Zadanie 1.
Rozwiąż nierówności:
a) $$\frac{x^2-5 x+6}{x^2+x+1}<0$$; c) $$\frac{x^2+4 x+4}{2 x^2-x-1}>0$$;
b) $$\frac{x^2+2 x-3}{x^2+1}<0$$ d) $$\frac{2 x^2+4 x+4}{x^2-7 x+12}>0$$.
Niech $$D$$ oznacza dziedzinę danej nierówności:
a) W tym przypadku $$D=R$$, ponieważ trójmian $$y=x^2+x+1$$ nie posiada miejsc zerowych. Ponieważ trójmian $$y=x^2+x+1$$ przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc dana nierówność jest równoważna nierówności:
$$
x^2-5 x+6<0
$$
Rozwiązując tą nierówność otrzymujemy $$x \in(2 ; 3)$$.
b) $$D=R$$ (trójmian $$y=x^2+1$$ nie posiada miejsc zerowych). Ponieważ trójmian $$y=x^2+1$$ przyjmuje tylko wartości dodatrie, wiẹc dana nierówność jest równoważna nierówności:
$$
x^2+2 x-3<0
$$
Stąd otrzymujemy: $$x \in(-3 ; 1)$$.
c) $$D=R \backslash\left\{-\frac{1}{2}, 1\right\}$$ (liczby: $$-\frac{1}{2}$$ oraz 1 sà miejscami zerowymi trójmianu $$\left.y=2 x^2-x-1\right)$$. Rozwiązując daną nierówność, otrzymujemy:
$$
\begin{gathered}
\frac{(x+2)^2}{2\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-1)}>0 \\
(x+2)^2\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-1)>0
\end{gathered}
$$
Zatem:
$$
x \in(-\infty ;-2) \cup\left(-2 ;-\frac{1}{2}\right) \cup(1 ;+\infty)
$$
d) $$D=R \backslash\{3,4\}$$ (liczby 3 i 4 są miejscami zerowymi trójmianu wystepującego w mianowniku).
$$
\frac{2\left(x^2+2 x+2\right)}{x^2-7 x+12}>0
$$
Poniewaź trójmian $$y=x^2+2 x+2$$ przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc dana nierównosć jest równoważna nierówności:
$$
x^2-7 x+12>0 .
$$
Stąd $$x \in(-\infty ; 3) \cup(4 ;+\infty)$$
Zadanie 2.
Rozwiąż nierówności:
a) $$\frac{x^2+2}{x+1}<2$$ e) $$2+\frac{3}{x+1}>\frac{2}{x}$$;
b) $$\frac{1+x^3}{x^2-4}<0$$ f) $$\frac{2 x}{x^2-9} \leqslant \frac{1}{x+2}$$;
c) $$\frac{x-1}{x+1}<x$$ g) $$\frac{x}{x-2}>1-\frac{x+4}{x-2}$$;
d) $$\frac{x^2-1}{2 x+5}<3$$ h) $$\frac{2 x-5}{x^2-6 x+8}<-1$$.
Zadanie 3.
Rozwiąż nierówności:
a) $$\frac{13}{x-3}-\frac{3}{x+1}<-4$$
b) $$\frac{3}{x+1}+\frac{7}{x+2}<\frac{6}{x-1}$$;
c) $$\frac{1}{(x+1)^3}>\frac{1}{x+1}$$;
d) $$\frac{4-x}{x-5}>\frac{1}{1-x}$$;
e) $$\frac{x}{x^2-5 x+6}<\frac{1}{x-2}$$;
f) $$\frac{x^2+7 x}{x-2}>x$$
g) $$\frac{x^2+x-4}{2 x-5}<1$$;
h) $$\frac{x^2-5}{x}<x+1$$
Zadanie 4.
Rozwiąż nierówności:
a) $$\left|\frac{2 x-3}{x^2-1}\right| \geqslant 2$$
b) $$\left|\frac{x^2-5 x+3}{x^2-1}\right|<1$$
c) $$0<\frac{x}{x^2-x+1}<1$$;
d) $$-1<\frac{x+1}{x-1}<\frac{3}{x-3}$$.
