Indukcja matematyczna - zbiór zadań

Zbiór zadań Odsłon: 17412

Wprowadźmy oznaczenia:
$$\mathrm{L}$$ - lewa strona danej równości
$$\mathrm{P}$$ - prawa strona danej równości
Dla $$n=1$$ dany wzór jest prawdziwy, bo:
$$
L=1+3^1=4 \quad \text { oraz } \quad P=\frac{3^2-1}{2}=4
$$
Załóżmy, że:
$$
1+3^1+3^2+\cdots+3^k=\frac{3^{k+1}-1}{2}, \quad \text { gdzie } \quad k \in N \backslash\{0\} .
$$
Udowodnimy, że:
$$
1+3^1+3^2+\cdots+3^k+3^{k+1}=\frac{3^{k+2}-1}{2}
$$
Przekształcamy lewą stronę powyższej równości:
$$
\begin{aligned}
& 1+3^1+3^2+\cdots+3^k+3^{k+1}=\left(1+3^1+3^2+\cdots+3^k\right)+3^{k+1}= \\
& =\frac{3^{k+1}-1}{2}+3^{k+1}=\frac{3^{k+1}-1+2 \cdot 3^{k+1}}{2}=\frac{3 \cdot 3^{k+1}-1}{2}=\frac{3^{k+2}-1}{2} \\
&
\end{aligned}
$$
Stąd, na mocy zasady indukcji matematycznej, wynika prawdziwość danego wzoru.

Wprowadźmy oznaczenia:
$$\mathrm{L}$$ - lewa strona danej równości
$$\mathrm{P}$$ - prawa strona danej równości
Dla $$n=1$$ dany wzór jest prawdziwy, bo:
$$
L=6 \cdot 1-2=4 \quad \text { oraz } \quad P=1 \cdot(3 \cdot 1+1)=4 .
$$
Zalóżmy, że:
$$
4+10+16+\cdots+(6 k-2)=k(3 k+1), \quad \text { gdzie } \quad k \in N \backslash\{0\}
$$

Udowodnimy, że:
$$
4+10+16+\cdots+(6 k-2)+[6(k+1)-2]=(k+1)[3(k+1)+1]
$$
Pokażemy więc, że:
$$
4+10+16+\cdots+(6 k-2)+6 k+4=(k+1)(3 k+4)
$$
Przekształcając lewą stronę powyższej równości, otrzymujemy (na mocy założenia indukcyjnego):
$$
\begin{aligned}
k(3 k+1)+6 k+4 & =3 k^2+k+6 k+4=3 k^2+7 k+4= \\
& =3\left(k+\frac{4}{3}\right)(k+1)=(3 k+4)(k+1) .
\end{aligned}
$$
Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej, wynika prawdziwość danego wzoru.

Wprowadźmy oznaczenia:
$$\mathrm{L}$$ - lewa strona danej równości
$$\mathrm{P}$$ - prawa strona danej równości
Dla $$n=1$$ dany wzór jest prawdziwy, bo:
$$
L=\frac{1}{(3 \cdot 1-1)(3 \cdot 1+2)}=\frac{1}{10} \quad \text { oraz } \quad P=\frac{1}{2(3 \cdot 1+2)}=\frac{1}{10}
$$
Załóżmy, że:
$$
\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\cdots+\frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}=\frac{k}{2(3 k+2)}
$$
gdzie $$k \in N \backslash\{0\}$$. Udowodnimy, że:
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+ & \frac{1}{8 \cdot 11}+\cdots+\frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}+ \\
& +\frac{1}{[3(k+1)-1][3(k+1)+2]}=\frac{k+1}{2[3(k+1)+2]}
\end{aligned}
$$
Pokażemy więc, że:
$$
\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\cdots+\frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}+\frac{1}{(3 k+2)(3 k+5)}=\frac{k+1}{2(3 k+5)}
$$

Przekształcając lewą stronę powyższej równości, otrzymujemy (na mocy założenia indukcyjnego):
$$
\begin{aligned}
& \frac{k}{2(3 k+2)}+\frac{1}{(3 k+2)(3 k+5)}=\frac{k(3 k+5)+2}{2(3 k+2)(3 k+5)}=\frac{3 k^2+5 k+2}{2(3 k+2)(3 k+5)}= \\
& =\frac{3\left(k+\frac{2}{3}\right)(k+1)}{2(3 k+2)(3 k+5)}=\frac{(3 k+2)(k+1)}{2(3 k+2)(3 k+5)}=\frac{k+1}{2(3 k+5)}
\end{aligned}
$$
Stąd, na mocy zasady indukcji matematycznej, wynika prawdziwość danego wzoru.

Wprowadźmy oznaczenia:
$$\mathrm{L}$$ - lewa strona danej równości
$$\mathrm{P}$$ - prawa strona danej równości

Dla $$n=1$$ dany wzór jest prawdziwy, bo:
$$
L=a^1=a \quad \text { oraz } \quad P=\frac{a\left(a^1-1\right)}{a-1}=\frac{a(a-1)}{a-1}=a, \quad(a \neq 1) .
$$
Załóżmy, że:
$$
a+a^2+a^3+\cdots+a^k=\frac{a\left(a^k-1\right)}{a-1}, \quad \text { gdzie } \quad k \in N \backslash\{0\} \quad \text { i } \quad a \neq 1
$$
Udowodnimy, że:
$$
a+a^2+a^3+\cdots+a^k+a^{k+1}=\frac{a\left(a^{k+1}-1\right)}{a-1} .
$$
Przekształcając lewą stronę powyższej równości, otrzymujemy:
$$
\begin{aligned}
& \frac{a\left(a^k-1\right)}{a-1}+a^{k+1}=\frac{a\left(a^k-1\right)+a^{k+1}(a-1)}{a-1}= \\
& =\frac{a^{k+1}-a+a^{k+2}-a^{k+1}}{a-1}=\frac{a^{k+2}-a}{a-1}=\frac{a\left(a^{k+1}-1\right)}{a-1} \\
&
\end{aligned}
$$
Stąd, na mocy zasady indukcji matematycznej, wynika prawdziwość danego wzoru.

Wprowadźmy oznaczenia:
$$\mathrm{L}$$ - lewa strona danej równości
$$\mathrm{P}$$ - prawa strona danej równości

Udowodnimy, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej prawdziwy jest wzór:
$$
1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}
$$
Dla $$n=1$$ wzór ten jest prawdziwy, bo:
$$
L=1^3=1 \quad \text { oraz } \quad P=\frac{1^2(1+1)^2}{4}=\frac{1 \cdot 4}{4}=1 .
$$
Załóżmy, że:
$$
1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}, \quad \text { gdzie } k \in N \backslash\{0\}
$$
Udowodnimy, że:
$$
1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}
$$
Przekształcając lewą stronę powyższej równości, otrzymujemy (na mocy założenia indukcyjnego):
$$
\begin{gathered}
\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}= \\
=\frac{(k+1)^2\left[k^2+4(k+1)\right]}{4}=\frac{(k+1)^2\left(k^2+4 k+4\right)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{1}
\end{gathered}
$$
Stąd, na mocy zasady indukcji matematycznej, wynika prawdziwuść danego wzoru.
Udowodnimy teraz, że:

$$
(1+2+3+\cdots+n)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}
$$
Ponieważ:
$$
\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2,
$$
więc wystarczy pokazać, że:
$$
1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$

Eatwo sprawdzić, że powyższy wzór jest prawdziwy dla $$n=1$$. Załóżmy, że:
$$
1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}, \quad \text { gdzie } \quad k \in N \backslash\{0\}
$$
Udowodnimy, że:
$$
1+2+3+\cdots+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}
$$
Korzystając z założenia indukcyjnego, otrzymujemy:
$$
\begin{aligned}
1+2+3+\cdots+k+(k+1) & =\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)= \\
& =\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}
\end{aligned}
$$
Zatem wzór:
$$
1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
jest udowodniony. Wykazaliśmy więc, że:
$$
1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=(1+2+3+\cdots+n)^2
$$

Wprowadźmy oznaczenia:
$$\mathrm{L}$$ - lewa strona danej równości
$$\mathrm{P}$$ - prawa strona danej równości

Dla $$n=1$$ dany wzór jest prawdziwy, bo:
$$
L=1^2=1 \quad \text { oraz } \quad P=\frac{1 \cdot(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}=1
$$
Załóżmy, że:
$$
1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}, \quad \text { gdzie } \quad k \in N \backslash\{0\}
$$
Udowodnimy, że:
$$
1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]}{6}
$$
Pokażemy więc, że:
$$
1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2 k+3)}{6}
$$

Korzystając z założenia indukcyjnego, otrzymujemy:
$$
\begin{gathered}
1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}+(k+1)^2= \\
=\frac{k(k+1)(2 k+1)+6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)[k(2 k+1)+6(k+1)]}{6}= \\
=\frac{(k+1)\left(2 k^2+k+6 k+6\right)}{6}=\frac{(k+1)\left(2 k^2+7 k+6\right)}{6}= \\
=\frac{2(k+1)\left(k+\frac{3}{2}\right)(k+2)}{6}=\frac{(k+1)(2 k+3)(k+2)}{6}= \\
=\frac{(k+1)(k+2)(2 k+3)}{6}
\end{gathered}
$$
Stąd, na mocy zasady indukcji matematycznej, wynika prawdziwość danego wzoru.

Dla $$n=1$$ dany wzór jest prawdziwy, bo:
$$
L=4 \cdot 1-3=1 \text { oraz } P=1 \cdot(2 \cdot 1-1)=1
$$
Załóżmy, że:
$$
1+5+9+\cdots+(4 k-3)=k(2 k-1), \quad \text { gdzie } k \in N \backslash\{0\}
$$
Udowodnimy, że:
$$
1+5+9+\cdots+(4 k-3)+[4(k+1)-3]=(k+1)[2(k+1)-1]
$$
Pokażemy więc, że:
$$
1+5+9+\cdots+(4 k-3)+(4 k+1)=(k+1)(2 k+1) .
$$
Korzystając z założenia indukcyjnego, otrzymujemy:
$$
\begin{aligned}
& 1+5+9+\cdots+(4 k-3)+(4 k+1)=k(2 k-1)+(4 k+1)=2 k^2-k+4 k+1= \\
& =2 k^2+3 k+1=2\left(k+\frac{1}{2}\right)(k+1)=(2 k+1)(k+1)=(k+1)(2 k+1) .
\end{aligned}
$$
Stąd, na mocy zasady indukcji matematycznej, wynika prawdziwość danego wzoru.

Dla $$n=1$$ dany wzór jest prawdziwy, bo:
$$
L=(2 \cdot 1-1)^2=1 \quad \text { oraz } \quad P=\frac{1}{3} \cdot\left(4 \cdot 1^2-1\right)=1
$$
Załóżmy, że:
$$
1^2+3^2+5^2+\cdots+(2 k-1)^2=\frac{k}{3}\left(4 k^2-1\right), \quad \text { gdzie } \quad k \in N \backslash\{0\}
$$
Ponieważ:
$$
4(k+1)^2-1=4\left(k^2+2 k+1\right)-1=4 k^2+8 k+4-1=4 k^2+8 k+3
$$
więc udowodnimy, że:
$$
1^2+3^2+5^2+\cdots+(2 k-1)^2+(2 k+1)^2=\frac{k+1}{3}\left(4 k^2+8 k+3\right) .
$$
Korzystając z założenia indukcyjnego, otrzymujemy:
$$
\begin{aligned}
& 1^2+3^2+5^2+\cdots+(2 k-1)^2+(2 k+1)^2=\frac{k}{3}\left(4 k^2-1\right)+(2 k+1)^2= \\
& =\frac{k\left(4 k^2-1\right)+3(2 k+1)^2}{3}=\frac{k(2 k-1)(2 k+1)+3(2 k+1)^2}{3}= \\
& =\frac{(2 k+1)[k(2 k-1)+3(2 k+1)]}{3}=\frac{(2 k+1)\left[2 k^2-k+6 k+3\right]}{3}= \\
& =\frac{(2 k+1)\left(2 k^2+5 k+3\right)}{3}=\frac{2(2 k+1)\left(k+\frac{3}{2}\right)(k+1)}{3}= \\
& =\frac{(2 k+1)(2 k+3)(k+1)}{3}=\frac{\left(4 k^2+6 k+2 k+3\right)(k+1)}{3}= \\
& =\frac{k+1}{3}\left(4 k^2+8 k+3\right) \text {. } \\
&
\end{aligned}
$$
Stąd, na mocy zasady indukcji matematycznej, wynika prawdziwość danego wzoru.

Dla $$n=1$$ dany wzór jest prawdziwy, bo:
$$
L=1 \cdot 1 !=1 \cdot 1=1 \quad \text { oraz } P=(1+1) !-1=2 !-1=2-1=1
$$
Załóżmy, że:
$$
1 \cdot 1 !+2 \cdot 2 !+\cdots+k \cdot k !=(k+1) !-1, \quad \text { gdzie } \quad k \in N \backslash\{0\}
$$
Udowodnimy, że:
$$
1 \cdot 1 !+2 \cdot 2 !+\cdots+k \cdot k !+(k+1)(k+1) !=(k+2) !-1
$$

Korzystając z założenia indukcyjnego, otrzymujemy:
$$
\begin{gathered}
1 \cdot 1 !+2 \cdot 2 !+\cdots+k \cdot k !+(k+1)(k+1) !=(k+1) !-1+(k+1)(k+1) != \\
=(k+1) !(k+1)+(k+1) !-1=(k+1) !(k+1+1)-1= \\
=(k+1) !(k+2)-1=(k+2) !-1 .
\end{gathered}
$$
Dany wzór został więc udowodniony.

Dla $$n=1$$ dany wzór jest prawdziwy, bo:
$$
L=\frac{1}{1 \cdot(1+1)}=\frac{1}{2} \quad \text { oraz } \quad P=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}
$$
Załóżmy, że:
$$
\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}, \quad \text { gdzie } \quad k \in N \backslash\{0\}
$$
Udowodnimy, że:
$$
\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}
$$
Korzystając z założenia indukcyjnego, otrzymujemy:
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{1 \cdot 2}+ & \frac{1}{2 \cdot 3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \\
& =\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^2+2 k+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}
\end{aligned}
$$
Dany wzór został więc udowodniony.