DWUMIAN NEWTONA - rozwiązania zadań Zadanie 1(57). Znaleźć piąty wyraz rozwinięcia dwumianu
(
2
x
2
−
1
x
3
)
24
.
2
x
2
−
1
x
3
24
.
(2x^(2)-(1)/(x^(3)))^(24). \left(2x^2 \;-\;\frac{1}{x^3}\right)^{24}. ( 2 x 2 − 1 x 3 ) 24 . Rozwiązanie krok po kroku
Przepisanie wyrażenia w postaci
(
A
+
B
)
n
(
A
+
B
)
n
(A+B)^(n) (A + B)^n ( A + B ) n
Zauważmy, że
2
x
2
−
1
x
3
=
2
x
2
+
(
−
1
x
3
)
.
2
x
2
−
1
x
3
=
2
x
2
+
(
−
1
x
3
)
.
2x^(2)-(1)/(x^(3))=2x^(2)+(-(1)/(x^(3))). 2x^2 - \frac{1}{x^3} \;=\; 2x^2 \;+\; \Bigl(-\tfrac{1}{x^3}\Bigr). 2 x 2 − 1 x 3 = 2 x 2 + ( − 1 x 3 ) . W związku z tym w klasycznym wzorze dwumianowym:
A
=
2
x
2
,
B
=
−
1
x
3
,
n
=
24.
A
=
2
x
2
,
B
=
−
1
x
3
,
n
=
24.
A=2x^(2),quad B=-(1)/(x^(3)),quad n=24. A = 2x^2,
\quad
B = -\frac{1}{x^3},
\quad
n = 24. A = 2 x 2 , B = − 1 x 3 , n = 24.
Wzór na
(
A
+
B
)
n
(
A
+
B
)
n
(A+B)^(n) (A + B)^n ( A + B ) n
Dla
(
A
+
B
)
n
(
A
+
B
)
n
(A+B)^(n) (A + B)^n ( A + B ) n ogólny
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(k+1) (k+1) ( k + 1 ) -ty wyraz w rozwinięciu (licząc od
k
=
0
k
=
0
k=0 k=0 k = 0 ) to:
T
k
+
1
=
(
n
k
)
A
n
−
k
B
k
.
T
k
+
1
=
(
n
k
)
A
n
−
k
B
k
.
T_(k+1)=((n)/(k))A^(n-k)B^(k). T_{k+1} = \binom{n}{k} \, A^{\,n-k} \, B^{\,k}. T k + 1 = ( n k ) A n − k B k .
Wybór indeksu odpowiadającego 5. wyrazowi
wyraz odpowiada
k
=
0
k
=
0
k=0 k=0 k = 0
wyraz odpowiada
k
=
4
k
=
4
k=4 k=4 k = 4
Obliczenie 5. wyrazu (
T
5
T
5
T_(5) T_5 T 5
T
5
=
(
24
4
)
(
2
x
2
)
24
−
4
(
−
1
x
3
)
4
.
T
5
=
(
24
4
)
(
2
x
2
)
24
−
4
(
−
1
x
3
)
4
.
T_(5)=((24)/(4))(2x^(2))^(24-4)(-(1)/(x^(3)))^(4). T_{5}
\;=\; \binom{24}{4} \,\bigl(2x^2\bigr)^{24-4} \,\bigl(-\tfrac{1}{x^3}\bigr)^{4}. T 5 = ( 24 4 ) ( 2 x 2 ) 24 − 4 ( − 1 x 3 ) 4 . Rozbijamy to na czynniki:
(
24
4
)
=
24
⋅
23
⋅
22
⋅
21
4
⋅
3
⋅
2
⋅
1
=
10626.
(
24
4
)
=
24
⋅
23
⋅
22
⋅
21
4
⋅
3
⋅
2
⋅
1
=
10626.
((24)/(4))=(24*23*22*21)/(4*3*2*1)=10626. \displaystyle \binom{24}{4} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10626. ( 24 4 ) = 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 10626.
(
2
x
2
)
20
=
2
20
(
x
2
)
20
=
2
20
x
40
.
(
2
x
2
)
20
=
2
20
(
x
2
)
20
=
2
20
x
40
.
(2x^(2))^(20)=2^(20)(x^(2))^(20)=2^(20)x^(40). \displaystyle \bigl(2x^2\bigr)^{20}
= 2^{20} \,(x^2)^{20}
= 2^{20}\,x^{40}. ( 2 x 2 ) 20 = 2 20 ( x 2 ) 20 = 2 20 x 40 .
(
−
1
x
3
)
4
=
(
−
1
)
4
(
x
−
3
)
4
=
1
⋅
x
−
12
=
x
−
12
.
(
−
1
x
3
)
4
=
(
−
1
)
4
(
x
−
3
)
4
=
1
⋅
x
−
12
=
x
−
12
.
(-(1)/(x^(3)))^(4)=(-1)^(4)(x^(-3))^(4)=1*x^(-12)=x^(-12). \displaystyle \bigl(-\tfrac{1}{x^3}\bigr)^{4}
= (-1)^{4}\,\bigl(x^{-3}\bigr)^{4}
= 1 \cdot x^{-12}
= x^{-12}. ( − 1 x 3 ) 4 = ( − 1 ) 4 ( x − 3 ) 4 = 1 ⋅ x − 12 = x − 12 .
Zatem:
T
5
=
10626
⋅
2
20
x
40
⋅
x
−
12
=
10626
⋅
2
20
x
28
.
T
5
=
10626
⋅
2
20
x
40
⋅
x
−
12
=
10626
⋅
2
20
x
28
.
T_(5)=10626*2^(20)x^(40)*x^(-12)=10626*2^(20)x^(28). T_{5}
= 10626 \;\cdot\; 2^{20} \,x^{40} \;\cdot\; x^{-12}
= 10626 \;\cdot\; 2^{20} \,x^{28}. T 5 = 10626 ⋅ 2 20 x 40 ⋅ x − 12 = 10626 ⋅ 2 20 x 28 .
Ostateczna postać 5. wyrazu
10626
⋅
2
20
x
28
.
10626
⋅
2
20
x
28
.
10626*2^(20)x^(28). \boxed{10626 \cdot 2^{20} \,x^{28}}. 10626 ⋅ 2 20 x 28 .
Zadanie 2(58). Znaleźć trzynasty wyraz rozwinięcia dwumianu
(
9
x
−
1
3
x
)
n
,
9
x
−
1
3
x
n
,
(9x-(1)/(3x))^(n), \left(9x \;-\;\frac{1}{3x}\right)^{n}, ( 9 x − 1 3 x ) n , wiedząc, że
(
n
2
)
=
105.
(
n
2
)
=
105.
((n)/(2))=105. \displaystyle \binom{n}{2} = 105. ( n 2 ) = 105. Rozwiązanie krok po kroku
Wyznaczenie
n
n
n n n
(
n
2
)
=
105
(
n
2
)
=
105
((n)/(2))=105 \binom{n}{2} = 105 ( n 2 ) = 105
Współczynnik dwumianowy
(
n
2
)
(
n
2
)
((n)/(2)) \binom{n}{2} ( n 2 ) to
(
n
2
)
=
n
(
n
−
1
)
2
=
105
⟹
n
(
n
−
1
)
=
210.
(
n
2
)
=
n
(
n
−
1
)
2
=
105
⟹
n
(
n
−
1
)
=
210.
((n)/(2))=(n(n-1))/(2)=105Longrightarrown(n-1)=210. \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = 105
\;\;\Longrightarrow\;\;
n(n-1) = 210. ( n 2 ) = n ( n − 1 ) 2 = 105 ⟹ n ( n − 1 ) = 210. Liczba całkowita
n
n
n n n spełniająca
n
(
n
−
1
)
=
210
n
(
n
−
1
)
=
210
n(n-1)=210 n(n-1)=210 n ( n − 1 ) = 210 to
n
=
15
n
=
15
n=15 n=15 n = 15 (ponieważ
15
⋅
14
=
210
15
⋅
14
=
210
15*14=210 15 \cdot 14 = 210 15 ⋅ 14 = 210 ).
Przepisanie wyrażenia
(
9
x
−
1
3
x
)
15
=
(
9
x
+
(
−
1
3
x
)
)
15
.
9
x
−
1
3
x
15
=
9
x
+
(
−
1
3
x
)
15
.
(9x-(1)/(3x))^(15)=(9x+(-(1)/(3x)))^(15). \left(9x - \frac{1}{3x}\right)^{15}
\;=\;
\left(9x + \Bigl(-\tfrac{1}{3x}\Bigr)\right)^{15}. ( 9 x − 1 3 x ) 15 = ( 9 x + ( − 1 3 x ) ) 15 . Zatem:
A
=
9
x
,
B
=
−
1
3
x
,
n
=
15.
A
=
9
x
,
B
=
−
1
3
x
,
n
=
15.
A=9x,quad B=-(1)/(3x),quad n=15. A = 9x,
\quad
B = -\frac{1}{3x},
\quad
n = 15. A = 9 x , B = − 1 3 x , n = 15.
Wzór na ogólny wyraz
(
A
+
B
)
n
(
A
+
B
)
n
(A+B)^(n) (A + B)^n ( A + B ) n
(
A
+
B
)
15
=
∑
k
=
0
15
(
15
k
)
A
15
−
k
B
k
.
(
A
+
B
)
15
=
∑
k
=
0
15
(
15
k
)
A
15
−
k
B
k
.
(A+B)^(15)=sum_(k=0)^(15)((15 )/(k))A^(15-k)B^(k). (A + B)^{15} = \sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} A^{15-k}\,B^{k}. ( A + B ) 15 = ∑ k = 0 15 ( 15 k ) A 15 − k B k .
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(k+1) \,(k+1) ( k + 1 ) -ty wyraz to:
T
k
+
1
=
(
15
k
)
(
9
x
)
15
−
k
(
−
1
3
x
)
k
.
T
k
+
1
=
(
15
k
)
(
9
x
)
15
−
k
(
−
1
3
x
)
k
.
T_(k+1)=((15 )/(k))(9x)^(15-k)(-(1)/(3x))^(k). T_{k+1} = \binom{15}{k}\,(9x)^{15-k}\,\Bigl(-\tfrac{1}{3x}\Bigr)^{k}. T k + 1 = ( 15 k ) ( 9 x ) 15 − k ( − 1 3 x ) k .
Wybór indeksu odpowiadającego 13. wyrazowi
wyraz:
k
=
0
k
=
0
k=0 k=0 k = 0
wyraz:
k
=
12
k
=
12
k=12 k=12 k = 12
Obliczenie 13. wyrazu (
T
13
T
13
T_(13) T_{13} T 13
T
13
=
(
15
12
)
(
9
x
)
15
−
12
(
−
1
3
x
)
12
.
T
13
=
(
15
12
)
(
9
x
)
15
−
12
(
−
1
3
x
)
12
.
T_(13)=((15)/(12))(9x)^(15-12)(-(1)/(3x))^(12). T_{13}
= \binom{15}{12}\,(9x)^{15-12}\,\Bigl(-\tfrac{1}{3x}\Bigr)^{12}. T 13 = ( 15 12 ) ( 9 x ) 15 − 12 ( − 1 3 x ) 12 . a) Współczynnik dwumianowy :
(
15
12
)
=
(
15
3
)
=
15
⋅
14
⋅
13
3
⋅
2
⋅
1
=
455.
(
15
12
)
=
(
15
3
)
=
15
⋅
14
⋅
13
3
⋅
2
⋅
1
=
455.
((15)/(12))=((15)/(3))=(15*14*13)/(3*2*1)=455. \binom{15}{12} = \binom{15}{3}
= \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1}
= 455. ( 15 12 ) = ( 15 3 ) = 15 ⋅ 14 ⋅ 13 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 455. b)
Potęga
(
9
x
)
(
9
x
)
(9x) (9x) ( 9 x ) :
(
9
x
)
3
=
9
3
x
3
=
729
x
3
.
(
9
x
)
3
=
9
3
x
3
=
729
x
3
.
(9x)^(3)=9^(3)x^(3)=729x^(3). (9x)^{3} = 9^3 \, x^3 = 729 \, x^3. ( 9 x ) 3 = 9 3 x 3 = 729 x 3 . c)
Potęga
(
−
1
3
x
)
12
(
−
1
3
x
)
12
(-(1)/(3x))^(12) \bigl(-\frac{1}{3x}\bigr)^{12} ( − 1 3 x ) 12 :
(
−
1
3
x
)
12
=
(
−
1
)
12
(
1
3
x
)
12
=
1
⋅
1
(
3
x
)
12
=
1
3
12
x
12
.
(
−
1
3
x
)
12
=
(
−
1
)
12
(
1
3
x
)
12
=
1
⋅
1
(
3
x
)
12
=
1
3
12
x
12
.
(-(1)/(3x))^(12)=(-1)^(12)((1)/(3x))^(12)=1*(1)/((3x)^(12))=(1)/(3^(12)x^(12)). \Bigl(-\tfrac{1}{3x}\Bigr)^{12}
= (-1)^{12} \,\Bigl(\tfrac{1}{3x}\Bigr)^{12}
= 1 \;\cdot\; \frac{1}{(3x)^{12}}
= \frac{1}{3^{12} \, x^{12}}. ( − 1 3 x ) 12 = ( − 1 ) 12 ( 1 3 x ) 12 = 1 ⋅ 1 ( 3 x ) 12 = 1 3 12 x 12 . (Ponieważ 12 jest liczbą parzystą,
(
−
1
)
12
=
1
(
−
1
)
12
=
1
(-1)^(12)=1 (-1)^{12} = 1 ( − 1 ) 12 = 1 .)
Scalenie w całość
T
13
=
455
⋅
729
x
3
⋅
1
3
12
x
12
=
455
⋅
729
3
12
⋅
x
3
−
12
.
T
13
=
455
⋅
729
x
3
⋅
1
3
12
x
12
=
455
⋅
729
3
12
⋅
x
3
−
12
.
T_(13)=455*729x^(3)*(1)/(3^(12)x^(12))=455*(729)/(3^(12))*x^(3-12). T_{13}
= 455 \;\cdot\; 729 \,x^3 \;\cdot\; \frac{1}{3^{12} \, x^{12}}
= 455 \;\cdot\; \frac{729}{3^{12}} \;\cdot\; x^{3-12}. T 13 = 455 ⋅ 729 x 3 ⋅ 1 3 12 x 12 = 455 ⋅ 729 3 12 ⋅ x 3 − 12 .
Zauważmy, że
729
=
3
6
729
=
3
6
729=3^(6) 729 = 3^6 729 = 3 6
Stąd
729
3
12
=
3
6
3
12
=
1
3
6
=
1
729
729
3
12
=
3
6
3
12
=
1
3
6
=
1
729
(729)/(3^(12))=(3^(6))/(3^(12))=(1)/(3^(6))=(1)/(729) \tfrac{729}{3^{12}} = \tfrac{3^6}{3^{12}} = \tfrac{1}{3^6} = \tfrac{1}{729} 729 3 12 = 3 6 3 12 = 1 3 6 = 1 729
Tak więc:
T
13
=
455
⋅
1
729
⋅
x
−
9
=
455
729
x
−
9
.
T
13
=
455
⋅
1
729
⋅
x
−
9
=
455
729
x
−
9
.
T_(13)=455*(1)/(729)*x^(-9)=(455)/(729)x^(-9). T_{13}
= 455 \;\cdot\; \frac{1}{729} \;\cdot\; x^{-9}
= \frac{455}{729} \, x^{-9}. T 13 = 455 ⋅ 1 729 ⋅ x − 9 = 455 729 x − 9 .
Możemy też zapisać to jako:
455
729
x
9
.
455
729
x
9
.
(455)/(729x^(9)). \frac{455}{729 \, x^9}. 455 729 x 9 .
Ostateczna postać 13. wyrazu
T
13
=
455
729
x
9
.
T
13
=
455
729
x
9
.
T_(13)=(455)/(729x^(9)). \boxed{
T_{13} \;=\
\frac{455}{729\,x^9}.
} T 13 = 455 729 x 9 . Zadanie 3
Znaleźć środkowy wyraz rozwinięcia dwumianu
(
a
x
−
x
)
16
.
a
x
−
x
16
.
((a)/(x)-sqrtx)^(16). \displaystyle \left(\frac{a}{x} - \sqrt{x}\right)^{16}. ( a x − x ) 16 . Rozwiązanie krok po kroku 1. Rozważmy wzór
(
A
+
B
)
n
(
A
+
B
)
n
(A+B)^(n) (A + B)^n ( A + B ) n
Aby móc skorzystać bezpośrednio z klasycznego wzoru na
(
A
+
B
)
n
(
A
+
B
)
n
(A+B)^(n) (A + B)^n ( A + B ) n , zauważmy, że:
a
x
−
x
=
a
x
+
(
−
x
)
.
a
x
−
x
=
a
x
+
(
−
x
)
.
(a)/(x)-sqrtx=(a)/(x)+(-sqrtx). \frac{a}{x} - \sqrt{x}
\;=\;
\frac{a}{x} + \bigl(-\sqrt{x}\bigr). a x − x = a x + ( − x ) . W związku z tym w naszej notacji:
A
=
a
x
,
B
=
−
x
,
n
=
16.
A
=
a
x
,
B
=
−
x
,
n
=
16.
A=(a)/(x),quad B=-sqrtx,quad n=16. A = \frac{a}{x},
\quad
B = -\sqrt{x},
\quad
n = 16. A = a x , B = − x , n = 16. 2. Wzór na ogólny wyraz w rozwinięciu
(
A
+
B
)
n
(
A
+
B
)
n
(A+B)^(n) (A + B)^n ( A + B ) n
Z klasycznego dwumianu Newtona wiemy, że:
(
A
+
B
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
A
n
−
k
B
k
.
(
A
+
B
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
A
n
−
k
B
k
.
(A+B)^(n)=sum_(k=0)^(n)((n)/(k))A^(n-k)B^(k). (A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^{n-k} B^k. ( A + B ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) A n − k B k . Każdy wyraz (liczony od
k
=
0
k
=
0
k=0 k=0 k = 0 ) możemy zapisać jako:
T
k
+
1
=
(
n
k
)
A
n
−
k
B
k
.
T
k
+
1
=
(
n
k
)
A
n
−
k
B
k
.
T_(k+1)=((n)/(k))A^(n-k)B^(k). T_{k+1} = \binom{n}{k} \, A^{n-k} \, B^k. T k + 1 = ( n k ) A n − k B k . 3. Ustalenie numeru „środkowego” wyrazu
Dla
n
=
16
n
=
16
n=16 n = 16 n = 16
16
+
1
=
17
16
+
1
=
17
16+1=17 16 + 1 = 17 16 + 1 = 17
Środkowy wyraz to ten o indeksie
k
=
8
k
=
8
k=8 k = 8 k = 8
17
+
1
2
=
9
17
+
1
2
=
9
(17+1)/(2)=9 \frac{17+1}{2} = 9 17 + 1 2 = 9
4. Podstawienie
k
=
8
k
=
8
k=8 k = 8 k = 8
Obliczamy wyraz:
T
9
=
(
16
8
)
(
a
x
)
16
−
8
(
−
x
)
8
.
T
9
=
(
16
8
)
a
x
16
−
8
(
−
x
)
8
.
T_(9)=((16)/(8))((a)/(x))^(16-8)(-sqrtx)^(8). T_{9} = \binom{16}{8}
\left(\frac{a}{x}\right)^{16 - 8}
\bigl(-\sqrt{x}\bigr)^{8}. T 9 = ( 16 8 ) ( a x ) 16 − 8 ( − x ) 8 . Rozbijamy to na części:
(
a
x
)
16
−
8
=
(
a
x
)
8
=
a
8
x
8
.
a
x
16
−
8
=
a
x
8
=
a
8
x
8
.
((a)/(x))^(16-8)=((a)/(x))^(8)=(a^(8))/(x^(8)). \displaystyle \left(\frac{a}{x}\right)^{16-8} = \left(\frac{a}{x}\right)^{8} = \frac{a^8}{x^8}. ( a x ) 16 − 8 = ( a x ) 8 = a 8 x 8 .
(
−
x
)
8
=
(
−
1
)
8
⋅
(
x
)
8
=
1
⋅
x
4
=
x
4
,
(
−
x
)
8
=
(
−
1
)
8
⋅
(
x
)
8
=
1
⋅
x
4
=
x
4
,
(-sqrtx)^(8)=(-1)^(8)*(sqrtx)^(8)=1*x^(4)=x^(4), \displaystyle \bigl(-\sqrt{x}\bigr)^{8} = (-1)^8 \cdot (\sqrt{x})^8 = 1 \cdot x^4 = x^4, ( − x ) 8 = ( − 1 ) 8 ⋅ ( x ) 8 = 1 ⋅ x 4 = x 4 ,
ponieważ
(
−
1
)
8
=
1
(
−
1
)
8
=
1
(-1)^(8)=1 (-1)^8 = 1 ( − 1 ) 8 = 1 i
(
x
)
8
=
x
4
(
x
)
8
=
x
4
(sqrtx)^(8)=x^(4) (\sqrt{x})^8 = x^4 ( x ) 8 = x 4 .
Zatem otrzymujemy:
T
9
=
(
16
8
)
⋅
a
8
x
8
⋅
x
4
=
(
16
8
)
⋅
a
8
x
4
.
T
9
=
(
16
8
)
⋅
a
8
x
8
⋅
x
4
=
(
16
8
)
⋅
a
8
x
4
.
T_(9)=((16)/(8))*(a^(8))/(x^(8))*x^(4)=((16)/(8))*(a^(8))/(x^(4)). T_{9}
= \binom{16}{8} \cdot \frac{a^8}{x^8} \cdot x^4
= \binom{16}{8} \cdot \frac{a^8}{x^4}. T 9 = ( 16 8 ) ⋅ a 8 x 8 ⋅ x 4 = ( 16 8 ) ⋅ a 8 x 4 . 5. Wyliczenie wartości
(
16
8
)
(
16
8
)
((16)/(8)) \binom{16}{8} ( 16 8 )
Współczynnik dwumianowy:
(
16
8
)
=
16
!
8
!
⋅
8
!
.
(
16
8
)
=
16
!
8
!
⋅
8
!
.
((16)/(8))=(16!)/(8!*8!). \binom{16}{8} = \frac{16!}{8! \cdot 8!}. ( 16 8 ) = 16 ! 8 ! ⋅ 8 ! . Jego wartość to:
(
16
8
)
=
12870.
(
16
8
)
=
12870.
((16)/(8))=12870. \binom{16}{8} = 12870. ( 16 8 ) = 12870. 6. Ostateczny wynik
Podstawiając
(
16
8
)
=
12870
(
16
8
)
=
12870
((16)/(8))=12870 \binom{16}{8} = 12870 ( 16 8 ) = 12870 , otrzymujemy
środkowy wyraz w postaci:
12870
a
8
x
4
.
12870
a
8
x
4
.
12870(a^(8))/(x^(4)). \boxed{12870 \,\frac{a^8}{x^4}}. 12870 a 8 x 4 . Zadanie 4 (60). Znaleźć piąty wyraz rozwinięcia dwumianu
(
a
x
+
x
a
)
n
,
a
x
+
x
a
n
,
((a)/(sqrtx)+(sqrtx)/(a))^(n), \left(\frac{a}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{a}\right)^{n}, ( a x + x a ) n , jeśli
stosunek współczynnika wyrazu trzeciego do współczynnika wyrazu drugiego jest równy
11
2
11
2
(11)/(2) \tfrac{11}{2} 11 2 .
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczenie składników dwumianu
A
=
a
x
,
B
=
x
a
.
A
=
a
x
,
B
=
x
a
.
A=(a)/(sqrtx),quad B=(sqrtx)/(a). A = \frac{a}{\sqrt{x}},
\quad
B = \frac{\sqrt{x}}{a}. A = a x , B = x a . Dwumian ma postać
(
A
+
B
)
n
(
A
+
B
)
n
(A+B)^(n) (A + B)^n ( A + B ) n .
Ogólny wzór na
(
A
+
B
)
n
(
A
+
B
)
n
(A+B)^(n) (A + B)^n ( A + B ) n
Każdy
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(k+1) (k+1) ( k + 1 ) -ty wyraz (licząc od
k
=
0
k
=
0
k=0 k=0 k = 0 ) w rozwinięciu to:
T
k
+
1
=
(
n
k
)
A
n
−
k
B
k
.
T
k
+
1
=
(
n
k
)
A
n
−
k
B
k
.
T_(k+1)=((n)/(k))A^(n-k)B^(k). T_{k+1} \;=\; \binom{n}{k}\,A^{\,n-k}\,B^{\,k}. T k + 1 = ( n k ) A n − k B k .
Wyrazy drugi i trzeci w rozwinięciu
2. wyraz : to
T
2
T
2
T_(2) T_2 T 2
k
=
1
k
=
1
k=1 k=1 k = 1
T
2
=
(
n
1
)
A
n
−
1
B
1
=
n
(
a
x
)
n
−
1
(
x
a
)
.
T
2
=
(
n
1
)
A
n
−
1
B
1
=
n
a
x
n
−
1
x
a
.
T_(2)=((n)/(1))A^(n-1)B^(1)=n((a)/(sqrtx))^(n-1)((sqrtx)/(a)). T_2 = \binom{n}{1} A^{n-1} B^1
= n \,\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{n-1}\!\!\left(\frac{\sqrt{x}}{a}\right). T 2 = ( n 1 ) A n − 1 B 1 = n ( a x ) n − 1 ( x a ) . 3. wyraz : to
T
3
T
3
T_(3) T_3 T 3
k
=
2
k
=
2
k=2 k=2 k = 2
T
3
=
(
n
2
)
A
n
−
2
B
2
=
(
n
2
)
(
a
x
)
n
−
2
(
x
a
)
2
.
T
3
=
(
n
2
)
A
n
−
2
B
2
=
(
n
2
)
a
x
n
−
2
x
a
2
.
T_(3)=((n)/(2))A^(n-2)B^(2)=((n)/(2))((a)/(sqrtx))^(n-2)((sqrtx)/(a))^(2). T_3 = \binom{n}{2} A^{n-2} B^2
= \binom{n}{2}\,\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{n-2}\!\!\left(\frac{\sqrt{x}}{a}\right)^{2}. T 3 = ( n 2 ) A n − 2 B 2 = ( n 2 ) ( a x ) n − 2 ( x a ) 2 .
Stosunek współczynników stosunku współczynnika wyrazu 3. do wyrazu 2. Zwykle przez „współczynnik” w takich kontekstach rozumie się binomialny współczynnik liczbowy (bez uwzględniania potęg zmiennych).
Współczynnik przy
T
2
T
2
T_(2) T_2 T 2
(
n
1
)
=
n
(
n
1
)
=
n
((n)/(1))=n \binom{n}{1} = n ( n 1 ) = n
Współczynnik przy
T
3
T
3
T_(3) T_3 T 3
(
n
2
)
=
n
(
n
−
1
)
2
.
(
n
2
)
=
n
(
n
−
1
)
2
.
((n)/(2))=(n(n-1))/(2). \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}. ( n 2 ) = n ( n − 1 ) 2 .
Zatem:
współcz. 3. wyrazu
współcz. 2. wyrazu
=
(
n
2
)
(
n
1
)
=
n
(
n
−
1
)
2
n
=
n
−
1
2
.
współcz. 3. wyrazu
współcz. 2. wyrazu
=
(
n
2
)
(
n
1
)
=
n
(
n
−
1
)
2
n
=
n
−
1
2
.
("współcz. 3. wyrazu")/("współcz. 2. wyrazu")=(((n)/(2)))/(((n)/(1)))=((n(n-1))/(2))/(n)=(n-1)/(2). \frac{\text{współcz. 3. wyrazu}}{\text{współcz. 2. wyrazu}}
\;=\;
\frac{\binom{n}{2}}{\binom{n}{1}}
\;=\;
\frac{\tfrac{n(n-1)}{2}}{n}
\;=\;
\frac{n-1}{2}. ó ł ó ł współcz. 3. wyrazu współcz. 2. wyrazu = ( n 2 ) ( n 1 ) = n ( n − 1 ) 2 n = n − 1 2 . Warunek zadania mówi, że ten stosunek wynosi
11
2
11
2
(11)/(2) \tfrac{11}{2} 11 2 .
n
−
1
2
=
11
2
⟹
n
−
1
=
11
⟹
n
=
12.
n
−
1
2
=
11
2
⟹
n
−
1
=
11
⟹
n
=
12.
(n-1)/(2)=(11)/(2)quad Longrightarrowquad n-1=11quad Longrightarrowquad n=12. \frac{n-1}{2} = \frac{11}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
n - 1 = 11
\quad\Longrightarrow\quad
n = 12. n − 1 2 = 11 2 ⟹ n − 1 = 11 ⟹ n = 12.
Wyznaczenie 5. wyrazu przy
n
=
12
n
=
12
n=12 n=12 n = 12
Interesuje nas
5. wyraz , czyli
T
5
T
5
T_(5) T_5 T 5 . Wzór ogólny:
T
k
+
1
=
(
12
k
)
(
a
x
)
12
−
k
(
x
a
)
k
,
T
k
+
1
=
(
12
k
)
a
x
12
−
k
x
a
k
,
T_(k+1)=((12 )/(k))((a)/(sqrtx))^(12-k)((sqrtx)/(a))^(k), T_{k+1} = \binom{12}{k} \left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{12-k}
\left(\frac{\sqrt{x}}{a}\right)^k, T k + 1 = ( 12 k ) ( a x ) 12 − k ( x a ) k , a dla 5. wyrazu mamy
k
=
4
k
=
4
k=4 k=4 k = 4 . Zatem:
T
5
=
(
12
4
)
(
a
x
)
8
(
x
a
)
4
.
T
5
=
(
12
4
)
(
a
x
)
8
(
x
a
)
4
.
T_(5)=((12)/(4))((a)/(sqrtx))^(8)((sqrtx)/(a))^(4). T_{5}
= \binom{12}{4} \,\bigl(\tfrac{a}{\sqrt{x}}\bigr)^{8}\,\bigl(\tfrac{\sqrt{x}}{a}\bigr)^{4}. T 5 = ( 12 4 ) ( a x ) 8 ( x a ) 4 .
(
12
4
)
=
495.
(
12
4
)
=
495.
((12)/(4))=495. \displaystyle \binom{12}{4} = 495. ( 12 4 ) = 495.
(
a
x
)
8
=
a
8
x
−
4
.
a
x
8
=
a
8
x
−
4
.
((a)/(sqrtx))^(8)=a^(8)x^(-4). \displaystyle \left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^{8}
= a^{8} \,x^{-4}. ( a x ) 8 = a 8 x − 4 .
(
x
a
)
4
=
(
x
1
/
2
)
4
(
a
−
1
)
4
=
x
2
a
−
4
.
x
a
4
=
(
x
1
/
2
)
4
(
a
−
1
)
4
=
x
2
a
−
4
.
((sqrtx)/(a))^(4)=(x^(1//2))^(4)(a^(-1))^(4)=x^(2)a^(-4). \displaystyle \left(\frac{\sqrt{x}}{a}\right)^{4}
= (x^{1/2})^{4}\,(a^{-1})^{4}
= x^{2}\,a^{-4}. ( x a ) 4 = ( x 1 / 2 ) 4 ( a − 1 ) 4 = x 2 a − 4 .
Łącząc razem:
T
5
=
495
⋅
a
8
x
−
4
⋅
x
2
a
−
4
=
495
⋅
a
8
−
4
x
−
4
+
2
=
495
⋅
a
4
x
−
2
.
T
5
=
495
⋅
a
8
x
−
4
⋅
x
2
a
−
4
=
495
⋅
a
8
−
4
x
−
4
+
2
=
495
⋅
a
4
x
−
2
.
T_(5)=495*a^(8)x^(-4)*x^(2)a^(-4)=495*a^(8-4)x^(-4+2)=495*a^(4)x^(-2). T_{5}
= 495 \;\cdot\; a^{8}\,x^{-4} \;\cdot\; x^{2}\,a^{-4}
= 495 \;\cdot\; a^{8-4}\,x^{-4+2}
= 495 \;\cdot\; a^{4}\,x^{-2}. T 5 = 495 ⋅ a 8 x − 4 ⋅ x 2 a − 4 = 495 ⋅ a 8 − 4 x − 4 + 2 = 495 ⋅ a 4 x − 2 . Czyli:
T
5
=
495
a
4
x
2
.
T
5
=
495
a
4
x
2
.
T_(5)=495(a^(4))/(x^(2)). \boxed{T_{5} = 495\,\frac{a^{4}}{x^{2}}.} T 5 = 495 a 4 x 2 .
Zadanie 5(61). Znaleźć wyraz w rozwinięciu dwumianu
(
x
3
+
2
x
)
12
,
x
3
+
2
x
12
,
(root(3)(x)+(2)/(x))^(12), \left(\sqrt[3]{x} \;+\;\frac{2}{x}\right)^{12}, ( x 3 + 2 x ) 12 , w którym nie występuje
x
x
x x x .
Rozwiązanie krok po kroku
Identyfikacja składników
A
=
x
3
=
x
1
3
,
B
=
2
x
=
2
x
−
1
.
A
=
x
3
=
x
1
3
,
B
=
2
x
=
2
x
−
1
.
A=root(3)(x)=x^((1)/(3)),quad B=(2)/(x)=2x^(-1). A = \sqrt[3]{x} = x^{\tfrac{1}{3}},
\quad
B = \frac{2}{x} = 2\,x^{-1}. A = x 3 = x 1 3 , B = 2 x = 2 x − 1 . Dwumian:
(
A
+
B
)
12
.
(
A
+
B
)
12
.
(A+B)^(12). \,(A + B)^{12}. ( A + B ) 12 .
Ogólny wyraz
(
A
+
B
)
12
(
A
+
B
)
12
(A+B)^(12) (A + B)^{12} ( A + B ) 12
T
k
+
1
=
(
12
k
)
A
12
−
k
B
k
.
T
k
+
1
=
(
12
k
)
A
12
−
k
B
k
.
T_(k+1)=((12 )/(k))A^(12-k)B^(k). T_{k+1}
= \binom{12}{k} \,A^{12-k}\,B^{k}. T k + 1 = ( 12 k ) A 12 − k B k . Po podstawieniu:
T
k
+
1
=
(
12
k
)
(
x
1
/
3
)
12
−
k
(
2
x
−
1
)
k
.
T
k
+
1
=
(
12
k
)
(
x
1
/
3
)
12
−
k
(
2
x
−
1
)
k
.
T_(k+1)=((12 )/(k))(x^(1//3))^(12-k)(2x^(-1))^(k). T_{k+1}
= \binom{12}{k}\,\bigl(x^{1/3}\bigr)^{12-k}\,\bigl(2\,x^{-1}\bigr)^{k}. T k + 1 = ( 12 k ) ( x 1 / 3 ) 12 − k ( 2 x − 1 ) k .
Warunek „wyraz, w którym nie występuje
x
x
x x x
Oznacza to, że
całkowity wykładnik potęgi
x
x
x x x . Sprawdźmy, jak wygląda wykładnik
x
x
x x x w wyrazie
T
k
+
1
T
k
+
1
T_(k+1) T_{k+1} T k + 1 :
Część od
A
12
−
k
A
12
−
k
A^(12-k) A^{12-k} A 12 − k
(
x
1
/
3
)
12
−
k
=
x
12
−
k
3
.
(
x
1
/
3
)
12
−
k
=
x
12
−
k
3
.
(x^(1//3))^(12-k)=x^((12-k)/(3)). (x^{1/3})^{12-k} = x^{\frac{12-k}{3}}. ( x 1 / 3 ) 12 − k = x 12 − k 3 .
Część od
B
k
B
k
B^(k) B^{k} B k
(
2
x
−
1
)
k
=
2
k
x
−
k
.
(
2
x
−
1
)
k
=
2
k
x
−
k
.
(2x^(-1))^(k)=2^(k)x^(-k). \bigl(2\,x^{-1}\bigr)^{k}
= 2^{k}\,x^{-k}. ( 2 x − 1 ) k = 2 k x − k .
Łącznie w
T
k
+
1
T
k
+
1
T_(k+1) T_{k+1} T k + 1 mamy
x
12
−
k
3
−
k
x
12
−
k
3
−
k
x^((12-k)/(3)-k) x^{\,\frac{12-k}{3} - k} x 12 − k 3 − k .
Szukamy
k
k
k k k
12
−
k
3
−
k
=
0.
12
−
k
3
−
k
=
0.
(12-k)/(3)-k=0. \frac{12 - k}{3} \;-\; k \;=\; 0. 12 − k 3 − k = 0. Rozwiązujemy:
12
−
k
3
=
k
⟹
12
−
k
=
3
k
⟹
12
=
4
k
⟹
k
=
3.
12
−
k
3
=
k
⟹
12
−
k
=
3
k
⟹
12
=
4
k
⟹
k
=
3.
(12-k)/(3)=kLongrightarrow12-k=3kLongrightarrow12=4kLongrightarrowk=3. \frac{12 - k}{3} = k
\;\;\Longrightarrow\;\;
12 - k = 3k
\;\;\Longrightarrow\;\;
12 = 4k
\;\;\Longrightarrow\;\;
k = 3. 12 − k 3 = k ⟹ 12 − k = 3 k ⟹ 12 = 4 k ⟹ k = 3.
Wyraz przy
k
=
3
k
=
3
k=3 k=3 k = 3
Ten wyraz w szeregu będzie miał indeks
k
+
1
=
4
k
+
1
=
4
k+1=4 k+1 = 4 k + 1 = 4 . Zatem:
T
4
=
(
12
3
)
(
x
1
/
3
)
9
(
2
x
−
1
)
3
.
T
4
=
(
12
3
)
(
x
1
/
3
)
9
(
2
x
−
1
)
3
.
T_(4)=((12)/(3))(x^(1//3))^(9)(2x^(-1))^(3). T_{4}
= \binom{12}{3}\,\bigl(x^{1/3}\bigr)^{9}\,\bigl(2\,x^{-1}\bigr)^{3}. T 4 = ( 12 3 ) ( x 1 / 3 ) 9 ( 2 x − 1 ) 3 . Obliczamy krokami:
(
12
3
)
=
12
⋅
11
⋅
10
3
⋅
2
⋅
1
=
220.
(
12
3
)
=
12
⋅
11
⋅
10
3
⋅
2
⋅
1
=
220.
((12)/(3))=(12*11*10)/(3*2*1)=220. \displaystyle \binom{12}{3}
= \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1}
= 220. ( 12 3 ) = 12 ⋅ 11 ⋅ 10 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 220.
(
x
1
/
3
)
9
=
x
9
/
3
=
x
3
.
(
x
1
/
3
)
9
=
x
9
/
3
=
x
3
.
(x^(1//3))^(9)=x^(9//3)=x^(3). \displaystyle \bigl(x^{1/3}\bigr)^{9}
= x^{9/3}
= x^{3}. ( x 1 / 3 ) 9 = x 9 / 3 = x 3 .
(
2
x
−
1
)
3
=
2
3
x
−
3
=
8
x
−
3
.
(
2
x
−
1
)
3
=
2
3
x
−
3
=
8
x
−
3
.
(2x^(-1))^(3)=2^(3)x^(-3)=8x^(-3). \displaystyle \bigl(2\,x^{-1}\bigr)^{3}
= 2^{3}\,x^{-3}
= 8\,x^{-3}. ( 2 x − 1 ) 3 = 2 3 x − 3 = 8 x − 3 .
Łącząc wszystko:
T
4
=
220
⋅
x
3
⋅
8
x
−
3
=
220
⋅
8
⋅
x
3
−
3
=
1760
⋅
x
0
=
1760.
T
4
=
220
⋅
x
3
⋅
8
x
−
3
=
220
⋅
8
⋅
x
3
−
3
=
1760
⋅
x
0
=
1760.
T_(4)=220*x^(3)*8x^(-3)=220*8*x^(3-3)=1760*x^(0)=1760. T_{4}
= 220 \;\cdot\; x^{3} \;\cdot\; 8\,x^{-3}
= 220 \;\cdot\; 8 \;\cdot\; x^{3 - 3}
= 1760 \;\cdot\; x^{0}
= 1760. T 4 = 220 ⋅ x 3 ⋅ 8 x − 3 = 220 ⋅ 8 ⋅ x 3 − 3 = 1760 ⋅ x 0 = 1760. Otrzymany wyraz nie zawiera
x
x
x x x (bo
x
0
=
1
x
0
=
1
x^(0)=1 x^{0} = 1 x 0 = 1 ) i jest równy:
1760
.
1760
.
1760. \boxed{1760}. 1760 .
Odpowiedź :Wyraz w rozwinięciu
(
x
3
+
2
x
)
12
(
x
3
+
2
x
)
12
(root(3)(x)+(2)/(x))^(12) \bigl(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{x}\bigr)^{12} ( x 3 + 2 x ) 12 , w którym nie występuje
x
x
x x x , to
1760
.
1760
.
1760. \boxed{1760}. 1760 . Zadanie 6(62). Znaleźć wyraz w rozwinięciu dwumianu
(
a
b
3
+
b
a
3
)
21
a
b
3
+
b
a
3
21
(root(3)((a)/(sqrtb))+sqrt((b)/(root(3)(a))))^(21) \left(\sqrt[3]{\frac{a}{\sqrt{b}}}+\sqrt{\frac{b}{\sqrt[3]{a}}}\right)^{21} ( a b 3 + b a 3 ) 21 w którym
a
a
a a a
b
b
b b b .
Rozwiązanie krok po kroku
Rozpisanie składników
Pierwszy składnik:
A
=
a
b
3
=
(
a
b
1
/
2
)
1
/
3
=
a
1
/
3
b
−
1
/
6
.
A
=
a
b
3
=
a
b
1
/
2
1
/
3
=
a
1
/
3
b
−
1
/
6
.
A=root(3)((a)/(sqrtb))=((a)/(b^(1//2)))^(1//3)=a^(1//3)b^(-1//6). A = \sqrt[3]{\frac{a}{\sqrt{b}}} = \left(\frac{a}{b^{1/2}}\right)^{1/3} = a^{1/3} b^{-1/6}. A = a b 3 = ( a b 1 / 2 ) 1 / 3 = a 1 / 3 b − 1 / 6 .
Drugi składnik:
B
=
b
a
3
=
(
b
a
1
/
3
)
1
/
2
=
b
1
/
2
a
−
1
/
6
.
B
=
b
a
3
=
b
a
1
/
3
1
/
2
=
b
1
/
2
a
−
1
/
6
.
B=sqrt((b)/(root(3)(a)))=((b)/(a^(1//3)))^(1//2)=b^(1//2)a^(-1//6). B = \sqrt{\frac{b}{\sqrt[3]{a}}} = \left(\frac{b}{a^{1/3}}\right)^{1/2} = b^{1/2} a^{-1/6}. B = b a 3 = ( b a 1 / 3 ) 1 / 2 = b 1 / 2 a − 1 / 6 .
Ogólny wyraz w rozwinięciu
(
A
+
B
)
21
(
A
+
B
)
21
(A+B)^(21) (A + B)^{21} ( A + B ) 21
T
k
+
1
=
(
21
k
)
A
21
−
k
B
k
.
T
k
+
1
=
(
21
k
)
A
21
−
k
B
k
.
T_(k+1)=((21 )/(k))A^(21-k)B^(k). T_{k+1} = \binom{21}{k} A^{21-k} B^k. T k + 1 = ( 21 k ) A 21 − k B k . Podstawiamy wartości
A
A
A A A i
B
B
B B B :
A
21
−
k
=
(
a
1
/
3
b
−
1
/
6
)
21
−
k
=
a
(
21
−
k
)
/
3
b
−
(
21
−
k
)
/
6
.
A
21
−
k
=
a
1
/
3
b
−
1
/
6
21
−
k
=
a
(
21
−
k
)
/
3
b
−
(
21
−
k
)
/
6
.
A^(21-k)=(a^(1//3)b^(-1//6))^(21-k)=a^((21-k)//3)b^(-(21-k)//6). A^{21-k} = \left(a^{1/3} b^{-1/6}\right)^{21-k} = a^{(21-k)/3} b^{-(21-k)/6}. A 21 − k = ( a 1 / 3 b − 1 / 6 ) 21 − k = a ( 21 − k ) / 3 b − ( 21 − k ) / 6 .
B
k
=
(
b
1
/
2
a
−
1
/
6
)
k
=
b
k
/
2
a
−
k
/
6
.
B
k
=
b
1
/
2
a
−
1
/
6
k
=
b
k
/
2
a
−
k
/
6
.
B^(k)=(b^(1//2)a^(-1//6))^(k)=b^(k//2)a^(-k//6). B^k = \left(b^{1/2} a^{-1/6}\right)^k = b^{k/2} a^{-k/6}. B k = ( b 1 / 2 a − 1 / 6 ) k = b k / 2 a − k / 6 .
Łączne wykładniki
a
a
a a a
b
b
b b b
Wykładnik
a
a
a a a :
21
−
k
3
−
k
6
=
21
−
k
3
−
k
6
.
21
−
k
3
−
k
6
=
21
−
k
3
−
k
6
.
(21-k)/(3)-(k)/(6)=(21-k)/(3)-(k)/(6). \frac{21-k}{3} - \frac{k}{6} = \frac{21-k}{3} - \frac{k}{6}. 21 − k 3 − k 6 = 21 − k 3 − k 6 . Wykładnik
b
b
b b b :
−
21
−
k
6
+
k
2
=
k
2
−
21
−
k
6
.
−
21
−
k
6
+
k
2
=
k
2
−
21
−
k
6
.
-(21-k)/(6)+(k)/(2)=(k)/(2)-(21-k)/(6). -\frac{21-k}{6} + \frac{k}{2} = \frac{k}{2} - \frac{21-k}{6}. − 21 − k 6 + k 2 = k 2 − 21 − k 6 .
Warunek równości wykładników
21
−
k
3
−
k
6
=
k
2
−
21
−
k
6
.
21
−
k
3
−
k
6
=
k
2
−
21
−
k
6
.
(21-k)/(3)-(k)/(6)=(k)/(2)-(21-k)/(6). \frac{21-k}{3} - \frac{k}{6} = \frac{k}{2} - \frac{21-k}{6}. 21 − k 3 − k 6 = k 2 − 21 − k 6 . Mnożymy przez 6, aby pozbyć się mianowników:
2
(
21
−
k
)
−
k
=
3
k
−
(
21
−
k
)
.
2
(
21
−
k
)
−
k
=
3
k
−
(
21
−
k
)
.
2(21-k)-k=3k-(21-k). 2(21-k) - k = 3k - (21-k). 2 ( 21 − k ) − k = 3 k − ( 21 − k ) .
42
−
2
k
−
k
=
3
k
−
21
+
k
.
42
−
2
k
−
k
=
3
k
−
21
+
k
.
42-2k-k=3k-21+k. 42 - 2k - k = 3k - 21 + k. 42 − 2 k − k = 3 k − 21 + k .
42
−
3
k
=
4
k
−
21.
42
−
3
k
=
4
k
−
21.
42-3k=4k-21. 42 - 3k = 4k - 21. 42 − 3 k = 4 k − 21.
42
+
21
=
4
k
+
3
k
.
42
+
21
=
4
k
+
3
k
.
42+21=4k+3k. 42 + 21 = 4k + 3k. 42 + 21 = 4 k + 3 k .
63
=
7
k
.
63
=
7
k
.
63=7k. 63 = 7k. 63 = 7 k .
k
=
9.
k
=
9.
k=9. k = 9. k = 9.
Wyznaczenie wyrazu dla
k
=
9
k
=
9
k=9 k=9 k = 9
Wyraz ten to
T
10
T
10
T_(10) T_{10} T 10 , czyli:
T
10
=
(
21
9
)
A
12
B
9
.
T
10
=
(
21
9
)
A
12
B
9
.
T_(10)=((21)/(9))A^(12)B^(9). T_{10} = \binom{21}{9} A^{12} B^9. T 10 = ( 21 9 ) A 12 B 9 . Podstawiając:
A
12
=
(
a
1
/
3
b
−
1
/
6
)
12
=
a
4
b
−
2
.
A
12
=
a
1
/
3
b
−
1
/
6
12
=
a
4
b
−
2
.
A^(12)=(a^(1//3)b^(-1//6))^(12)=a^(4)b^(-2). A^{12} = \left(a^{1/3} b^{-1/6}\right)^{12} = a^{4} b^{-2}. A 12 = ( a 1 / 3 b − 1 / 6 ) 12 = a 4 b − 2 .
B
9
=
(
b
1
/
2
a
−
1
/
6
)
9
=
b
9
/
2
a
−
3
/
2
.
B
9
=
b
1
/
2
a
−
1
/
6
9
=
b
9
/
2
a
−
3
/
2
.
B^(9)=(b^(1//2)a^(-1//6))^(9)=b^(9//2)a^(-3//2). B^9 = \left(b^{1/2} a^{-1/6}\right)^9 = b^{9/2} a^{-3/2}. B 9 = ( b 1 / 2 a − 1 / 6 ) 9 = b 9 / 2 a − 3 / 2 . Łącząc:
T
10
=
(
21
9
)
a
4
−
3
/
2
b
−
2
+
9
/
2
.
T
10
=
(
21
9
)
a
4
−
3
/
2
b
−
2
+
9
/
2
.
T_(10)=((21)/(9))a^(4-3//2)b^(-2+9//2). T_{10} = \binom{21}{9} a^{4 - 3/2} b^{-2 + 9/2}. T 10 = ( 21 9 ) a 4 − 3 / 2 b − 2 + 9 / 2 . Upraszczamy:
T
10
=
(
21
9
)
a
5
/
2
b
5
/
2
.
T
10
=
(
21
9
)
a
5
/
2
b
5
/
2
.
T_(10)=((21)/(9))a^(5//2)b^(5//2). T_{10} = \binom{21}{9} a^{5/2} b^{5/2}. T 10 = ( 21 9 ) a 5 / 2 b 5 / 2 .
Odpowiedź:
Wyraz, w którym
a
a
a a a i
b
b
b b b występują w tej samej potędze, to:
(
21
9
)
a
5
/
2
b
5
/
2
.
(
21
9
)
a
5
/
2
b
5
/
2
.
((21)/(9))a^(5//2)b^(5//2). \boxed{\binom{21}{9} a^{5/2} b^{5/2}.} ( 21 9 ) a 5 / 2 b 5 / 2 . Zadanie 7(63). Znaleźć
n
n
n n n , dla którego
współczynniki przy szóstym i dziesiątym wyrazie rozwinięcia dwumianu
(
1
+
x
)
n
(
1
+
x
)
n
(1+x)^(n) (1 + x)^n ( 1 + x ) n są równe .
Rozwiązanie krok po kroku
Ogólna postać wyrazu w
(
1
+
x
)
n
(
1
+
x
)
n
(1+x)^(n) (1 + x)^n ( 1 + x ) n
T
k
+
1
=
(
n
k
)
x
k
.
T
k
+
1
=
(
n
k
)
x
k
.
T_(k+1)=((n)/(k))x^(k). T_{k+1} = \binom{n}{k}\,x^k. T k + 1 = ( n k ) x k . Współczynnikiem przy
x
k
x
k
x^(k) x^k x k jest
(
n
k
)
(
n
k
)
((n)/(k)) \binom{n}{k} ( n k ) .
Wyrazy 6. i 10.
wyraz odpowiada
k
=
5
k
=
5
k=5 k=5 k = 5
⟹
⟹
Longrightarrow \implies ⟹
(
n
5
)
(
n
5
)
((n)/(5)) \binom{n}{5} ( n 5 )
wyraz odpowiada
k
=
9
k
=
9
k=9 k=9 k = 9
⟹
⟹
Longrightarrow \implies ⟹
(
n
9
)
(
n
9
)
((n)/(9)) \binom{n}{9} ( n 9 )
Warunek równości współczynników
(
n
5
)
=
(
n
9
)
.
(
n
5
)
=
(
n
9
)
.
((n)/(5))=((n)/(9)). \binom{n}{5} = \binom{n}{9}. ( n 5 ) = ( n 9 ) . Własność:
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
((n)/(k))=((n)/(n-k)) \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} ( n k ) = ( n n − k ) .
Równość zachodzi, gdy
n
−
5
=
9
⟹
n
=
14
n
−
5
=
9
⟹
n
=
14
n-5=9Longrightarrown=14 n-5 = 9 \implies n=14 n − 5 = 9 ⟹ n = 14 .
Odpowiedź:
n
=
14
.
n
=
14
.
n=14. \boxed{n = 14}. n = 14 . Zadanie 8(64). Do jakiej potęgi
n
n
n n n należy podnieść dwumian
(
a
+
x
)
(
a
+
x
)
(a+x) (a + x) ( a + x ) , by współczynnik przy
x
8
x
8
x^(8) x^8 x 8 był równy
144
160
?
144
160
?
(144)/(160)? \frac{144}{160}? 144 160 ? Rozwiązanie krok po kroku
Ogólny wyraz w rozwinięciu
(
a
+
x
)
n
(
a
+
x
)
n
(a+x)^(n) (a + x)^n ( a + x ) n
Rozwinięcie dwumianu Newtona ma postać:
(
a
+
x
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
x
k
.
(
a
+
x
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
x
k
.
(a+x)^(n)=sum_(k=0)^(n)((n)/(k))a^(n-k)x^(k). (a + x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} x^k. ( a + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k x k . Współczynnik przy
x
k
x
k
x^(k) x^k x k wynosi:
(
n
k
)
a
n
−
k
.
(
n
k
)
a
n
−
k
.
((n)/(k))a^(n-k). \binom{n}{k} a^{n-k}. ( n k ) a n − k .
Współczynnik przy
x
8
x
8
x^(8) x^8 x 8
Interesuje nas wyraz dla
k
=
8
k
=
8
k=8 k = 8 k = 8 , czyli współczynnik wynosi:
(
n
8
)
a
n
−
8
.
(
n
8
)
a
n
−
8
.
((n)/(8))a^(n-8). \binom{n}{8} a^{n-8}. ( n 8 ) a n − 8 . Wiemy, że:
(
n
8
)
a
n
−
8
=
144
160
.
(
n
8
)
a
n
−
8
=
144
160
.
((n)/(8))a^(n-8)=(144)/(160). \binom{n}{8} a^{n-8} = \frac{144}{160}. ( n 8 ) a n − 8 = 144 160 .
Uproszczenie równania
(
n
8
)
a
n
−
8
=
9
10
.
(
n
8
)
a
n
−
8
=
9
10
.
((n)/(8))a^(n-8)=(9)/(10). \binom{n}{8} a^{n-8} = \frac{9}{10}. ( n 8 ) a n − 8 = 9 10 . Stąd:
(
n
8
)
=
9
10
a
n
−
8
.
(
n
8
)
=
9
10
a
n
−
8
.
((n)/(8))=(9)/(10a^(n-8)). \binom{n}{8} = \frac{9}{10 a^{n-8}}. ( n 8 ) = 9 10 a n − 8 .
Wzór na współczynnik dwumianowy
(
n
8
)
=
n
!
8
!
(
n
−
8
)
!
.
(
n
8
)
=
n
!
8
!
(
n
−
8
)
!
.
((n)/(8))=(n!)/(8!(n-8)!). \binom{n}{8} = \frac{n!}{8!(n-8)!}. ( n 8 ) = n ! 8 ! ( n − 8 ) ! . Podstawiamy:
n
!
8
!
(
n
−
8
)
!
=
9
10
a
n
−
8
.
n
!
8
!
(
n
−
8
)
!
=
9
10
a
n
−
8
.
(n!)/(8!(n-8)!)=(9)/(10a^(n-8)). \frac{n!}{8!(n-8)!} = \frac{9}{10 a^{n-8}}. n ! 8 ! ( n − 8 ) ! = 9 10 a n − 8 .
Założenie
a
=
1
a
=
1
a=1 a = 1 a = 1
Jeśli
a
=
1
a
=
1
a=1 a = 1 a = 1 , to:
(
n
8
)
=
9
10
.
(
n
8
)
=
9
10
.
((n)/(8))=(9)/(10). \binom{n}{8} = \frac{9}{10}. ( n 8 ) = 9 10 . Oznacza to, że musimy znaleźć naturalne
n
n
n n n , dla którego
(
n
8
)
(
n
8
)
((n)/(8)) \binom{n}{8} ( n 8 ) jest ułamkiem
mniejszym od 1 , co jest niemożliwe dla naturalnego
n
n
n n n .
Wniosek:
Nie istnieje
naturalne
n
n
n n n , dla którego równanie miałoby sens, ponieważ
(
n
8
)
(
n
8
)
((n)/(8)) \binom{n}{8} ( n 8 ) jest zawsze liczbą całkowitą, a prawa strona to ułamek.
Zadanie 9(65). Treść: wyrazów wymiernych zawiera rozwinięcie dwumianu
(
2
+
3
4
)
60
?
2
+
3
4
60
?
(sqrt2+root(4)(3))^(60)? \left(\sqrt{2} + \sqrt[4]{3}\right)^{60}? ( 2 + 3 4 ) 60 ? Rozwiązanie krok po kroku
Identyfikacja składników
Pierwszy składnik:
A
=
2
=
2
1
/
2
.
A
=
2
=
2
1
/
2
.
A=sqrt2=2^(1//2). A = \sqrt{2} = 2^{1/2}. A = 2 = 2 1 / 2 .
Drugi składnik:
B
=
3
4
=
3
1
/
4
.
B
=
3
4
=
3
1
/
4
.
B=root(4)(3)=3^(1//4). B = \sqrt[4]{3} = 3^{1/4}. B = 3 4 = 3 1 / 4 .
Ogólny wyraz w rozwinięciu
T
k
+
1
=
(
60
k
)
A
60
−
k
B
k
.
T
k
+
1
=
(
60
k
)
A
60
−
k
B
k
.
T_(k+1)=((60 )/(k))A^(60-k)B^(k). T_{k+1} = \binom{60}{k} A^{60-k} B^k. T k + 1 = ( 60 k ) A 60 − k B k . Po podstawieniu:
T
k
+
1
=
(
60
k
)
(
2
1
2
)
60
−
k
(
3
1
4
)
k
.
T
k
+
1
=
(
60
k
)
2
1
2
60
−
k
3
1
4
k
.
T_(k+1)=((60 )/(k))(2^((1)/(2)))^(60-k)(3^((1)/(4)))^(k). T_{k+1} = \binom{60}{k} \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{60-k} \left(3^{\frac{1}{4}}\right)^k. T k + 1 = ( 60 k ) ( 2 1 2 ) 60 − k ( 3 1 4 ) k . Upraszczamy wykładniki:
T
k
+
1
=
(
60
k
)
2
(
60
−
k
)
/
2
3
k
/
4
.
T
k
+
1
=
(
60
k
)
2
(
60
−
k
)
/
2
3
k
/
4
.
T_(k+1)=((60 )/(k))2^((60-k)//2)3^(k//4). T_{k+1} = \binom{60}{k} 2^{(60-k)/2} 3^{k/4}. T k + 1 = ( 60 k ) 2 ( 60 − k ) / 2 3 k / 4 .
=
(
60
k
)
2
30
−
k
/
2
3
k
/
4
.
=
(
60
k
)
2
30
−
k
/
2
3
k
/
4
.
=((60 )/(k))2^(30-k//2)3^(k//4). = \binom{60}{k} 2^{30 - k/2} 3^{k/4}. = ( 60 k ) 2 30 − k / 2 3 k / 4 .
Warunek wyrazów wymiernych
Aby
T
k
+
1
T
k
+
1
T_(k+1) T_{k+1} T k + 1 był liczbą wymierną, wykładniki przy
2 i
3 muszą być liczbami całkowitymi.
Dla
2
30
−
k
/
2
2
30
−
k
/
2
2^(30-k//2) 2^{30 - k/2} 2 30 − k / 2
30
−
k
/
2
∈
Z
⇒
k
/
2
∈
Z
⇒
k
podzielne przez
2.
30
−
k
/
2
∈
Z
⇒
k
/
2
∈
Z
⇒
k
podzielne przez
2.
30-k//2inZ=>k//2inZ=>k" podzielne przez "2. 30 - k/2 \in \mathbb{Z} \Rightarrow k/2 \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \text{ podzielne przez } 2. 30 − k / 2 ∈ Z ⇒ k / 2 ∈ Z ⇒ k podzielne przez 2. Dla
3
k
/
4
3
k
/
4
3^(k//4) 3^{k/4} 3 k / 4
k
/
4
∈
Z
⇒
k
podzielne przez
4.
k
/
4
∈
Z
⇒
k
podzielne przez
4.
k//4inZ=>k" podzielne przez "4. k/4 \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \text{ podzielne przez } 4. k / 4 ∈ Z ⇒ k podzielne przez 4.
Warunek wspólny
k
k
k k k musi być podzielne
zarówno przez 2, jak i przez 4 , czyli przez
najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) :
NWW
(
2
,
4
)
=
4.
NWW
(
2
,
4
)
=
4.
NWW(2,4)=4. \operatorname{NWW}(2,4) = 4. NWW ( 2 , 4 ) = 4. Czyli
k
k
k k k musi być wielokrotnością
4 .
Liczba takich
k
k
k k k
0
≤
k
≤
60
0
≤
k
≤
60
0 <= k <= 60 0 \leq k \leq 60 0 ≤ k ≤ 60
Możliwe wartości
k
k
k k k :
0
,
4
,
8
,
12
,
16
,
20
,
24
,
28
,
32
,
36
,
40
,
44
,
48
,
52
,
56
,
60.
0
,
4
,
8
,
12
,
16
,
20
,
24
,
28
,
32
,
36
,
40
,
44
,
48
,
52
,
56
,
60.
0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60. 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60. 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48 , 52 , 56 , 60. Jest ich 16 .
Odpowiedź:
16
.
16
.
16. \boxed{16}. 16 . Zadanie 10(66). Znaleźć wyrazy rozwinięcia dwumianu
(
3
5
+
2
7
)
24
,
3
5
+
2
7
24
,
(root(5)(3)+root(7)(2))^(24), \left(\sqrt[5]{3} + \sqrt[7]{2}\right)^{24}, ( 3 5 + 2 7 ) 24 , które są liczbami naturalnymi .
Rozwiązanie krok po kroku
Identyfikacja składników
Pierwszy składnik:
A
=
3
5
=
3
1
/
5
.
A
=
3
5
=
3
1
/
5
.
A=root(5)(3)=3^(1//5). A = \sqrt[5]{3} = 3^{1/5}. A = 3 5 = 3 1 / 5 .
Drugi składnik:
B
=
2
7
=
2
1
/
7
.
B
=
2
7
=
2
1
/
7
.
B=root(7)(2)=2^(1//7). B = \sqrt[7]{2} = 2^{1/7}. B = 2 7 = 2 1 / 7 .
Ogólny wyraz w rozwinięciu
T
k
+
1
=
(
24
k
)
A
24
−
k
B
k
.
T
k
+
1
=
(
24
k
)
A
24
−
k
B
k
.
T_(k+1)=((24 )/(k))A^(24-k)B^(k). T_{k+1} = \binom{24}{k} A^{24-k} B^k. T k + 1 = ( 24 k ) A 24 − k B k . Podstawiając wartości:
T
k
+
1
=
(
24
k
)
3
24
−
k
5
2
k
7
.
T
k
+
1
=
(
24
k
)
3
24
−
k
5
2
k
7
.
T_(k+1)=((24 )/(k))3^((24-k)/(5))2^((k)/(7)). T_{k+1} = \binom{24}{k} 3^{\frac{24-k}{5}} 2^{\frac{k}{7}}. T k + 1 = ( 24 k ) 3 24 − k 5 2 k 7 .
Warunek, aby
T
k
+
1
T
k
+
1
T_(k+1) T_{k+1} T k + 1
Aby wyraz był liczbą naturalną,
wykładniki potęg 3 i 2 muszą być liczbami całkowitymi :
Dla
3
(
24
−
k
)
/
5
3
(
24
−
k
)
/
5
3^((24-k)//5) 3^{(24-k)/5} 3 ( 24 − k ) / 5
24
−
k
5
∈
Z
⇒
24
−
k
podzielne przez
5.
24
−
k
5
∈
Z
⇒
24
−
k
podzielne przez
5.
(24-k)/(5)inZ=>24-k" podzielne przez "5. \frac{24 - k}{5} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 24 - k \text{ podzielne przez } 5. 24 − k 5 ∈ Z ⇒ 24 − k podzielne przez 5. Dla
2
k
/
7
2
k
/
7
2^(k//7) 2^{k/7} 2 k / 7
k
7
∈
Z
⇒
k
podzielne przez
7.
k
7
∈
Z
⇒
k
podzielne przez
7.
(k)/(7)inZ=>k" podzielne przez "7. \frac{k}{7} \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \text{ podzielne przez } 7. k 7 ∈ Z ⇒ k podzielne przez 7.
Wyznaczenie wartości
k
k
k k k
k
k
k k k musi być podzielne przez
7 , a
24
−
k
24
−
k
24-k 24 - k 24 − k przez
5 .
Szukamy wartości
k
k
k k k spełniających oba warunki:
Możliwe wartości
k
k
k k k 7 w zakresie
0
≤
k
≤
24
0
≤
k
≤
24
0 <= k <= 24 0 \leq k \leq 24 0 ≤ k ≤ 24
k
=
0
,
7
,
14
,
21.
k
=
0
,
7
,
14
,
21.
k=0,7,14,21. k = 0, 7, 14, 21. k = 0 , 7 , 14 , 21.
Warunek
24
−
k
24
−
k
24-k 24 - k 24 − k 5 :
Dla
k
=
0
k
=
0
k=0 k = 0 k = 0
24
−
0
=
24
24
−
0
=
24
24-0=24 24 - 0 = 24 24 − 0 = 24
Dla
k
=
7
k
=
7
k=7 k = 7 k = 7
24
−
7
=
17
24
−
7
=
17
24-7=17 24 - 7 = 17 24 − 7 = 17
Dla
k
=
14
k
=
14
k=14 k = 14 k = 14
24
−
14
=
10
24
−
14
=
10
24-14=10 24 - 14 = 10 24 − 14 = 10 podzielne przez 5 ).
Dla
k
=
21
k
=
21
k=21 k = 21 k = 21
24
−
21
=
3
24
−
21
=
3
24-21=3 24 - 21 = 3 24 − 21 = 3
Jedyna wartość spełniająca oba warunki to
k
=
14
k
=
14
k=14 k = 14 k = 14 .
Obliczenie konkretnego wyrazu dla
k
=
14
k
=
14
k=14 k = 14 k = 14
T
15
=
(
24
14
)
A
24
−
14
B
14
.
T
15
=
(
24
14
)
A
24
−
14
B
14
.
T_(15)=((24)/(14))A^(24-14)B^(14). T_{15} = \binom{24}{14} A^{24-14} B^{14}. T 15 = ( 24 14 ) A 24 − 14 B 14 .
=
(
24
14
)
3
10
5
2
14
7
.
=
(
24
14
)
3
10
5
2
14
7
.
=((24)/(14))3^((10)/(5))2^((14)/(7)). = \binom{24}{14} 3^{\frac{10}{5}} 2^{\frac{14}{7}}. = ( 24 14 ) 3 10 5 2 14 7 .
=
(
24
14
)
3
2
2
2
.
=
(
24
14
)
3
2
2
2
.
=((24)/(14))3^(2)2^(2). = \binom{24}{14} 3^2 2^2. = ( 24 14 ) 3 2 2 2 .
=
(
24
14
)
⋅
9
⋅
4.
=
(
24
14
)
⋅
9
⋅
4.
=((24)/(14))*9*4. = \binom{24}{14} \cdot 9 \cdot 4. = ( 24 14 ) ⋅ 9 ⋅ 4.
=
36
(
24
14
)
.
=
36
(
24
14
)
.
=36((24)/(14)). = 36 \binom{24}{14}. = 36 ( 24 14 ) . Ponieważ
(
24
14
)
(
24
14
)
((24)/(14)) \binom{24}{14} ( 24 14 ) jest liczbą naturalną,
T
15
T
15
T_(15) T_{15} T 15 również jest liczbą naturalną.
Odpowiedź:
T
15
=
36
(
24
14
)
.
T
15
=
36
(
24
14
)
.
T_(15)=36((24)/(14)). \boxed{T_{15} = 36 \binom{24}{14}.} T 15 = 36 ( 24 14 ) . Zadanie 11(67). Znaleźć wyrazy rozwinięcia dwumianu
(
3
3
+
2
)
5
3
3
+
2
5
(root(3)(3)+sqrt2)^(5) \left(\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}\right)^5 ( 3 3 + 2 ) 5 które są liczbami naturalnymi .
Rozwiązanie krok po kroku
Identyfikacja składników
Pierwszy składnik:
A
=
3
3
=
3
1
/
3
.
A
=
3
3
=
3
1
/
3
.
A=root(3)(3)=3^(1//3). A = \sqrt[3]{3} = 3^{1/3}. A = 3 3 = 3 1 / 3 .
Drugi składnik:
B
=
2
=
2
1
/
2
.
B
=
2
=
2
1
/
2
.
B=sqrt2=2^(1//2). B = \sqrt{2} = 2^{1/2}. B = 2 = 2 1 / 2 .
Ogólny wyraz w rozwinięciu
T
k
+
1
=
(
5
k
)
A
5
−
k
B
k
.
T
k
+
1
=
(
5
k
)
A
5
−
k
B
k
.
T_(k+1)=((5)/(k))A^(5-k)B^(k). T_{k+1} = \binom{5}{k} A^{5-k} B^k. T k + 1 = ( 5 k ) A 5 − k B k . Po podstawieniu wartości:
T
k
+
1
=
(
5
k
)
(
3
1
/
3
)
5
−
k
(
2
1
/
2
)
k
.
T
k
+
1
=
(
5
k
)
3
1
/
3
5
−
k
2
1
/
2
k
.
T_(k+1)=((5)/(k))(3^(1//3))^(5-k)(2^(1//2))^(k). T_{k+1} = \binom{5}{k} \left(3^{1/3}\right)^{5-k} \left(2^{1/2}\right)^k. T k + 1 = ( 5 k ) ( 3 1 / 3 ) 5 − k ( 2 1 / 2 ) k . Upraszczamy wykładniki:
T
k
+
1
=
(
5
k
)
3
(
5
−
k
)
/
3
2
k
/
2
.
T
k
+
1
=
(
5
k
)
3
(
5
−
k
)
/
3
2
k
/
2
.
T_(k+1)=((5)/(k))3^((5-k)//3)2^(k//2). T_{k+1} = \binom{5}{k} 3^{(5-k)/3} 2^{k/2}. T k + 1 = ( 5 k ) 3 ( 5 − k ) / 3 2 k / 2 .
Warunek na liczby naturalne
Aby
T
k
+
1
T
k
+
1
T_(k+1) T_{k+1} T k + 1 był liczbą naturalną, wykładniki przy
3 i
2 muszą być liczbami całkowitymi:
Dla
3
(
5
−
k
)
/
3
3
(
5
−
k
)
/
3
3^((5-k)//3) 3^{(5-k)/3} 3 ( 5 − k ) / 3 :
5
−
k
3
∈
Z
⇒
5
−
k
podzielne przez
3.
5
−
k
3
∈
Z
⇒
5
−
k
podzielne przez
3.
(5-k)/(3)inZ=>5-k" podzielne przez "3. \frac{5-k}{3} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 5-k \text{ podzielne przez } 3. 5 − k 3 ∈ Z ⇒ 5 − k podzielne przez 3. Dla
2
k
/
2
2
k
/
2
2^(k//2) 2^{k/2} 2 k / 2 :
k
2
∈
Z
⇒
k
podzielne przez
2.
k
2
∈
Z
⇒
k
podzielne przez
2.
(k)/(2)inZ=>k" podzielne przez "2. \frac{k}{2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \text{ podzielne przez } 2. k 2 ∈ Z ⇒ k podzielne przez 2.
Wyznaczenie wartości
k
k
k k k
Możliwe wartości
k
k
k k k 2 w zakresie
0
≤
k
≤
5
0
≤
k
≤
5
0 <= k <= 5 0 \leq k \leq 5 0 ≤ k ≤ 5
k
=
0
,
2
,
4.
k
=
0
,
2
,
4.
k=0,2,4. k = 0, 2, 4. k = 0 , 2 , 4.
Warunek
5
−
k
5
−
k
5-k 5-k 5 − k podzielnego przez
3 :
Dla
k
=
0
k
=
0
k=0 k = 0 k = 0
5
−
0
=
5
5
−
0
=
5
5-0=5 5-0 = 5 5 − 0 = 5
Dla
k
=
2
k
=
2
k=2 k = 2 k = 2
5
−
2
=
3
5
−
2
=
3
5-2=3 5-2 = 3 5 − 2 = 3 podzielne przez 3 ).
Dla
k
=
4
k
=
4
k=4 k = 4 k = 4
5
−
4
=
1
5
−
4
=
1
5-4=1 5-4 = 1 5 − 4 = 1
Jedyna wartość spełniająca oba warunki to
k
=
2
k
=
2
k=2 k = 2 k = 2
Obliczenie wyrazu dla
k
=
2
k
=
2
k=2 k = 2 k = 2
T
3
T
3
T_(3) T_3 T 3
T
3
=
(
5
2
)
A
5
−
2
B
2
.
T
3
=
(
5
2
)
A
5
−
2
B
2
.
T_(3)=((5)/(2))A^(5-2)B^(2). T_3 = \binom{5}{2} A^{5-2} B^2. T 3 = ( 5 2 ) A 5 − 2 B 2 .
=
(
5
2
)
3
3
3
2
2
2
.
=
(
5
2
)
3
3
3
2
2
2
.
=((5)/(2))3^((3)/(3))2^((2)/(2)). = \binom{5}{2} 3^{\frac{3}{3}} 2^{\frac{2}{2}}. = ( 5 2 ) 3 3 3 2 2 2 .
=
(
5
2
)
3
1
2
1
.
=
(
5
2
)
3
1
2
1
.
=((5)/(2))3^(1)2^(1). = \binom{5}{2} 3^1 2^1. = ( 5 2 ) 3 1 2 1 .
=
5
!
2
!
(
5
−
2
)
!
⋅
3
⋅
2.
=
5
!
2
!
(
5
−
2
)
!
⋅
3
⋅
2.
=(5!)/(2!(5-2)!)*3*2. = \frac{5!}{2!(5-2)!} \cdot 3 \cdot 2. = 5 ! 2 ! ( 5 − 2 ) ! ⋅ 3 ⋅ 2.
=
5
⋅
4
2
⋅
1
⋅
3
⋅
2.
=
5
⋅
4
2
⋅
1
⋅
3
⋅
2.
=(5*4)/(2*1)*3*2. = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 3 \cdot 2. = 5 ⋅ 4 2 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 2.
=
10
⋅
3
⋅
2.
=
10
⋅
3
⋅
2.
=10*3*2. = 10 \cdot 3 \cdot 2. = 10 ⋅ 3 ⋅ 2.
=
60.
=
60.
=60. = 60. = 60.
Odpowiedź:
T
3
=
60.
T
3
=
60.
T_(3)=60. \boxed{T_3 = 60.} T 3 = 60. Zadanie 12(68). Wykazać, że
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
.
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
.
((n)/(k))=((n)/(n-k)). \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. ( n k ) = ( n n − k ) . Rozwiązanie krok po kroku
Definicja symbolu Newtona (współczynnika dwumianowego)
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
((n)/(k))=(n!)/(k!(n-k)!). \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! . Podobnie dla
(
n
n
−
k
)
(
n
n
−
k
)
((n)/(n-k)) \binom{n}{n-k} ( n n − k ) :
(
n
n
−
k
)
=
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
.
(
n
n
−
k
)
=
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
.
((n)/(n-k))=(n!)/((n-k)!k!). \binom{n}{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}. ( n n − k ) = n ! ( n − k ) ! k ! .
Porównanie obu wyrażeń
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
=
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
.
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
=
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
.
(n!)/(k!(n-k)!)=(n!)/((n-k)!k!). \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)!k!}. n ! k ! ( n − k ) ! = n ! ( n − k ) ! k ! . Ponieważ mnożenie jest przemienne (
k
!
(
n
−
k
)
!
=
(
n
−
k
)
!
k
!
k
!
(
n
−
k
)
!
=
(
n
−
k
)
!
k
!
k!(n-k)!=(n-k)!k! k!(n-k)! = (n-k)!k! k ! ( n − k ) ! = ( n − k ) ! k ! ), wynika z tego, że:
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
.
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
.
((n)/(k))=((n)/(n-k)). \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. ( n k ) = ( n n − k ) .
Interpretacja kombinatoryczna
Współczynnik
(
n
k
)
(
n
k
)
((n)/(k)) \binom{n}{k} ( n k ) oznacza liczbę sposobów wybrania
k
k
k k k elementów z
n
n
n n n -elementowego zbioru.
Wybór
k
k
k k k elementów spośród
n
n
n n n to to samo co
pominięcie
n
−
k
n
−
k
n-k n-k n − k elementów, dlatego:
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
.
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
.
((n)/(k))=((n)/(n-k)). \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. ( n k ) = ( n n − k ) .
Odpowiedź:
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
jest prawdziwe.
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
jest prawdziwe.
((n)/(k))=((n)/(n-k))" jest prawdziwe." \boxed{\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \text{ jest prawdziwe.}} ( n k ) = ( n n − k ) jest prawdziwe. Zadanie 13(69). Dla jakich liczb
n
,
k
∈
N
n
,
k
∈
N
n,k inN n, k \in \mathbb{N} n , k ∈ N spełniona jest równość
(
n
k
)
=
(
n
k
+
1
)
?
(
n
k
)
=
(
n
k
+
1
)
?
((n)/(k))=((n)/(k+1))? \binom{n}{k} = \binom{n}{k+1}? ( n k ) = ( n k + 1 ) ? Rozwiązanie krok po kroku
Definicja symbolu Newtona
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
((n)/(k))=(n!)/(k!(n-k)!). \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! . Analogicznie:
(
n
k
+
1
)
=
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
(
n
k
+
1
)
=
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
((n)/(k+1))=(n!)/((k+1)!(n-k-1)!). \binom{n}{k+1} = \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}. ( n k + 1 ) = n ! ( k + 1 ) ! ( n − k − 1 ) ! .
Porównanie obu wyrażeń
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
=
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
=
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
(n!)/(k!(n-k)!)=(n!)/((k+1)!(n-k-1)!). \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}. n ! k ! ( n − k ) ! = n ! ( k + 1 ) ! ( n − k − 1 ) ! . Upraszczamy obie strony, skracając
n
!
n
!
n! n! n ! :
1
k
!
(
n
−
k
)
!
=
1
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
1
k
!
(
n
−
k
)
!
=
1
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
(1)/(k!(n-k)!)=(1)/((k+1)!(n-k-1)!). \frac{1}{k!(n-k)!} = \frac{1}{(k+1)!(n-k-1)!}. 1 k ! ( n − k ) ! = 1 ( k + 1 ) ! ( n − k − 1 ) ! .
1
k
!
(
n
−
k
)
!
=
1
(
k
+
1
)
⋅
k
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
1
k
!
(
n
−
k
)
!
=
1
(
k
+
1
)
⋅
k
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
(1)/(k!(n-k)!)=(1)/((k+1)*k!(n-k-1)!). \frac{1}{k!(n-k)!} = \frac{1}{(k+1) \cdot k!(n-k-1)!}. 1 k ! ( n − k ) ! = 1 ( k + 1 ) ⋅ k ! ( n − k − 1 ) ! . Mnożymy obie strony przez
k
!
(
n
−
k
−
1
)
!
k
!
(
n
−
k
−
1
)
!
k!(n-k-1)! k!(n-k-1)! k ! ( n − k − 1 ) ! , otrzymujemy:
(
n
−
k
)
=
(
k
+
1
)
.
(
n
−
k
)
=
(
k
+
1
)
.
(n-k)=(k+1). (n-k) = (k+1). ( n − k ) = ( k + 1 ) .
Wyznaczenie
n
n
n n n
k
k
k k k
n
−
k
=
k
+
1.
n
−
k
=
k
+
1.
n-k=k+1. n - k = k + 1. n − k = k + 1.
n
=
2
k
+
1.
n
=
2
k
+
1.
n=2k+1. n = 2k + 1. n = 2 k + 1. Oznacza to, że
n
n
n n n musi być
liczbą nieparzystą , a
k
k
k k k można wyznaczyć jako:
k
=
n
−
1
2
.
k
=
n
−
1
2
.
k=(n-1)/(2). k = \frac{n-1}{2}. k = n − 1 2 .
Odpowiedź Równość
(
n
k
)
=
(
n
k
+
1
)
(
n
k
)
=
(
n
k
+
1
)
((n)/(k))=((n)/(k+1)) \binom{n}{k} = \binom{n}{k+1} ( n k ) = ( n k + 1 ) zachodzi dla:
n
nieparzystych i
k
=
n
−
1
2
.
n
nieparzystych i
k
=
n
−
1
2
.
n" nieparzystych i "k=(n-1)/(2). \boxed{n \text{ nieparzystych i } k = \frac{n-1}{2}.} n nieparzystych i k = n − 1 2 . Zadanie 14(70). Udowodnić równość:
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
.
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
.
((n)/(k))+((n)/(k+1))=((n+1)/(k+1)). \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}. ( n k ) + ( n k + 1 ) = ( n + 1 k + 1 ) . Rozwiązanie krok po kroku
Definicja symbolu Newtona
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
((n)/(k))=(n!)/(k!(n-k)!). \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}. ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! . Analogicznie:
(
n
k
+
1
)
=
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
(
n
k
+
1
)
=
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
((n)/(k+1))=(n!)/((k+1)!(n-k-1)!). \binom{n}{k+1} = \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}. ( n k + 1 ) = n ! ( k + 1 ) ! ( n − k − 1 ) ! .
(
n
+
1
k
+
1
)
=
(
n
+
1
)
!
(
k
+
1
)
!
(
(
n
+
1
)
−
(
k
+
1
)
)
!
=
(
n
+
1
)
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
.
(
n
+
1
k
+
1
)
=
(
n
+
1
)
!
(
k
+
1
)
!
(
(
n
+
1
)
−
(
k
+
1
)
)
!
=
(
n
+
1
)
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
.
((n+1)/(k+1))=((n+1)!)/((k+1)!((n+1)-(k+1))!)=((n+1)!)/((k+1)!(n-k)!). \binom{n+1}{k+1} = \frac{(n+1)!}{(k+1)!((n+1)-(k+1))!} = \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}. ( n + 1 k + 1 ) = ( n + 1 ) ! ( k + 1 ) ! ( ( n + 1 ) − ( k + 1 ) ) ! = ( n + 1 ) ! ( k + 1 ) ! ( n − k ) ! .
Obliczenie lewej strony równości
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
+
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
+
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
−
1
)
!
.
((n)/(k))+((n)/(k+1))=(n!)/(k!(n-k)!)+(n!)/((k+1)!(n-k-1)!). \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}. ( n k ) + ( n k + 1 ) = n ! k ! ( n − k ) ! + n ! ( k + 1 ) ! ( n − k − 1 ) ! . Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
n
!
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
+
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
.
n
!
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
+
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
.
(n!(k+1))/((k+1)!(n-k)!)+(n!)/((k+1)!(n-k)!). \frac{n!(k+1)}{(k+1)! (n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)! (n-k)!}. n ! ( k + 1 ) ( k + 1 ) ! ( n − k ) ! + n ! ( k + 1 ) ! ( n − k ) ! .
=
n
!
(
k
+
1
)
+
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
.
=
n
!
(
k
+
1
)
+
n
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
.
=(n!(k+1)+n!)/((k+1)!(n-k)!). = \frac{n! (k+1) + n!}{(k+1)! (n-k)!}. = n ! ( k + 1 ) + n ! ( k + 1 ) ! ( n − k ) ! .
=
(
n
+
1
)
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
.
=
(
n
+
1
)
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
.
=((n+1)!)/((k+1)!(n-k)!). = \frac{(n+1)!}{(k+1)! (n-k)!}. = ( n + 1 ) ! ( k + 1 ) ! ( n − k ) ! .
Porównanie z prawą stroną
(
n
+
1
k
+
1
)
=
(
n
+
1
)
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
.
(
n
+
1
k
+
1
)
=
(
n
+
1
)
!
(
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
.
((n+1)/(k+1))=((n+1)!)/((k+1)!(n-k)!). \binom{n+1}{k+1} = \frac{(n+1)!}{(k+1)! (n-k)!}. ( n + 1 k + 1 ) = ( n + 1 ) ! ( k + 1 ) ! ( n − k ) ! . Obie strony są równe, więc dowód został przeprowadzony poprawnie.
Odpowiedź Równość
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
((n)/(k))+((n)/(k+1))=((n+1)/(k+1)) \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} ( n k ) + ( n k + 1 ) = ( n + 1 k + 1 ) jest prawdziwa.
Dowód zakończony.
Dowód zakończony.
"Dowód zakończony." \boxed{\text{Dowód zakończony.}} ó ń Dowód zakończony. Zadanie 15(71). Wykazać, że
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
+
(
n
n
)
=
2
n
.
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
+
(
n
n
)
=
2
n
.
((n)/(0))+((n)/(1))+((n)/(2))+cdots+((n)/(n-1))+((n)/(n))=2^(n). \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} = 2^n. ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ⋯ + ( n n − 1 ) + ( n n ) = 2 n . Rozwiązanie krok po kroku
Interpretacja kombinatoryczna
Każdy składnik sumy
(
n
k
)
(
n
k
)
((n)/(k)) \binom{n}{k} ( n k )
k
k
k k k
n
n
n n n
Zbiór
n
n
n n n łącznie
2
n
2
n
2^(n) 2^n 2 n
n
n
n n n
Suma wszystkich możliwości wyboru od 0 do
n
n
n n n
2
n
2
n
2^(n) 2^n 2 n
Dowód algebraiczny (z wykorzystaniem wzoru Newtona)
Rozważmy rozwinięcie wyrażenia
(
1
+
1
)
n
(
1
+
1
)
n
(1+1)^(n) (1+1)^n ( 1 + 1 ) n za pomocą wzoru dwumianowego Newtona:
(
1
+
1
)
n
=
(
2
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
1
k
1
n
−
k
.
(
1
+
1
)
n
=
(
2
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
1
k
1
n
−
k
.
(1+1)^(n)=(2)^(n)=sum_(k=0)^(n)((n)/(k))1^(k)1^(n-k). (1+1)^n = (2)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 1^k 1^{n-k}. ( 1 + 1 ) n = ( 2 ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) 1 k 1 n − k . Upraszczając:
2
n
=
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
+
(
n
n
)
.
2
n
=
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
+
(
n
n
)
.
2^(n)=((n)/(0))+((n)/(1))+((n)/(2))+cdots+((n)/(n-1))+((n)/(n)). 2^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n}. 2 n = ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ⋯ + ( n n − 1 ) + ( n n ) . Jest to dokładnie nasza teza.
Odpowiedź Równość
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
+
(
n
n
)
=
2
n
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
(
n
2
)
+
⋯
+
(
n
n
−
1
)
+
(
n
n
)
=
2
n
((n)/(0))+((n)/(1))+((n)/(2))+cdots+((n)/(n-1))+((n)/(n))=2^(n) \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n} = 2^n ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ⋯ + ( n n − 1 ) + ( n n ) = 2 n jest prawdziwa.
Dowód zakończony.
Dowód zakończony.
"Dowód zakończony." \boxed{\text{Dowód zakończony.}} ó ń Dowód zakończony. Zadanie 16(72). Udowodnić, że dla
n
>
1
n
>
1
n > 1 n > 1 n > 1 zachodzi równość:
(
n
1
)
−
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
−
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
n
(
n
n
)
=
0.
(
n
1
)
−
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
−
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
n
(
n
n
)
=
0.
((n)/(1))-2((n)/(2))+3((n)/(3))-cdots+(-1)^(n-1)n((n)/(n))=0. \binom{n}{1} - 2 \binom{n}{2} + 3 \binom{n}{3} - \dots + (-1)^{n-1} n \binom{n}{n} = 0. ( n 1 ) − 2 ( n 2 ) + 3 ( n 3 ) − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 n ( n n ) = 0. Rozwiązanie krok po kroku
Interpretacja kombinatoryczna
Wyrażenie po lewej stronie przypomina rozwinięcie pewnej sumy związanej z różnicami kolejnych współczynników dwumianowych.
Możemy spróbować udowodnić to algebraicznie, korzystając z odpowiedniej sumy szeregów.
Wykorzystanie własności pochodnej
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
n
.
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
n
.
f(x)=(1+x)^(n). f(x) = (1 + x)^n. f ( x ) = ( 1 + x ) n . Obliczmy jej pochodną:
f
′
(
x
)
=
n
(
1
+
x
)
n
−
1
.
f
′
(
x
)
=
n
(
1
+
x
)
n
−
1
.
f^(')(x)=n(1+x)^(n-1). f'(x) = n(1 + x)^{n-1}. f ′ ( x ) = n ( 1 + x ) n − 1 . Rozwijając prawą stronę zgodnie z wzorem Newtona:
n
(
1
+
x
)
n
−
1
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
x
k
.
n
(
1
+
x
)
n
−
1
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
x
k
.
n(1+x)^(n-1)=nsum_(k=0)^(n-1)((n-1)/(k))x^(k). n(1 + x)^{n-1} = n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} x^k. n ( 1 + x ) n − 1 = n ∑ k = 0 n − 1 ( n − 1 k ) x k . Jeśli podstawimy
x
=
−
1
x
=
−
1
x=-1 x = -1 x = − 1 , otrzymujemy:
n
(
1
−
1
)
n
−
1
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
(
−
1
)
k
.
n
(
1
−
1
)
n
−
1
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
(
−
1
)
k
.
n(1-1)^(n-1)=nsum_(k=0)^(n-1)((n-1)/(k))(-1)^(k). n(1 - 1)^{n-1} = n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} (-1)^k. n ( 1 − 1 ) n − 1 = n ∑ k = 0 n − 1 ( n − 1 k ) ( − 1 ) k .
0
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
(
−
1
)
k
.
0
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
(
−
1
)
k
.
0=nsum_(k=0)^(n-1)((n-1)/(k))(-1)^(k). 0 = n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} (-1)^k. 0 = n ∑ k = 0 n − 1 ( n − 1 k ) ( − 1 ) k . Przekształcając indeksy w sumie:
0
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
k
(
n
k
)
.
0
=
∑
k
=
1
n
(
−
1
)
k
−
1
k
(
n
k
)
.
0=sum_(k=1)^(n)(-1)^(k-1)k((n)/(k)). 0 = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k \binom{n}{k}. 0 = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 k ( n k ) . Jest to dokładnie lewa strona równania.
Odpowiedź Udowodniliśmy, że
(
n
1
)
−
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
−
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
n
(
n
n
)
=
0.
(
n
1
)
−
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
−
⋯
+
(
−
1
)
n
−
1
n
(
n
n
)
=
0.
((n)/(1))-2((n)/(2))+3((n)/(3))-cdots+(-1)^(n-1)n((n)/(n))=0. \binom{n}{1} - 2 \binom{n}{2} + 3 \binom{n}{3} - \dots + (-1)^{n-1} n \binom{n}{n} = 0. ( n 1 ) − 2 ( n 2 ) + 3 ( n 3 ) − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 n ( n n ) = 0.
Dowód zakończony.
Dowód zakończony.
"Dowód zakończony." \boxed{\text{Dowód zakończony.}} ó ń Dowód zakończony. Zadanie 17(73). Udowodnić, że:
(
n
1
)
+
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
+
⋯
+
n
(
n
n
)
=
n
⋅
2
n
−
1
.
(
n
1
)
+
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
+
⋯
+
n
(
n
n
)
=
n
⋅
2
n
−
1
.
((n)/(1))+2((n)/(2))+3((n)/(3))+cdots+n((n)/(n))=n*2^(n-1). \binom{n}{1} + 2\binom{n}{2} + 3\binom{n}{3} + \dots + n\binom{n}{n} = n \cdot 2^{n-1}. ( n 1 ) + 2 ( n 2 ) + 3 ( n 3 ) + ⋯ + n ( n n ) = n ⋅ 2 n − 1 . Rozwiązanie krok po kroku 1. Interpretacja kombinatoryczna Lewa strona sumy zawiera składniki postaci
k
(
n
k
)
k
(
n
k
)
k((n)/(k)) k \binom{n}{k} k ( n k ) , co oznacza, że każde wybrane
k
k
k k k -elementowe podzbiory ze zbioru
n
n
n n n -elementowego są mnożone przez ich liczność.
Wartością tej sumy jest
liczba wszystkich podzbiorów zbioru
n
n
n n n . Jest to równe
n
⋅
2
n
−
1
n
⋅
2
n
−
1
n*2^(n-1) n \cdot 2^{n-1} n ⋅ 2 n − 1 , ponieważ każdy element zbioru pojawia się w dokładnie połowie wszystkich podzbiorów.
2. Dowód algebraiczny (za pomocą pochodnej dwumianu Newtona) Rozważmy funkcję:
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
n
.
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
n
.
f(x)=(1+x)^(n). f(x) = (1+x)^n. f ( x ) = ( 1 + x ) n . Obliczamy jej pochodną:
f
′
(
x
)
=
n
(
1
+
x
)
n
−
1
.
f
′
(
x
)
=
n
(
1
+
x
)
n
−
1
.
f^(')(x)=n(1+x)^(n-1). f'(x) = n(1+x)^{n-1}. f ′ ( x ) = n ( 1 + x ) n − 1 . Rozwijając pochodną w szereg:
n
(
1
+
x
)
n
−
1
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
x
k
.
n
(
1
+
x
)
n
−
1
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
x
k
.
n(1+x)^(n-1)=nsum_(k=0)^(n-1)((n-1)/(k))x^(k). n(1+x)^{n-1} = n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} x^k. n ( 1 + x ) n − 1 = n ∑ k = 0 n − 1 ( n − 1 k ) x k . Podstawiając
x
=
1
x
=
1
x=1 x = 1 x = 1 , otrzymujemy:
n
(
1
+
1
)
n
−
1
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
.
n
(
1
+
1
)
n
−
1
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
.
n(1+1)^(n-1)=nsum_(k=0)^(n-1)((n-1)/(k)). n(1+1)^{n-1} = n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}. n ( 1 + 1 ) n − 1 = n ∑ k = 0 n − 1 ( n − 1 k ) .
n
⋅
2
n
−
1
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
.
n
⋅
2
n
−
1
=
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
n
−
1
k
)
.
n*2^(n-1)=nsum_(k=0)^(n-1)((n-1)/(k)). n \cdot 2^{n-1} = n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}. n ⋅ 2 n − 1 = n ∑ k = 0 n − 1 ( n − 1 k ) . Przekształcając indeksy sumy:
n
∑
k
=
1
n
(
n
k
)
=
n
⋅
2
n
−
1
.
n
∑
k
=
1
n
(
n
k
)
=
n
⋅
2
n
−
1
.
nsum_(k=1)^(n)((n)/(k))=n*2^(n-1). n \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = n \cdot 2^{n-1}. n ∑ k = 1 n ( n k ) = n ⋅ 2 n − 1 . Jest to dokładnie lewa strona równania.
Odpowiedź Udowodniliśmy, że:
(
n
1
)
+
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
+
⋯
+
n
(
n
n
)
=
n
⋅
2
n
−
1
.
(
n
1
)
+
2
(
n
2
)
+
3
(
n
3
)
+
⋯
+
n
(
n
n
)
=
n
⋅
2
n
−
1
.
((n)/(1))+2((n)/(2))+3((n)/(3))+cdots+n((n)/(n))=n*2^(n-1). \binom{n}{1} + 2\binom{n}{2} + 3\binom{n}{3} + \dots + n\binom{n}{n} = n \cdot 2^{n-1}. ( n 1 ) + 2 ( n 2 ) + 3 ( n 3 ) + ⋯ + n ( n n ) = n ⋅ 2 n − 1 .
Dowód zakończony.
Dowód zakończony.
"Dowód zakończony." \boxed{\text{Dowód zakończony.}} ó ń Dowód zakończony. Zadanie 18(74). Wykładniki potęg dwóch dwumianów są liczbami naturalnymi i różnią się o 5. Znaleźć te wykładniki, wiedząc, że suma współczynników w rozwinięciach obu dwumianów jest równa 264.
Rozwiązanie krok po kroku
Suma współczynników w rozwinięciu dwumianu
Dla dowolnego dwumianu w postaci
(
1
+
1
)
n
(
1
+
1
)
n
(1+1)^(n) (1 + 1)^n ( 1 + 1 ) n
S
=
2
n
.
S
=
2
n
.
S=2^(n). S = 2^n. S = 2 n .
Mamy dwa takie dwumiany o wykładnikach
n
n
n n n
n
+
5
n
+
5
n+5 n+5 n + 5
2
n
+
2
n
+
5
=
264.
2
n
+
2
n
+
5
=
264.
2^(n)+2^(n+5)=264. 2^n + 2^{n+5} = 264. 2 n + 2 n + 5 = 264.
Rozwiązanie równania
Wyłączamy
2
n
2
n
2^(n) 2^n 2 n jako wspólny czynnik:
2
n
(
1
+
2
5
)
=
264.
2
n
(
1
+
2
5
)
=
264.
2^(n)(1+2^(5))=264. 2^n (1 + 2^5) = 264. 2 n ( 1 + 2 5 ) = 264.
2
n
⋅
33
=
264.
2
n
⋅
33
=
264.
2^(n)*33=264. 2^n \cdot 33 = 264. 2 n ⋅ 33 = 264.
2
n
=
264
33
=
8.
2
n
=
264
33
=
8.
2^(n)=(264)/(33)=8. 2^n = \frac{264}{33} = 8. 2 n = 264 33 = 8.
2
n
=
2
3
.
2
n
=
2
3
.
2^(n)=2^(3). 2^n = 2^3. 2 n = 2 3 .
n
=
3.
n
=
3.
n=3. n = 3. n = 3.
Obliczenie drugiego wykładnika
n
+
5
=
3
+
5
=
8.
n
+
5
=
3
+
5
=
8.
n+5=3+5=8. n+5 = 3+5 = 8. n + 5 = 3 + 5 = 8.
Odpowiedź Szukane wykładniki to:
3
i
8.
3
i
8.
3" i "8. \boxed{3 \text{ i } 8.} 3 i 8.
