrassa extremów całek w rodzinie krzywych na przypadek funkcji podcałkowych zależnych od pochodnych dowolnego rzędu. W tym samym czasie wysnuł ostrożną definicję pojęcia otoczenia w przestrzeni krzywych.

Po uzyskaniu doktoratu Zermelo pozostał na Uniwersytecie Berlińskim, gdzie został asystentem Plancka, który dzierżył wówczas kierownictwo nad katedrą fizyki teoretycznej. Na tym etapie uwaga Zermelego skierowała się w stronę matematyki stosowanej, i pod opieką naukowa Plancka rozpoczął przygotowania do habilitacji, studiując hydrodynamikę. W 1897 r. Zermelo udał się do Gottingen, prawdopodobnie wiodącego wówczas ośrodka badań matematycznych na świecie, gdzie habilitował się w 1899 r., broniąc swoją rozprawę której tematem były badania hydrodynamiczne. Zaraz po uzyskaniu stopnia został wykładowcą w Gottingen, zawdzięczając to swemu wkładowi do mechanizmów statystyki, jak też do rachunku wariacji.

Kierunek zainteresowań Zermelego wkrótce uległ zasadniczym zmianom. W 1878 r. Cantor opublikował hipotezę continuum, która przypuszczała, że każdy nieskończony podzbiór zbioru nieskończonego i nieprzeliczalnego jest albo przeliczalny, albo ma moc continuum. Waga tego zagadnienia została dostrzeżona przez Hilberta, który przedstawił hipotezę continuum jako pierwszy na liście problemów ogłoszonych przez niego na odczycie w Paryżu w 1900 r. Dla Hilberta było to fundamentalne zagadnienie, z którym matematyka musi się zmierzyć w najbliższym dziesięcioleciu, i poszedł jeszcze dalej w swych propozycjach metod rozwikłania hipotez. Zasugerował, że rozwiązanie pierwszego problemu powinno być w stanie dać dowód na inne założenie Cantora, mianowicie, że każdy zbiór może być dobrze uporządkowany.

Zbiór S jest dobrze uporządkowany przez relację < jeśli spełnia ona własności:

• dla każdych elementów a, b ze zbioru S albo a=b, albo a wększe b, albo b mniejsze a.

• dla każdych a, b, c ze zbioru S jeśli a mniejsze b i b mniejsze c to a mniejsze c.

• każdy niepusty podzbiór zbioru S ma element najmniejszy względem tej relacji.

Zbiór liczb naturalnych zgodnie ze zwykłym porządkiem jest zatem zbiorem dobrze uporządkowanym, ale zbiór liczb całkowitych nie jest takim zbiorem, gdyż podzbiór liczb całkowitych ujemnych nie ma najmniejszego elementu.

Zermelo rozpoczął prace nad zagadnieniami teorii zbiorów, odnosząc się po części do zamysłu Hilberta o konieczności uporania się z rozwiązaniem problemu hipotezy continuum. W 1902 r. Zermelo opublikował swą pierwszą pracę na temat teorii zbiorów. Dwa lata później, w 1904 r., odniósł pierwszy sukces na drodze do rozwiązania hipotezy continuum. Dowiódł wówczas, że każdy zbiór może być dobrze uporządkowany. Wyniki prac okryły Zermelego sławą i niebawem przyniosły mu nominację, jako że w grudniu 1905 r. został mianowany profesorem w Gottingen.

Aksjomat wyboru jest podstawą dowodu twierdzenia o możliwości dobrego uporządkowania dowolnego zbioru. W istocie aksjomat wyboru jest ekwiwalentem własności dobrego uporządkowania, więc teraz wiemy, że ten aksjomat nie mógł być nie użyty. Dowód Zermelego opierał się na użyciu aksjomatu wyboru do konstrukcji zbioru poprzez indukcję pozaskończoną. Mimo że Zermelo niewątpliwie zdobył sławę dzięki dowodowi własności dobrego porządku , to jednak nie przysporzyło to użyteczności teorii zbiorów w tamtym czasie, gdyż wielu matematyków nie przyjęło tego typu dowodu, jaki odkrył i zastosował Zermelo. Panowało wówczas silne przeświadczenie, że studia należy skupić na niekonstrukcyjnych partiach matematyki, i naturalnie pomysły Zermelego nie zostały zaakceptowane przez liczne grono matematyków. Dowód poruszył środowisko matematyczne i podniósł wiele głosów krytyki - w większości niesłusznych - które Zermelo elegancko zripostował w Neuer Bewais.

Ponieważ krytyka dała nowe wskazówki, reakcją Zermelego była próba udowodnienia własności dobrego porządku za pomocą dowodu, który zyskałby szersze uznanie. Udało mu się to i wyniki ogłosił w Neuer Bewais. Była to broszura, w której szczególnie zwrócił się do krytyków swojej pracy. Z jednej strony położył nacisk na formalny charakter swojego dowodu, z drugiej zwrócił uwagę, że jego krytycy, jak i inni matematycy, także stosują aksjomat wyboru kiedy przeprowadzają operacje na zbiorach nieskończonych.

W dorobku Zermelego jest jeszcze jeden zasadniczy wkład do aksjomatycznej teorii zbiorów, co częściowo było konsekwencją krytyki jego pierwszego wielkiego wkładu do przedmiotu, a częściowo wypracowany dlatego, iż teoria zbiorów stała się istotnym tematem badań w Gottingen. Paradoksy teorii zbiorów wyszły na jaw pierwszy raz około 1903 r., wraz z publikacją paradoksu Russela. W istocie Zermelo odkrył podobny paradoks związany ze zbiorami, lecz nie opublikował tych osiągnięć. Raczej zwróciło go to ku pierwszym próbom aksjomatyzacji teorii zbiorów, którego to zadania podjął się w roku 1905. Mając gotowy układ aksjomatów chciał jeszcze przed opublikowaniem swej pracy udowodnić, że jego aksjomaty są słuszne, niestety nie powiodło mu się to.

W 1908 r., mimo że nie udało mu się znaleźć dowodu na słuszność, Zermelo opublikował swój układ aksjomatów. Zaproponował siedem aksjomatów: aksjomat jednoznaczności, aksjomat zbiorów elementarnych, aksjomat przecięcia, aksjomat zbioru potęgowego, aksjomat sumy, aksjomat wyboru i aksjomat nieskończoności.

Zermelo miał zwyczaj zapisywać swoje aksjomaty i twierdzenia słowami, a nie symbolami. W istocie na ogół nie używał formalnego języka kwantyfikatorów takich jak używane wówczas odmiany łączników "lub", "i". Zamiast tego stosował zwykłe, potoczne wyrażenia, jak "istnieje" czy "dla wszystkich".

Warto dodać, że około r. 1922 Skolem i Fraenkel niezależnie wprowadzili układ aksjomatów Zermelego. Ostateczny układ z dziesięcioma aksjomatami jest obecnie najpopularniejszym z używanych w aksjomatycznej teorii zbiorów. Umożliwia on wyeliminowanie sprzeczności w teorii zbiorów przed wyprowadzeniem klasycznej teorii, wyłączając paradoksy.

Zermelo opuścił Gottingen w 1910 r., kiedy to zostało mu powierzone kierownictwo nad katedrą matematyki na Uniwersytecie w Zurichu. Jego zdrowie było wątłe, lecz jego stan poprawiła nagroda w wysokości 5000 marek, którą otrzymał za wielkie zasługi w pracach nad teorią zbiorów. Nagrodę przyznano z inicjatywy Hilberta i niewątpliwie miała służyć umożliwieniu Zermelemu odpoczynku i regeneracji podupadłego zdrowia.

Gdy do 1916 r. jego zdrowie nie ulegało poprawie, Zermelo opuścił katedrę w Zurychu i udał się do Schwarzwaldu w Niemczech, gdzie spędził dziesięć lat. W 1926 r. został mianowany honorowym kierownikiem katedry we Fryburgu Bryzgowijskim, lecz utracił stanowisko w 1935 r., ponieważ nie poparł reżimu Hitlera. Po zakończeniu drugiej wojny światowej Zermelo poprosił o przywrócenie mu honorowej pozycji we Fryburgu i w 1946 r. powrócił na stanowisko.