Funkcje wymierne - ciekawe zadania

Zbiór zadań Odsłon: 129

**Krok 1: Założenie i przekształcenie równania:**

Niech \( m = \frac{2x^2 + x}{2x^2 + x + 3} \). Mnożymy obie strony równania przez mianownik \( (2x^2 + x + 3) \):

\[ m(2x^2 + x + 3) = 2x^2 + x \]

Po przekształceniu otrzymujemy:

\[ 2mx^2 + mx + 3m = 2x^2 + x \]

Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę równania:

\[ 2mx^2 - 2x^2 + mx - x + 3m = 0 \]

Redukując wyrazy, otrzymujemy równanie kwadratowe:

\[ (2m - 2)x^2 + (m - 1)x + 3m = 0 \quad (*) \]

**Krok 2: Przypadki szczególne**

- **Przypadek liniowy dla \( m = 1 \):**

Gdy \( m = 1 \), równanie (*) przyjmuje postać:

\[ 3 = 0 \]

Jest to sprzeczność, więc \( m = 1 \) nie spełnia warunków zadania.

- **Przypadek kwadratowy dla \( m \neq 1 \):**

Jeśli \( m \neq 1 \), rozważamy równanie kwadratowe. Aby istniały rozwiązania, delta równania kwadratowego musi być nieujemna, czyli \( \Delta \geq 0 \).

**Obliczamy deltę:**

\[ \Delta = (m - 1)^2 - 4(2m - 2) \cdot 3m \]

Po podstawieniu i uproszczeniu wyrażeń:

\[ \Delta = m^2 - 2m + 1 - 4(6m^2 - 6m) \]

\[ \Delta = m^2 - 2m + 1 - 24m^2 + 24m \]

\[ \Delta = -23m^2 + 22m + 1 \]

Aby równanie miało rozwiązania, delta musi spełniać warunek:

\[ -23m^2 + 22m + 1 \geq 0 \]

**Krok 3: Wyznaczenie przedziału dla \( m \):**

Rozwiązujemy nierówność kwadratową \( -23m^2 + 22m + 1 \geq 0 \). Obliczamy deltę:

\[ \Delta_m = 22^2 - 4(-23)(1) = 484 + 92 = 576 \]

Pierwiastek z delty:

\[ \sqrt{\Delta_m} = 24 \]

\[ m_1 = \frac{-22 - 24}{-46} = 1 \]

\[ m_2 = \frac{-22 + 24}{-46} = \frac{-1}{23} \]

**Krok 4: Zbiór wartości funkcji:**

Zatem zbiór wartości funkcji z uwzględnieniem, że \( m \neq 1 \) to:

\[ ZW = \left< \frac{-1}{23}, 1 \right) \]

**Rozwiązanie:**

1. **Cel analizy mianownika:**

Funkcja \( f(x) \) jest funkcją wymierną, której wartość zależy od mianownika \( x^2 + 4x + 24 \). Zauważmy, że im mniejsza jest wartość mianownika, tym większa jest wartość funkcji \( f(x) \) (ponieważ licznik, czyli \( 40 \), jest stały). Dlatego naszym celem jest znalezienie najmniejszej wartości wyrażenia \( x^2 + 4x + 24 \), ponieważ to zapewni maksymalną wartość funkcji \( f(x) \).

2. **Sprawdzenie, czy mianownik przyjmuje wartość 0:**

Najpierw sprawdzamy, czy istnieje wartość \( x \), dla której mianownik jest równy 0, co mogłoby wyeliminować pewne punkty z dziedziny funkcji. Rozwiązujemy równanie:

\[ x^2 + 4x + 24 = 0 \]

Obliczamy deltę równania kwadratowego:

\[ \Delta = 16 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 16 - 96 = -80 \]

Ponieważ \( \Delta < 0 \), równanie nie ma rozwiązań, a mianownik nigdy nie przyjmuje wartości 0. Oznacza to, że funkcja \( f(x) \) jest określona dla wszystkich \( x \in \mathbb{R} \).

3. **Znajdowanie minimum mianownika:**

Wyrażenie w mianowniku \( x^2 + 4x + 24 \) jest funkcją kwadratową o współczynniku przy \( x^2 \) równym 1, co oznacza, że parabola jest skierowana w górę. Zatem funkcja kwadratowa osiąga minimum w wierzchołku paraboli.

Aby znaleźć wierzchołek paraboli, używamy wzoru:

\[ x_w = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2 \]

4. **Obliczanie wartości mianownika w wierzchołku:**

Obliczamy wartość funkcji kwadratowej \( W(x) = x^2 + 4x + 24 \) dla \( x = -2 \):

\[ W(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 24 = 4 - 8 + 24 = 20 \]

Zatem najmniejsza wartość mianownika wynosi 20.

5. **Obliczanie największej wartości funkcji:**

Znając najmniejszą wartość mianownika, obliczamy największą wartość funkcji \( f(x) \) w punkcie \( x = -2 \):

\[ f(-2) = \frac{40}{20} = 2 \]

6. **Podsumowanie:**

Funkcja \( f(x) \) osiąga największą wartość, gdy mianownik jest najmniejszy, co ma miejsce w punkcie \( x = -2 \). Największa wartość funkcji wynosi 2.

**Odpowiedź:**

Największa wartość funkcji \( f(x) = \frac{40}{x^2 + 4x + 24} \) wynosi **2** i jest osiągana dla argumentu \( x = -2 \).

Zastosujemy **definicję funkcji malejącej**.

### Definicja funkcji malejącej:

Funkcja \( f(x) \) jest **malejąca** na przedziale, jeśli dla dowolnych dwóch punktów \( x_1 \) i \( x_2 \) z tego przedziału, przy założeniu, że \( x_1 < x_2 \), zachodzi:
\[
f(x_1) > f(x_2)
\]

---

### Założenie:
Funkcja \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{2x} \), gdzie \( x_1, x_2 \in (-\infty, -1) \), oraz \( x_1 < x_2 \).

Chcemy udowodnić, że:
\[
f(x_1) > f(x_2)
\]

---

### Rozwiązanie:

1. **Funkcja dla dwóch różnych wartości:**

Zaczynamy od zapisania funkcji \( f(x) \) dla dwóch różnych wartości \( x_1 \) i \( x_2 \), gdzie \( x_1 < x_2 \):
\[
f(x_1) = \frac{x_1^2 + 1}{2x_1} \quad \text{oraz} \quad f(x_2) = \frac{x_2^2 + 1}{2x_2}
\]

Chcemy pokazać, że \( f(x_1) > f(x_2) \).

2. **Różnica wartości funkcji:**

Obliczamy różnicę \( f(x_1) - f(x_2) \), aby zobaczyć, czy ta różnica jest większa od zera:
\[
f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1^2 + 1}{2x_1} - \frac{x_2^2 + 1}{2x_2}
\]

3. **Sprowadzenie do wspólnego mianownika:**

Sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika:
\[
f(x_1) - f(x_2) = \frac{(x_1^2 + 1)2x_2 - (x_2^2 + 1)2x_1}{2x_1 \cdot 2x_2}
\]
\[
= \frac{(x_1^2 + 1)2x_2 - (x_2^2 + 1)2x_1}{4x_1x_2}
\]
\[
= \frac{2x_1^2x_2 + 2x_2 - 2x_2^2x_1 - 2x_1}{4x_1x_2}
\]
\[
= \frac{2x_1(x_1x_2 - 1) - 2x_2(x_1x_2 - 1)}{4x_1x_2}
\]
\[
= \frac{2(x_1 - x_2)(x_1x_2 - 1)}{4x_1x_2}
\]

4. **Analiza wyrażenia:**

Mamy teraz wyrażenie:
\[
f(x_1) - f(x_2) = \frac{(x_1 - x_2)(x_1x_2 - 1)}{2x_1x_2}
\]

W przedziale \( (-\infty, -1) \) zarówno \( x_1 < 0 \), jak i \( x_2 < 0 \). Teraz analizujemy, czy wyrażenie \( (x_1 - x_2)(x_1x_2 - 1) \) jest dodatnie:

- \( x_1 - x_2 < 0 \) (ponieważ \( x_1 < x_2 \)),
- \( x_1x_2 > 1 \) (ponieważ iloczyn dwóch ujemnych liczb z przedziału \( (-\infty, -1) \) jest dodatni, a wartości tych liczb są większe od 1).

Zatem:
\[
(x_1 - x_2)(x_1x_2 - 1) > 0
\]
co oznacza, że:
\[
f(x_1) - f(x_2) > 0
\]

Z tego wynika, że:
\[
f(x_1) > f(x_2)
\]

---

### Wniosek:

Udowodniliśmy, że dla dowolnych \( x_1, x_2 \in (-\infty, -1) \), jeśli \( x_1 < x_2 \), to \( f(x_1) > f(x_2) \). Oznacza to, że funkcja \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{2x} \) jest malejąca w przedziale \( (-\infty, -1) \).