Zadanie 1.
Rozwiąż nierówności:
a) \(\frac{x^2-5 x+6}{x^2+x+1}<0\); c) \(\frac{x^2+4 x+4}{2 x^2-x-1}>0\);
b) \(\frac{x^2+2 x-3}{x^2+1}<0\) d) \(\frac{2 x^2+4 x+4}{x^2-7 x+12}>0\).
Niech \(D\) oznacza dziedzinę danej nierówności:
a) W tym przypadku \(D=R\), ponieważ trójmian \(y=x^2+x+1\) nie posiada miejsc zerowych. Ponieważ trójmian \(y=x^2+x+1\) przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc dana nierówność jest równoważna nierówności:
\[
x^2-5 x+6<0
\]
Rozwiązując tą nierówność otrzymujemy \(x \in(2 ; 3)\).
b) \(D=R\) (trójmian \(y=x^2+1\) nie posiada miejsc zerowych). Ponieważ trójmian \(y=x^2+1\) przyjmuje tylko wartości dodatrie, wiẹc dana nierówność jest równoważna nierówności:
\[
x^2+2 x-3<0
\]
Stąd otrzymujemy: \(x \in(-3 ; 1)\).
c) \(D=R \backslash\left\{-\frac{1}{2}, 1\right\}\) (liczby: \(-\frac{1}{2}\) oraz 1 sà miejscami zerowymi trójmianu \(\left.y=2 x^2-x-1\right)\). Rozwiązując daną nierówność, otrzymujemy:
\[
\begin{gathered}
\frac{(x+2)^2}{2\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-1)}>0 \\
(x+2)^2\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-1)>0
\end{gathered}
\]
Zatem:
\[
x \in(-\infty ;-2) \cup\left(-2 ;-\frac{1}{2}\right) \cup(1 ;+\infty)
\]
d) \(D=R \backslash\{3,4\}\) (liczby 3 i 4 są miejscami zerowymi trójmianu wystepującego w mianowniku).
\[
\frac{2\left(x^2+2 x+2\right)}{x^2-7 x+12}>0
\]
Poniewaź trójmian \(y=x^2+2 x+2\) przyjmuje tylko wartości dodatnie, więc dana nierównosć jest równoważna nierówności:
\[
x^2-7 x+12>0 .
\]
Stąd \(x \in(-\infty ; 3) \cup(4 ;+\infty)\)
Zadanie 2.
Rozwiąż nierówności:
a) \(\frac{x^2+2}{x+1}<2\) e) \(2+\frac{3}{x+1}>\frac{2}{x}\);
b) \(\frac{1+x^3}{x^2-4}<0\) f) \(\frac{2 x}{x^2-9} \leqslant \frac{1}{x+2}\);
c) \(\frac{x-1}{x+1}<x\) g) \(\frac{x}{x-2}>1-\frac{x+4}{x-2}\);
d) \(\frac{x^2-1}{2 x+5}<3\) h) \(\frac{2 x-5}{x^2-6 x+8}<-1\).
Zadanie 3.
Rozwiąż nierówności:
a) \(\frac{13}{x-3}-\frac{3}{x+1}<-4\)
b) \(\frac{3}{x+1}+\frac{7}{x+2}<\frac{6}{x-1}\);
c) \(\frac{1}{(x+1)^3}>\frac{1}{x+1}\);
d) \(\frac{4-x}{x-5}>\frac{1}{1-x}\);
e) \(\frac{x}{x^2-5 x+6}<\frac{1}{x-2}\);
f) \(\frac{x^2+7 x}{x-2}>x\)
g) \(\frac{x^2+x-4}{2 x-5}<1\);
h) \(\frac{x^2-5}{x}<x+1\)
Zadanie 4.
Rozwiąż nierówności:
a) \(\left|\frac{2 x-3}{x^2-1}\right| \geqslant 2\)
b) \(\left|\frac{x^2-5 x+3}{x^2-1}\right|<1\)
c) \(0<\frac{x}{x^2-x+1}<1\);
d) \(-1<\frac{x+1}{x-1}<\frac{3}{x-3}\).
