Zadanie 1. [Politechnika Warszawska - 2009 FINAŁ]
Znaleźć wszystkie pary \((x, y)\) liczb rzeczywistych spełniające układ równań
\(
\left\{\begin{array}{l}
\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{7}{\sqrt{x y}}+1 \\
x \sqrt{x y}+y \sqrt{x y}=78
\end{array}\right.
\)
\(\mathrm{Z}\) pierwszego równania otrzymujemy, że \(x, y\) muszą być tego samego znaku (i nie mogą być zerami). Jednak gdy rozważymy drugie równanie i przyjmiemy, że \(x, y\) są ujemne, wtedy lewa strona równania będzie ujemna, a prawa dodatnia sprzeczność.
Stąd wnioskujemy, że \(x, y\) muszą być liczbami dodatnimi. Pomnóżmy pierwsze równanie przez \(\sqrt{x y}\) :
\(
\left\{\begin{array}{l}
x+y=7+\sqrt{x y} \\
\sqrt{x y}(x+y)=78
\end{array}\right.
\)
Podstawmy \(u=x+y, v=\sqrt{x y}\) (oczywiście \(u, v>0\) ):
\(
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
u=7+v \\
u v=78
\end{array}\right. \\
& (7+v) v=78 \\
& v^2+7 v-78=0 \\
& (v-6)(v+13)=0 \\
& v=6 \quad \vee \quad v=-13 \\
&
\end{aligned}
\)
Ale \(v>0\) :
\(
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
v=6 \\
u=13
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
\sqrt{x y}=6 \\
x+y=13
\end{array}\right. \\
& \left\{\begin{array}{l}
x y=36 \\
y=13-x
\end{array}\right. \\
& x(13-x)=36 \\
& x^2-13 x+36=0 \\
& (x-4)(x-9)=0 \\
&
\end{aligned}
\)
Dla \(x=4\) mamy \(y=9\)
Dla \(x=9\) mamy \(y=4\)
Rozwiązaniami są dwie pary: \((x, y)=(4,9),(x, y)=(9,4)\).
Zadanie 2. [Politechnika Warszawska - 2009 FINAŁ]
W trójkącie równoramiennym wysokości względem podstawy i ramienia mają długości \(12 \mathrm{~cm}\) i odpowiednio \(14,4 \mathrm{~cm}\). Obliczyć stosunek promienia koła wpisanego w ten trójkąt do promienia koła na nim opisanego.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
Ponadto niech \(|A B|=a,|B C|=b\), wtedy \(|D B|=\frac{a}{2}\). \(\mathrm{Z}\) tw. Pitagorasa w \(\triangle D B C\):
\(
\begin{aligned}
& \left(\frac{a}{2}\right)^2+12^2=b^2 \\
& b=\sqrt{144+\frac{a^2}{4}}
\end{aligned}
\)
Ponieważ \(\triangle A B E \sim \triangle C D B(\mathrm{k}-\mathrm{k}-\mathrm{k})\), to:
\(
\begin{gathered}
\frac{|A E|}{|A B|}=\frac{|C D|}{|C B|} \\
\frac{14.4}{a}=\frac{12}{\sqrt{144+\frac{a^2}{4}}}
\end{gathered}
\)
Stąd otrzymamy \(a=18\), więc \(b=15\).
Wtedy:
\(
P_{A B C}=\frac{1}{2} a \cdot 12=108
\)
Korzystając ze wzorów:
\(
P_{A B C}=\frac{(a+b+b) r}{2} \quad P_{A B C}=\frac{a b b}{4 R}
\)
Gdzie \(r, R\) to odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego:
\(
\begin{aligned}
& 108=\frac{48 r}{2} \quad 108=\frac{18 \cdot 15 \cdot 15}{4 R} \\
& r=\frac{9}{2} \quad R=\frac{75}{8} \\
&
\end{aligned}
\)
Więc szukany stosunek wynosi:
\(
\frac{r}{R}=\frac{12}{25}
\)
Zadanie 3. [Politechnika Warszawska - 2009 FINAŁ]
W talii złożonej z 52 kart jest po 13 pików, kierów, kar i trefli. W każdym kolorze jest as, król, dama, walet i karty od dziesiątki do dwójki. W grze w pokera fulem nazywamy układ 5 kart składający się z trzech kart tego samego typu oraz pary kart tego samego typu, np.: 3 króle i 2 asy. Wylosowanie dowolnych 5 kart z tej talii jest tak samo prawdopodobne. Jakie jest prawdopodobieńst wo wylosowania fula?
Niech \(\Omega\) - oznacza wszystkie możliwości wylosowania pięciu kart z talii. Oczywiście:
\(
|\Omega|=\left(\begin{array}{c}
52 \\
5
\end{array}\right)
\)
Niech \(A\) - oznacza wszystkie możliwości uzyskania fula.
\(
\text { Wtedy }|A|=\left(\begin{array}{c}
13 \\
1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
4 \\
3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
12 \\
1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
4 \\
2
\end{array}\right) \text {. }
\)
Najpierw wybieramy jedną z trzynastu figur (od 2 do asa), następnie z czterech kolorów dobieramy trzy, w ten sposób otrzymamy trzy karty, które utworzą nam część fula. Następnie wybieramy jedną z dwunastu pozostalych figur, a następnie z czterech kolorów dobieramy dwa.
Stąd szukane prawdopodobieństwo jest równe:
\(
P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\ldots=\frac{4}{4165}
\)
Zadanie 4. [Politechnika Warszawska - 2009 FINAŁ]
Wykazać, że liczba
\(
3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 29 \cdot 40 \cdot 299 \cdot \sin 10^{\circ} \cdot \cos 160^{\circ} \cdot \sin 130^{\circ} \cdot\left[\frac{1}{2} \log _{\frac{1}{2}}(2+\sqrt{3})+\log _{\frac{1}{2}}(\sqrt{6}-\sqrt{2})\right]
\)
jest liczbą naturalną. Ile dzielników będących liczbami naturalnymi ma ta liczba?
Obliczmy (będziemy korzystać ze wzoru \(\sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{2} \sin 2 \alpha\) oraz ze wzorów redukcyjnych):
\(
\begin{gathered}
\sin 10^{\circ} \cos 160^{\circ} \sin 130^{\circ}=\sin 10^{\circ} \cos \left(180^{\circ}-160^{\circ}\right) \sin \left(90^{\circ}+40^{\circ}\right)= \\
=-\sin 10^{\circ} \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ}=-\frac{\cos 10^{\circ} \sin 10^{\circ} \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}= \\
=-\frac{\frac{1}{2} \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}=-\frac{\frac{1}{4} \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}}{\cos ^{\circ}}= \\
=-\frac{\frac{1}{8} \sin 80^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}=-\frac{\frac{1}{8} \cos 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}=-\frac{1}{8}
\end{gathered}
\)
Ponadto:
\(
\begin{gathered}
\frac{1}{2} \log _{\frac{1}{2}}(2+\sqrt{3})+\frac{1}{2} \log _{\frac{1}{2}}(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2=\frac{1}{2}\left(\log _{\frac{1}{2}}(2+\sqrt{3})+\log _{\frac{1}{2}}(6-2 \sqrt{12}+2)\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\log _{\frac{1}{2}}(2+\sqrt{3})+\log _{\frac{1}{2}}(8-4 \sqrt{3})\right)=\frac{1}{2} \log _{\frac{1}{2}}[(2+\sqrt{3}) 4(2-\sqrt{3})]= \\
=\frac{1}{2} \log _{\frac{1}{2}} 4=\log _{\frac{1}{2}} 2=-1
\end{gathered}
\)
Nasza liczba jest więc równa:
\(
M=3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 29 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 23 \cdot\left(-\frac{1}{8}\right) \cdot(-1)=3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 29 \cdot 5 \cdot 13 \cdot 23
\)
Jako iloczyn liczb naturalnych liczba \(M\) jest liczbą naturalną.
Liczbę \(M\) przedstawiliśmy jako iloczyn siedmiu różnych liczb pierwszych.
By utworzyć dzielnik liczby \(M\) musimy wybrać jakiś podzbiór z tych 7 liczb pierwszych i wymnażając liczby z tego podzbioru utworzyć dzielnik (gdy wybierzemy zbiór pusty, przymijmy, że dzielnikiem jest 1). Stąd ilość dzielników liczby \(M\) jest równa ilości podzbiór zbioru 7-elementowego, czyli \(2^7=128\).
Zadanie 5. [Politechnika Warszawska - 2009 FINAŁ]
Dany jest czworościan \(A B C D\) o krawędziach długości: \(|B C|=a\), \(|A C|=b,|A B|=c,|A D|=d,|B D|=e,|C D|=f\). Punkt \(S\) jest środkiem ciężkości trójkąta \(A B C\).
Dowieść, że
\(
|D S|=\frac{1}{3} \sqrt{3 d^2+3 e^2+3 f^2-a^2-b^2-c^2}
\)
Przyjmijmy oznaczenia:
Skoro \(S\) jest środkiem cięzkości trójkąta $A B C\(, to jest to punkt przecięcia się środkowych w tym trójkącie.
- Popatrzmy na przekrój \)B C D\(, oczywiście \)|B E|=\frac{a}{2}\(. \)\mathrm{Z}\( tw. cosinusów w trójkątach: \)B C D\( oraz \)B E D\( otrzymujemy układ równań:
\)
\left\{\begin{array}{l}
|D E|^2=\frac{a^2}{4}+e^2-2 \cdot \frac{a}{2} \cdot e \cos \alpha \\
f^2=a^2+e^2-2 a e \cos \alpha
\end{array}\right.
\(
Mnożymy pierwsze równanie przez 2:
\)
\left\{\begin{array}{l}
2|D E|^2=\frac{a^2}{2}+2 e^2-2 a e \cos \alpha \\
f^2=a^2+e^2-2 a e \cos \alpha
\end{array}\right.
\(
Odejmujemy stronami:
\)
\begin{aligned}
& 2|D E|^2-f^2=-\frac{a^2}{2}+e^2 \\
& |D E|^2=\frac{2 e^2+2 f^2-a^2}{4}
\end{aligned}
\(
- Popatrzmy na przekrój \)B C A\(, w analogiczny sposób wyznaczamy długość \)|A E|\( :
\)
|A E|^2=\frac{2 b^2+2 c^2-a^2}{4}
\(
- Popatrzmy na przekrój \)A E D\(. Oczywiście \)|A S|=\frac{2}{3}|A E|\( (środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli je w stosunku \)2: 1\(, licząc od wierzchołka w trójkącie).
Analogicznie jak wcześniej stosujemy tw. cosinusów dla trójkątów \)A S D\( oraz \)A E D\( :
\)
\left\{\begin{array}{l}
|D S|^2=d^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2|A E|^2-2 d \cdot \frac{2}{3}|A E| \cos \gamma \\
|D E|^2=d^2+|A E|^2-2 d|A E| \cos \gamma
\end{array}\right.
\(
Mnożymy pierwsze równanie przez \)\frac{3}{2}\( i odejmujemy stronami równania:
\)
\frac{3}{2}|D S|^2-|D E|^2=\frac{1}{2} d^2-\frac{1}{3}|A E|^2
\(
Wykorzystując wcześniej obliczone wielkości \)|D E|^2\( oraz \)|A E|^2\( otrzymamy:
\)
\begin{aligned}
& |D S|^2=\frac{1}{9}\left(3 d^2+3 e^2+3 f^2-a^2-b^2-c^2\right) \\
& |D S|=\frac{1}{3} \sqrt{3 d^2+3 e^2+3 f^2-a^2-b^2-c^2}
\end{aligned}
$$
