Zadanie 1
Rozwiąż układ równań:
$$
\left\{\begin{array}{c}
y+\frac{1}{y-x^2}=4 \\
\frac{1}{2\left(x^2-y\right)}+\frac{1}{2} y^2=19
\end{array}\right.
$$
Określamy dziedzinę:
D: $$y-x^2 \neq 0$$
$$
\left\{\begin{array}{c}
y+\frac{1}{y-x^2}=4 \\
\frac{1}{-2\left(y-x^2\right)}+\frac{y^2}{2}=19
\end{array}\right.
$$
Podstawiamy nową zmienną:
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{y-x^2}=t, t \in R \\
& \left\{\begin{array}{c}
y+t=4 \\
-\frac{1}{2} t+\frac{y^2}{2}=19 / \cdot 2
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{c}
y+t=4 \\
-t+y^2=38
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
$$\mathrm{Z}$$ pierwszego równania wyznaczamy $$y=4-t$$ i wstawiamy do drugiego równania.
$$
\begin{aligned}
& -t+(4-t)^2=38 \\
& t^2-9 t-22=0 \\
& (t=11 \vee t=-2) \wedge y=4-t
\end{aligned}
$$
Zatem
$$
\begin{aligned}
& (y=-7 \vee y=6) \wedge \frac{1}{y-x^2}=t \\
& \frac{1}{-7-x^2}=11 \vee \frac{1}{6-x^2}=-2 \\
& 1=-77-11 x^2 \vee 1=-12+2 x^2 \\
& 78=-11 x^2 \vee 2 x^2=13 \\
& x \in \varnothing \vee x^2=\frac{13}{2}
\end{aligned}
$$
$$
\left(x=\sqrt{\frac{13}{2}} \vee x=-\sqrt{\frac{13}{2}}\right) \wedge y \neq x^2
$$
Zatem
$$
\text { Odp.: }\left\{\begin{array} { c }
{ x = \sqrt { \frac { 1 3 } { 2 } } } \\
{ y = 6 }
\end{array} \vee \left\{\begin{array}{l}
x=-\sqrt{\frac{13}{2}} \\
y=6
\end{array}\right.\right.
$$
Zadanie 2
Rozwiąż układ równań:
$$
\left\{\begin{array}{c}
2 x^2-y=7-2 \sqrt{2 x^2-y+1} \\
5 x+2 y=7
\end{array}\right.
$$
Zadanie 3
Rozwiąż układ równań:
$$\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2} \sqrt{x+y}+\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x+y}}=0 \\ \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=6\end{array}\right.$$
Zadanie 4
Rozwiąż układ równań:
$$
\left\{\left(\frac{3}{4}\right)^{x-y}-\left(\frac{3}{4}\right)^{y-x}=\frac{7}{12}\right.
$$
$$xy+y=9$$
Zadanie 5
Rozwiąż układ równań:
$$
\left\{\begin{array}{c}
\log _y x-6 \log _x y=5 \\
\log _3 x=2-\log _3 y
\end{array}\right.
$$
Zadanie 6
Rozwiąż układ równań:
$$
\left\{\begin{array}{c}
\frac{1}{y^2-x}=4-y \\
\frac{1}{2\left(x-y^2\right)}+\frac{1}{2} y^2-19=0
\end{array}\right.
$$
Podstawienia: $$\frac{1}{y^2-x}=t, t \in R$$
$$
\text { Odp.: }\left\{\begin{array} { c }
{ x = \frac { 7 3 } { 2 } } \\
{ y = 6 }
\end{array} \vee \left\{\begin{array}{l}
x=\frac{538}{11} \\
y=-7
\end{array}\right.\right.
$$
Zadanie 7
Rozwiąż układ równań:
$$
\left\{\begin{array}{l}
2 \sqrt{x+y}=\frac{1}{\sqrt{x+y}}-1 \\
\frac{6}{3 x-y}+3 x-y-5=0
\end{array}\right.
$$
Podstawienia: $$\sqrt{x+y}=t, t \geq 0$$ oraz $$3 x-y=u, u \in R$$
$$
\text { Odp. }\left\{\begin{array} { c }
{ x = \frac { 9 } { 1 6 } } \\
{ y = - \frac { 5 } { 1 6 } }
\end{array} \text { lub } \left\{\begin{array}{c}
x=\frac{13}{16} \\
y=-\frac{9}{16}
\end{array}\right.\right.
$$
Zadanie 8
Rozwiąż układ równań:
$$
\left\{\begin{array}{c}
\log _{y+1}(x-1)-6 \log _{x-1}(y+1)=5 \\
\log _3(x-1)=2-\log _3(y+1)
\end{array}\right.
$$
Podstawienia: $$\log _{y+1}(x-1)=t, t \in R$$
Odp. $$\left\{\begin{array}{l}x=1+3^{\frac{12}{7}} \\ y=3^{\frac{2}{7}}-1\end{array}\right.$$
