|
GEOMETRIA ANALITYCZNA - trochę teorii
2. Składowa wektora 3. Współrzędne wektora 4. Wersory osi 5. Długość wektora 6. Środek odcinka 7. Równanie okręgu 8. Kąt dwóch wektorów 9. Iloczyn skalarny wektorów Jeśli wektory $$\vec{u} \mathrm{i} \vec{v}$$ mają współrzędne: $$\vec{u}\left[a_1, a_2\right], \vec{v}\left[b_1, b_2\right]$$, to ich iloczyn skalarny wyraża się wzorem: $$\vec{u} \cdot \vec{v}=a_1 b_1+a_2 b_2$$. 10. Wyznacznik pary wektorów 11. Pole trójkąta Jeśli punkty $$A, B, C$$ są wierzchołkami trójkąta, to pole trójkąta wyraża się wzorem: $$P=\frac{1}{2}|d(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C})|=\frac{1}{2}|d(\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C})|=\frac{1}{2}|d(\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C B})|$$ |
Zadanie 1
Oblicz współrzędne punktu $$C$$, mając dane:
a) $$D(4,-2)$$ i $$\overrightarrow{C D}=[1,-4]$$,
b) $$D(-1,4) \quad$$ i $$\quad \overrightarrow{D C}=[a, 2 a]$$,
c) $$D(-2,-3) \quad$$ i $$\quad \overrightarrow{C D}=[6,-4]$$.
Niech $$C\left(x_C, y_C\right)$$. Mając dane wspólrzędne punktu $$D\left(x_D, y_D\right)$$ oraz wspótrzędne wektora $$\overrightarrow{C D}=[c, d]$$, znajdujemy wspótrzędne punktu $$C$$ rozwiązując układ równań:
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_D-x_C=c \\
y_D-x_C=d,
\end{array}\right.
$$
czyli
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_C=x_D-c \\
x_C=y_D-d .
\end{array}\right.
$$
a) Dane: $$x_D=4, y_D=-2, c=1, d=-4$$.
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_C=4-1=3 \\
x_C=-2-(-4)=2, \quad c z y l i \quad C(3,2) .
\end{array}\right.
$$
b) Dane: $$x_D=-1, y_D=4, c=-a, d=-2 a$$.
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_C=-1-(-a)=a-1 \\
x_C=4-(-2 a)=2 a+4,
\end{array} \quad \text { czyli } \quad C(a-1,2 a+4),\right.
$$
c) Dane: $$x_D=-2, y D=-3, c=6, d=-4$$.
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_C=-2-6=-8 \\
x_C=-3-(-4)=1, \quad \text { czyLi } \quad C(-8,1) .
\end{array}\right.
$$
Zadanie 2
Jakie znaki mają współrzędne wektora $$\overrightarrow{A B}=\left[\begin{array}{ll}a, b\end{array}\right]$$, gdzie $$A\left(x_A, y_A\right), B\left(x_B, y_B\right)$$, jeśli:
a) $$x_A>0$$ i $$y_A>0$$, i $$x_B<0$$, i $$y_B<0$$,
b) $$x_A>0$$ i $$y_A<0$$, i $$x_B<0$$, i $$y_B>0$$,
c) $$x_A<0$$ i $$y_A<0$$, i $$x_B=0$$, i $$y_B>0$$,
d) $$x_A<-2$$ i $$y_A<0$$, i $$x_B>1$$, i $$y_B>2$$ ?
Niech $$A\left(x_A, y_A\right), B\left(x_B, y_B\right)$$ oraz $$\overrightarrow{A B}=\[a, b]$$, wówczas:
$$
\left\{\begin{array}{l}
a=x_B-x_A=x_B+\left(-x_A\right) \\
b=y_B-y_A=y_B+\left(-y_A\right) .
\end{array}\right.
$$
a) $$-x_A<0$$ i $$-y_A<0$$ oraz $$x_B<0$$ i $$y_B<0$$, stąd:
$$
a=x_B+\left(-x_A\right)<0 \wedge b=y_B+\left(-y_A\right)<0 .
$$
b) $$-x_A<0$$ i $$-y_A>0$$ oraz $$x_B<0$$ i $$y_B>0$$, stad:
$$
a=x_B+\left(-x_A\right)<0 \wedge b=y_B+\left(-y_A\right)>0 .
$$
c) $$-x_A>0 \mathrm{i}-y_A>0$$ oraz $$x_B=0$$ i $$y_B>0$$, stąd:
$$
a=x_B+\left(-x_A\right)>0 \wedge b=y_B+\left(-y_A\right)>0 .
$$
d) $$-x_A>2 \mathrm{i}-y_A>0$$ oraz $$x_B>1$$ i $$y_B>2$$, stąd:
$$
a=x_B+\left(-x_A\right)>3>0 \wedge b=y_B+\left(-y_A\right)>2>0 .
$$
Zadanie 3
Mając dane współrzędne punktów $$A(-1,2), B(3,4), C(2,-1)$$, oblicz współrzędne i długości wektorów:
a) $$\overrightarrow{A B}$$
b) $$\overrightarrow{B C}$$
c) $$2 \overrightarrow{A B}-4 \overrightarrow{A C}$$
d) $$\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$$,
e) $$2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-3 \overrightarrow{A C}$$,
f) $$-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$$,
g) $$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}$$,
h) $$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{A C}$$.
Dane sa punkty $$A(-1,2), B(3,4)$$ oraz $$C(2,-1)$$.
a) $$\overrightarrow{A B}=[3-(-1), 4-2]=[4,2]$$
$$
|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5} .
$$
b)
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{B C}=[2-3,-1-4]=[-1,-5] \\
& |\overrightarrow{B C}|=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{26} .
\end{aligned}
$$
c)
$$
\begin{gathered}
2 \overrightarrow{A B}-4 \overrightarrow{A C}=2[4,2]-4[2+1,-1-2]= \\
=[8,4]-[12,-12]= \\
=[8-12,4-(-12)]=[-4,16] \\
|2 \overrightarrow{A B}-4 \overrightarrow{A C}|=\sqrt{(-4)^2+16^2}= \\
=\sqrt{4^2\left(1+4^2\right)}=4 \sqrt{17}
\end{gathered}
$$
d)
$$
\begin{gathered}
\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}[3,-3]=\left[\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right] \\
\left|\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}\right|=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{3}{2} \sqrt{2}
\end{gathered}
$$
e) $$2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-3 \overrightarrow{A C}=2[4,2]+[-1,-5]-3[3,-3]=[-2,8]$$ $$|2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}-3 \overrightarrow{A C}|=\sqrt{(-2)^2+8^2}=\sqrt{2^2\left(1+4^2\right)}=2 \sqrt{17}$$
f)
$$
\begin{gathered}
\left.-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=-[4,2]+[-3,3]-\frac{1}{2} \mid-1,-5\right]=\left[-6 \frac{1}{2}, 3 \frac{1}{2}\right] \\
\left|-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C A}-\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right|=\sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2}=\frac{1}{2} \sqrt{218}
\end{gathered}
$$
g)
$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{A B}+\overleftrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=[4,2]+[-1,-\vec{b}]+[-3,3]=[0,0] \\
|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}|=0
\end{gathered}
$$
h)
$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{A C}=[4,2]+[1,5]+[3,-3]=[8,4] \\
|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C A}|=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{4^2\left(2^2+1\right)}=4 \sqrt{5} .
\end{gathered}
$$
Zadanie 4
Dany jest wektor $$\vec{u}[-1,2]$$. Zbadaj czy istnieje taka liczba rzeczywista $$k$$, aby zachodziła równość: $$\vec{w}=k \vec{u}$$, gdy:
a) $$\vec{w}=[5,10]$$
c) $$\vec{w}=[3,0]$$
b) $$\vec{w}=[5,-10]$$,
d) $$\vec{w}=\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$$
e) $$\vec{w}=[0,0]$$,
f) $$\vec{w}=[4,5]$$.
Zadanie 5
Mając dane wektory $$\vec{u}=[2,3]$$ i $$\vec{v}=[1,-4]$$, wyznacz liczby rzeczywiste $$k, m$$ tak, aby zachodziła równość:
$$
k \vec{u}+m \vec{v}=\vec{w}, \text { gdy: }
$$
a) $$\vec{w}=[3,-1]$$,
b) $$\vec{w}=[1,7]$$,
c) $$\vec{w}=[4,6]$$
d) $$\vec{w}=[8,2]$$,
e) $$\vec{w}=[0,0]$$,
f) $$\vec{w}=[1,1]$$,
g) $$\vec{w}=[-2,3]$$,
h) $$\vec{w}=[-6,-4]$$.
Zadanie 6
Wykaż, że jeśli $$\vec{u}$$ i $$\vec{v}$$ są niezerowymi i nierównoległymi wektorami, to dla każdego wektora $$\vec{w}$$ istnieją liczby rzeczywiste $$k, m$$ takie, że $$k \vec{u}+m \vec{v}=\vec{w}$$
Zadanie 7
Mając dane punkty $$A(1,2), B(-1,4), C(3,-2)$$ wyznacz współrzędne punktu $$D$$ tak, by zachodziła równość:
a) $$\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{0}$$
b) $$\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A C}$$.
Zadanie 8
Punkt $$S(7,-2)$$ jest środkiem odcinka $$\overrightarrow{A B}$$. Wyznacz współrzędne punktu $$B$$, mając dane współrzędne punktu $$A(2,3)$$.
Zadanie 9
Punkty $$P(1,2)$$ i $$Q(3,4)$$ dzielą odcinek $$\overrightarrow{A B}$$ na trzy przystające odcinki. Wyznacz współrzędne punktów $$A$$ i $$B$$.
Zadanie 10
Punkty $$A(1,1), B(2,2), C(3,-1)$$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $$A B C D$$. Wyznacz współrzędne wierzchołka $$D$$ korzystając z tego, że punkt przecięcia się przekątnych równoległoboku jest jego środkiem symetrii.
Zadanie 11
Wyznacz współrzędne wierzchołków $$\triangle A B C$$, mając dane współrzędne środków jego boków: $$S_1(-2,1), S_2(2,3), S_3(4,-1)$$.
Zadanie 12
Wyznacz współrzędne punktu $$M$$ dzielącego odcinek $$A B$$ o końcach $$A(2,3), B(-5,1)$$ w stosunku $$k$$, gdy:
a) $$k=2$$
b) $$k=-\frac{1}{2}$$,
c) $$k=-4$$
d) $$k=\frac{1}{3}$$.
Zadanie 13
Punkty $$A, B, C, D$$ są kolejnymi wierzchołkami prostokąta, którego odpowiednie boki są równoległe do osi układu. Mając dane współrzędne wierzchołka $$A(5,4)$$ i współrzędne środka symetrii $$S(0,0)$$ prostokąta, wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Zadanie 14
Przekątne rombu są równoległe do osi układu. Mając dane współrzędne dwóch kolejnych wierzchołków $$A(-1,3), B(2,-1)$$ rombu, wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Zadanie 15
Punkty $$A, B, C, D$$ są kolejnymi wierzchołkami rombu, którego kąt ostry jest równy $$45^{\circ}$$. Mając dane wspólrzędne dwóch wierzchołków $$A(0,0)$$ i $$B(4,0)$$, wyznacz współrzędne pozostałych.
Zadanie 16
Punkty $$A, B, C, D, E, F$$ są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, którego środkiem symetrii jest początek układu współrzędnych. Mając dane współrzędne wierzchołka $$A(1,0)$$ i wiedząc, że wierzchołek $$B$$ ma obie współrzędne dodatnie, wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków.
Wyznacz liczby rzeczywiste $$m, n$$ tak, aby zachodziła równość:
a) $$m \overrightarrow{A D}+n \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A E}$$
b) $$m \overrightarrow{A D}+n \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B}$$
c) $$m \overrightarrow{A D}+n \overrightarrow{B E}=\overrightarrow{F D}$$
Zadanie 17
Mając dane punkty $$A(1,1)$$ i $$B(3,7)$$, wyznacz współrzędne takich punktów $$P, Q$$, aby:
$$
P \in O X, Q \in O Y \text { i } A P=B P \text {, i } A Q=B Q \text {. }
$$
Jakim czworokątem jest czworokąt $$A P B Q$$ ?
Zadanie 18
Mając dany punkt $$A(-8,4)$$ wyznacz współrzędne punktu $$P$$ należącego do osi $$y$$ tak, aby $$P A=O P$$, gdzie $$O$$ jest początkiem układu współrzędnych.
Zadanie 19
Zbadaj, jakim trójkątem (ostrokątnym, prostokątnym czy rozwartokątnym) jest trójkąt o wierzchołkach $$A(3,1), B(7,5)$$, $$C(5,-1)$$. Rozwiąż zadanie nie korzystając ze wzoru na kąt dwóch wektorów.
Zadanie 20
Wyznacz współrzędne punktu $$P$$ należącego do prostej zawierającej dwusieczną kąta $$x O y$$ tak, aby $$O P=10$$, gdzie $$O$$ jest początkiem układu współrzędnych.
Zadanie 21
Wyznacz współrzędne punktu $$P$$ należącego do osi $$y$$ i odległego od punktu $$A(2,-3)$$ o $$2 \sqrt{2}$$ jednostek.
Zadanie 22
Mając dane punkty $$A(-4,-2), B(-3,5)$$, wyznacz współrzędne punktu $$C$$ należącego do osi $$y$$ takiego, że $$\triangle A B C$$ jest trójkątem równoramiennym o podstawie $$\overline{A B}$$.
Zadanie 23
Sprawdź, że na czworokącie $$A B C D$$ o wierzchołkach $$A(0,3)$$, $$B(7,2), C(6,-5), D(-1,2)$$ można opisać okrąg.
Zadanie 24
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt $$P(8,9)$$ i stycznego do obu osi układu.
Zadanie 25
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt $$P(9,9)$$ i stycznego do osi $$x$$ w punkcie $$A(6,0)$$.
Zadanie 26
Napisz równanie okręgu stycznego do osi $$x$$ wiedząc, że jego środek należy do osi $$y$$.
Zadanie 27
Napisz równanie okręgu o środku $$S(1,-3)$$ przechodzącego przez punkt $$A(3,5)$$
Zadanie 28
Napisz równanie okregu o promieniu $$r=\sqrt{26}$$ przechodzącego przez punkty $$A(2,7)$$ i $$B(-2,1)$$.
Zadanie 29
Napisz równanie okręgu o promieniu $$r=3$$ stycznego do obu osi układu.
Zadanie 30
Napisz równanie okręgu o środku $$S(2,-3)$$ stycznego do osi $$x$$.
Zadanie 31
Napisz równanie okręgu współśrodkowego $$\mathrm{Z}$$ okręgiem $$x^2+y^2+3 x-4 y-1=0$$ i przechodzącego przez punkt $$A(-3,4)$$
Zadanie 32
Napisz równanie okręgu, którego środek należy do osi $$x$$ i który przechodzi przez punkty $$A(2,3)$$ i $$B(5,2)$$.
Zadanie 33
Wykaż, że punkty $$\quad A(1,0), \quad B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \quad C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$, $$D(-1,0), \quad E\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), F\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ sa kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego. Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu a) opisanego, b) wpisanego w sześciokąt.
Zadanie 34
Punkty $$A(1,3), C(2,5), D(-1,-3)$$ są wierzchołkami równoległoboku $$A B C D$$. Wyznacz:
a) współrzędne punktu $$B$$,
b) długości przekątnych równoległoboku,
c) kąty ostre równoległoboku,
d) pole równoległoboku.
Zadanie 35
Punkty $$A, B, C, D$$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Mając dane współrzędne wierzchołka $$A(2,-3)$$ oraz współrzędne wektorów $$\vec{A} \vec{B}=[1,2]$$ i $$\overrightarrow{B D}=[-3,4]$$, wyznacz:
a) współrzędne punktów $$B, C$$ i $$D$$,
b) obwód równoległoboku,
c) kąty utworzone przez przekątne równoległoboku.
Zadanie 36
Punkt $$S(4,-2)$$ jest środkiem symetrii równoległoboku $$A B C D$$. Mając dane współrzędne wektorów $$\overrightarrow{A C}=[6,-2] i \overrightarrow{A B}=[-2,4]$$ wyznacz:
a) współrzędne punktów $$A, B, C$$ i $$D$$,
b) kąty ostre równoległoboku,
c) pole równoległoboku.
Zadanie 37
Mając dane punkty $$A(2,3)$$ i $$B(-3,4)$$ wyznacz:
a) kąty nachylenia wektora $$\overrightarrow{A B}$$ do obu osi układu,
b) kąty nachylenia wektora $$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$$ do obu osi układu,
c) kąt pary wektorów $$\overrightarrow{O A}$$ i $$\overrightarrow{A B}$$.
Punkt $$O$$ jest początkiem układu współrzędnych.
Zadanie 38
Mając dane współrzędne $$A(-2,4), C(2,-2)$$, przeciwległych wierzchołków kwadratu $$A B C D$$, wyznacz współrzędne wierzchołków $$B$$ i $$D$$.
Zadanie 39
Zbadaj, czy są wspófliniowe punkty $$A, B, C$$, jeśli:
a) $$A(0,5), \quad B(2,1), \quad C(-1,7)$$;
b) $$A(3,1), \quad B(-2,-9), \quad C(8,11)$$;
c) $$A(0,2), \quad B(-1,5), \quad C(3,4)$$.
Zadanie 40
Punkty $$A(5,1)$$ i $$B(-2,2)$$ są dwoma wierzchołkami trójkąta $$A B C$$. Wierzchołek $$C$$ należy do osi $$x$$, pole trójkąta jest równe 10. Wyznacz współrzędne wierzchołka $$C$$.
Zadanie 41
Punkty $$A(3,1)$$ i $$B(1,-3)$$ są wierzchołkami trójkąta o polu 3. Środek ciężkości tego trójkąta należy do osi $$x$$. Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta.
Zadanie 42
Mając dane współrzędne trzech wierzchołków sześciokąta foremnego: $$A(0,0), B(3,0), C\left(4 \frac{1}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$$, wyznacz wspótrzędne pozostałych wierzchołków sześciokąta.
