DWUMIAN NEWTONA - zadania Zadanie 1(57). Znaleźć piąty wyraz rozwinięcia dwumianu
(
2
x
2
−
1
x
3
)
24
.
2
x
2
−
1
x
3
24
.
(2x^(2)-(1)/(x^(3)))^(24). \left(2x^2 \;-\;\frac{1}{x^3}\right)^{24}. ( 2 x 2 − 1 x 3 ) 24 . Zadanie 2(58). Znaleźć trzynasty wyraz rozwinięcia dwumianu
(
9
x
−
1
3
x
)
n
,
9
x
−
1
3
x
n
,
(9x-(1)/(3x))^(n), \left(9x \;-\;\frac{1}{3x}\right)^{n}, ( 9 x − 1 3 x ) n , wiedząc, że
(
n
2
)
=
105.
(
n
2
)
=
105.
((n)/(2))=105. \displaystyle \binom{n}{2} = 105. ( n 2 ) = 105. Zadanie 3
Znaleźć środkowy wyraz rozwinięcia dwumianu
(
a
x
−
x
)
16
.
a
x
−
x
16
.
((a)/(x)-sqrtx)^(16). \displaystyle \left(\frac{a}{x} - \sqrt{x}\right)^{16}. ( a x − x ) 16 . Zadanie 4 (60). Znaleźć piąty wyraz rozwinięcia dwumianu
(
a
x
+
x
a
)
n
,
a
x
+
x
a
n
,
((a)/(sqrtx)+(sqrtx)/(a))^(n), \left(\frac{a}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{a}\right)^{n}, ( a x + x a ) n , jeśli
stosunek współczynnika wyrazu trzeciego do współczynnika wyrazu drugiego jest równy
11
2
11
2
(11)/(2) \tfrac{11}{2} 11 2 .
Zadanie 5(61). Znaleźć wyraz w rozwinięciu dwumianu
(
x
3
+
2
x
)
12
,
x
3
+
2
x
12
,
(root(3)(x)+(2)/(x))^(12), \left(\sqrt[3]{x} \;+\;\frac{2}{x}\right)^{12}, ( x 3 + 2 x ) 12 , w którym nie występuje
x
x
x x x .
Zadanie 6(62). Znaleźć wyraz w rozwinięciu dwumianu
(
a
b
3
+
b
a
3
)
21
a
b
3
+
b
a
3
21
(root(3)((a)/(sqrtb))+sqrt((b)/(root(3)(a))))^(21) \left(\sqrt[3]{\frac{a}{\sqrt{b}}}+\sqrt{\frac{b}{\sqrt[3]{a}}}\right)^{21} ( a b 3 + b a 3 ) 21 w którym
a
a
a a a
b
b
b b b .
Zadanie 7(63). Znaleźć
n
n
n n n , dla którego
współczynniki przy szóstym i dziesiątym wyrazie rozwinięcia dwumianu
(
1
+
x
)
n
(
1
+
x
)
n
(1+x)^(n) (1 + x)^n ( 1 + x ) n są równe .
Zadanie 8(64). Do jakiej potęgi
n
n
n n n należy podnieść dwumian
(
a
+
x
)
(
a
+
x
)
(a+x) (a + x) ( a + x ) , by współczynnik przy
x
8
x
8
x^(8) x^8 x 8 był równy
144
160
?
144
160
?
(144)/(160)? \frac{144}{160}? 144 160 ? Zadanie 9(65). Treść: wyrazów wymiernych zawiera rozwinięcie dwumianu
(
2
+
3
4
)
60
?
2
+
3
4
60
?
(sqrt2+root(4)(3))^(60)? \left(\sqrt{2} + \sqrt[4]{3}\right)^{60}? ( 2 + 3 4 ) 60 ? Zadanie 10(66). Znaleźć wyrazy rozwinięcia dwumianu
(
3
5
+
2
7
)
24
,
3
5
+
2
7
24
,
(root(5)(3)+root(7)(2))^(24), \left(\sqrt[5]{3} + \sqrt[7]{2}\right)^{24}, ( 3 5 + 2 7 ) 24 , które są liczbami naturalnymi .
Zadanie 11(67). Znaleźć wyrazy rozwinięcia dwumianu
(
3
3
+
2
)
5
3
3
+
2
5
(root(3)(3)+sqrt2)^(5) \left(\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}\right)^5 ( 3 3 + 2 ) 5 które są liczbami naturalnymi .
Zadanie 12(68). Wykazać, że
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
.
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
.
((n)/(k))=((n)/(n-k)). \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. ( n k ) = ( n n − k ) . Zadanie 13(69). Dla jakich liczb
n
,
k
∈
N
n
,
k
∈
N
n,k inN n, k \in \mathbb{N} n , k ∈ N spełniona jest równość
(
n
k
)
=
(
n
k
+
1
)
?
(
n
k
)
=
(
n
k
+
1
)
?
((n)/(k))=((n)/(k+1))? \binom{n}{k} = \binom{n}{k+1}? ( n k ) = ( n k + 1 ) ? Zadanie 14(70). Udowodnić równość:
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
.
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
.
((n)/(k))+((n)/(k+1))=((n+1)/(k+1)). \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}. ( n k ) + ( n k + 1 ) = ( n + 1 k + 1 ) . Zadanie 15(71). Wykazać, że
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
+
(
n
n
)
=
2
n
.
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
+
(
n
n
)
=
2
n
.
((n)/(0))+((n)/(1))+((n)/(2))+cdots+((n)/(n-1))+((n)/(n))=2^(n). \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} = 2^n. ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ⋯ + ( n n − 1 ) + ( n n ) = 2 n . Zadanie 16(72). Udowodnić, że dla
n
>
1
n
>
1
n > 1 n > 1 n > 1 zachodzi równość:
(
n
1
)
−
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
−
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
n
(
n
n
)
=
0.
(
n
1
)
−
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
−
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
n
(
n
n
)
=
0.
((n)/(1))-2((n)/(2))+3((n)/(3))-cdots+(-1)^(n-1)n((n)/(n))=0. \binom{n}{1} - 2 \binom{n}{2} + 3 \binom{n}{3} - \dots + (-1)^{n-1} n \binom{n}{n} = 0. ( n 1 ) − 2 ( n 2 ) + 3 ( n 3 ) − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 n ( n n ) = 0. Zadanie 17(73). Udowodnić, że:
(
n
1
)
+
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
+
⋯
+
n
(
n
n
)
=
n
⋅
2
n
−
1
.
(
n
1
)
+
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
+
⋯
+
n
(
n
n
)
=
n
⋅
2
n
−
1
.
((n)/(1))+2((n)/(2))+3((n)/(3))+cdots+n((n)/(n))=n*2^(n-1). \binom{n}{1} + 2\binom{n}{2} + 3\binom{n}{3} + \dots + n\binom{n}{n} = n \cdot 2^{n-1}. ( n 1 ) + 2 ( n 2 ) + 3 ( n 3 ) + ⋯ + n ( n n ) = n ⋅ 2 n − 1 . Zadanie 18(74). Wykładniki potęg dwóch dwumianów są liczbami naturalnymi i różnią się o 5. Znaleźć te wykładniki, wiedząc, że suma współczynników w rozwinięciach obu dwumianów jest równa 264.
