Równania i nierówności kwadratowe z parametrem

Zbiór zadań Odsłon: 1937

Skorzystamy z tego, że równanie:
\[
a x^2+b x+c=0
\]
ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy są spełnione warunki:
\[
a \neq 0 \wedge \Delta>0
\]
a) Ponieważ warunek: \(a \neq 0\) jest spełniony (bo \(a=1\) ), więc należy rozwiązać nierówność: \(\Delta>0\).
\[
\begin{gathered}
\Delta=[-(m+3)]^2-4 \cdot \frac{m^2}{4}=m^2+6 m+9-m^2=6 m+9 \\
\Delta>0 \Longleftrightarrow m \in\left(-\frac{3}{2} ;+\infty\right)
\end{gathered}
\]
b) Zakładamy, że \(m \in R \backslash\{1\}\)
\[
\Delta=(-2 m)^2-4(m-1) m=4 m^2-4 m^2+4 m=4 m
\]
Ponieważ:
\[
4 m>0 \Longleftrightarrow m \in(0 ;+\infty),
\]
więc ostatecznie otrzymujemy:
\[
\begin{gathered}
\Delta>0 \Longleftrightarrow m \in(0 ; 1) \cup(1 ;+\infty) . \\
\text { Odp.: } m \in(0 ; 1) \cup(1 ;+\infty) .
\end{gathered}
\]
c) Zakładamy, że \(m \in R \backslash\{0\}\).
\[
\begin{aligned}
\Delta & =[-(m+2)]^2-4 \cdot m \cdot 2=(m+2)^2-8 m= \\
& =m^2+4 m+4-8 m=m^2-4 m+4=(m-2)^2
\end{aligned}
\]
Ponieważ:
\[
(m-2)^2>0 \Longleftrightarrow m \in R \backslash\{2\},
\]
więc ostatecznie otrzymujemy:
\[
\Delta>0 \Longleftrightarrow m \in R \backslash\{0,2\} .
\]
Odp.: \(m \in R \backslash\{0,2\}\)

d) Zakładamy, że \(m \in R \backslash\{1\}\).
\[
\begin{aligned}
\Delta & =[-(m+1)]^2-4(m-1) \cdot \frac{1}{4} \cdot(m+1)= \\
& =(m+1)^2-(m-1)(m+1)=m^2+2 m+1-\left(m^2-1\right)= \\
& =m^2+2 m+1-m^2+1=2 m+2 .
\end{aligned}
\]
Ponieważ:
\[
2 m+2>0 \Longleftrightarrow m \in(-1 ;+\infty),
\]
więc ostatecznie otrzymujemy:
\[
\Delta>0 \Longleftrightarrow m \in(-1 ; 1) \cup(1 ;+\infty) .
\]
Odp.: \(m \in(-1 ; 1) \cup(1 ;+\infty)\).

a) Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) \(m=0\). Otrzymujemy następujące równanie:
\[
-2 x-3=0
\]
Stąd \(x=-\frac{3}{2}\). Zatem liczba \(m=0\) spełnia warunki zadania.
2) \(m \in R \backslash\{0\}\). Wówczas dane równanie ma dokładnie jeden pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy \(\Delta=0\).
\[
\begin{aligned}
\Delta & =4(m-1)^2-4 m(m-3)=4\left(m^2-2 m+1\right)-4 m^2+12 m= \\
& =4 m^2-8 m+4-4 m^2+12 m=4 m+4
\end{aligned}
\]
Zatem:
\[
\Delta=0 \Longleftrightarrow m=-1
\]
oraz
\[
x=\frac{-2(m-1)}{2 m}=\frac{1-m}{m}=-2
\]
\[
\text { Odp.: } m_1=0, m_2=-1
\]
b) Dane równanie ma dokładnie jeden pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy \(\Delta=0\)
\[
\begin{gathered}
\Delta=(-m)^2-8=m^2-8 \\
\Delta=0 \quad \Longleftrightarrow m=-2 \sqrt{2} \quad \vee \quad m=2 \sqrt{2}
\end{gathered}
\]
Jeżeli \(m=-2 \sqrt{2}\), to \(x=\frac{m}{2}=-\sqrt{2}\). Jeżeli \(m=2 \sqrt{2}\), to \(x=\frac{m}{2}=\sqrt{2}\).
\[
\text { Odp.: } m_1=-2 \sqrt{2}, m_2=2 \sqrt{2} \text {. }
\]
c)
\[
\begin{aligned}
& \Delta=m^2-4(m+3)=m^2-4 m-12 \\
& \Delta=0 \quad \Longleftrightarrow \quad m=-2 \quad \vee \quad m=6
\end{aligned}
\]
Jeżeli \(m=-2\), to \(x=-\frac{m}{2}=1\). Jeżeli \(m=6\), to \(x=-\frac{m}{2}=-3\).
Odp.: \(m_1=-2, m_2=6\).

d) Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) \(m=0\). Otrzymujemy następujące równanie:
\[
0=12
\]
Ponieważ równanie to nie posiada rozwiązań, więc liczba \(m=0\) nie spełnia warunków zadania.
2) \(m \in R \backslash\{0\}\). Wówczas dane równanie ma dokładnie jeden pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy \(\Delta=0\).
\[
\begin{aligned}
\Delta & =(-2 m)^2-4 m(5 m-12)=4 m^2-20 m^2+48 m= \\
& =-16 m^2+48 m=16 m(-m+3)
\end{aligned}
\]
Zatem:
\[
\Delta=0 \Longleftrightarrow m=3 \quad \text { (zakładamy, że } m \neq 0)
\]
Jeżeli \(m=3\), to \(x=\frac{-(-2 m)}{2 m}=1\).
\[
\text { Odp.: } m=3 \text {. }
\]
e) Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) \(8 m-11=0\). Zatem \(m=\frac{11}{8}\). Otrzymujemy następujące równanie:
\[
-5 x+\frac{11}{8}-1=0
\]
Stąd \(x=\frac{3}{40}\). Zatem liczba \(m=\frac{11}{8}\) spełnia warunki zadania.
2) \(8 m-11 \neq 0\) (czyli \(\left.m \in R \backslash\left\{\frac{11}{8}\right\}\right)\).
\[
\begin{aligned}
\Delta & =(-5)^2-4(8 m-11)(m-1)=25-4\left(8 m^2-8 m-11 m+11\right)= \\
& =25-4\left(8 m^2-19 m+11\right)=25-32 m^2+76 m-44= \\
& =-32 m^2+76 m-19
\end{aligned}
\]
Zatem:
\[
\Delta=0 \quad \Longleftrightarrow \quad m=\frac{19+\sqrt{209}}{16} \quad \vee \quad m=\frac{19-\sqrt{209}}{16}
\]

Jeżeli \(m=\frac{19+\sqrt{209}}{16}\), to:
\[
\begin{aligned}
x & =\frac{5}{2(8 m-11)}=\frac{5}{2\left(\frac{19+\sqrt{209}}{2}-11\right)}=\frac{5}{2\left(\frac{19+\sqrt{209}-22}{2}\right)}= \\
& =\frac{5}{2\left(\frac{\sqrt{209}-3}{2}\right)}=\frac{5}{\sqrt{209}-3}=\frac{5(\sqrt{209}+3)}{(\sqrt{209}-3)(\sqrt{209}+3)}= \\
& =\frac{5(\sqrt{209}+3)}{209-9}=\frac{5(\sqrt{209}+3)}{200}=\frac{\sqrt{209}+3}{40}
\end{aligned}
\]
Jeżeli \(m=\frac{19-\sqrt{209}}{16}\), to analogicznie otrzymujemy:
\[
\begin{gathered}
x=\frac{3-\sqrt{209}}{40} \\
\text { Odp.: } m_1=\frac{11}{8}, m_2=\frac{19+\sqrt{209}}{16}, m_3=\frac{19-\sqrt{209}}{16} .
\end{gathered}
\]
f) Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) \(m=1\). Dane równanie przybiera postać:
\[
-4 x-1=0, \quad \text { czyli } \quad-4 x=1, \quad \text { skąd } \quad x=-\frac{1}{4}
\]
Zatem liczba \(m=1\) spelnia warunki zadania.
2) \(m \in R \backslash\{1\}\). Dane równanie ma, dokładnie jeden pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy \(\Delta=0\).
\[
\begin{aligned}
& \Delta=[-2(m+1)]^2-4(m-1)(m-2)= \\
&\left.=4(m+1)^2-4 m^2-2 m-m+2\right)= \\
&=4\left(m^2+2 m+1\right)-4\left(m^2-3 n+2\right)= \\
&=4 m^2+8 m+4-4 m^2+12 m-8=20 m-4 \\
& \Delta=0 \Longleftrightarrow m=\frac{1}{5}
\end{aligned}
\]
Jeżeli \(m=\frac{1}{5}\), to:
\[
\begin{gathered}
x=\frac{2(m+1)}{2(m-1)}=\frac{m+1}{m-1}=\frac{\frac{1}{5}+1}{\frac{1}{5}-1}=\frac{\frac{6}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{2} \\
\text { Odp.: } m_1=1, m_2=\frac{1}{5}
\end{gathered}
\]

g) Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) \(m=-1\). Dane równanie przybiera postać:
\[
-2 x-2=0, \quad \text { czyli } \quad-2 x=2, \quad \text { skąd } \quad x=-1
\]
Zatem liczba \(m=-1\) spelnia warunki zadania.
2) \(m \in R \backslash\{-1\}\). Dane równanie ma dokładnie jeden pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy \(\Delta=0\).
\[
\begin{gathered}
\Delta=(-2)^2-4(m+1)(m-1)=4-4\left(m^2-1\right)=4-4 m^2+4= \\
=-4 m^2+8=-4\left(m^2-2\right)=-4(m+\sqrt{2})(m-\sqrt{2}) \\
\Delta=0 \Longleftrightarrow m=-\sqrt{2} \vee m=\sqrt{2}
\end{gathered}
\]
Jeżeli \(m=-\sqrt{2}\), to:
\[
\begin{aligned}
x & =\frac{2}{2(m+1)}=\frac{1}{m+1}=\frac{1}{1-\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}= \\
& =\frac{1+\sqrt{2}}{1-2}=\frac{1+\sqrt{2}}{-1}=-1-\sqrt{2} .
\end{aligned}
\]
Jeżeli \(m=\sqrt{2}\), to:
\[
\begin{aligned}
x & =\frac{2}{2(m+1)}=\frac{1}{m+1}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}= \\
& =\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1
\end{aligned}
\]
\[
\text { Odp.: } m_1=-1, m_2=-\sqrt{2}, m_3=\sqrt{2} \text {. }
\]

Udowodnimy, że \(\Delta \geqslant 0\).
\[
\begin{aligned}
\Delta & =[-(a+b)]^2-4\left(a b-c^2\right)=a^2+2 a b+b^2-4 a b+4 c^2= \\
& =a^2-2 a b+b^2+4 c^2=(a-b)^2+(2 c)^2
\end{aligned}
\]
Ponieważ \((a-b)^2 \geqslant 0 \mathrm{i}(2 c)^2 \geqslant 0\), więc \(\Delta \geqslant 0\). Stąd wynika, że dane równanie posiada co najmniej jedno rozwiązanie.

a)
\[
\begin{gathered}
x^2-m^2=2 m x+1 \\
x^2-2 m x-m^2-1=0 \\
\Delta=(-2 m)^2-4\left(-m^2-1\right)=4 m^2+4 m^2+4=8 m^2+4=4\left(2 m^2+1\right)
\end{gathered}
\]
Ponieważ \(\Delta>0\) dla każdego \(m \in R\), więc dane równanie posiada dwa rozwiązania:
\[
x_1=\frac{2 m-2 \sqrt{2 m^2+1}}{2}, \quad x_2=\frac{2 m+2 \sqrt{2 m^2+1}}{2}
\]
Stąd:
\[
x_1=m-\sqrt{2 m^2+1}, \quad x_2=m+\sqrt{2 m^2+1}
\]

b)
\[
\begin{gathered}
x^2-m x+m=1 \\
x^2-m x+m-1=0 \\
\Delta=(-m)^2-4(m-1)=m^2-4 m+4=(m-2)^2
\end{gathered}
\]
Zauważmy, że \(\Delta \geqslant 0\) dla każdego \(m \in R\).
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) \(m \in R \backslash\{2\}\). Wówczas \(\Delta>0\). Dane równanie posiada dwa rozwiązania:
\[
x_1=\frac{m-|m-2|}{2}, \quad x_2=\frac{m+|m-2|}{2}
\]
2) \(m=2\). Wówczas \(\Delta=0\). Dane równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie:
\[
x=\frac{m}{2}=1
\]
c)
\[
\begin{gathered}
x^2+m n=(m+n) x \\
x^2-(m+n) x+m n=0 \\
\Delta=[-(m+n)]^2-4 m n=m^2+2 m n+n^2-4 m n= \\
=m^2-2 m n+n^2=(m-n)^2
\end{gathered}
\]
Zauważmy, że \(\Delta \geqslant 0\) dla dowolnych \(m, n \in R\).
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) \(m \neq n\). Wówczas \(\Delta>0\). Dane równanie posiada dwa rozwiązania:
\[
x_1=\frac{m+n-|m-n|}{2}, \quad x_2=\frac{m+n+|m-n|}{2}
\]
2) \(m=n\). Wówczas \(\Delta=0\). Dane równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie:
\[
x=\frac{m+n}{2}=\frac{2 m}{2}=m
\]

d)
\[
\begin{gathered}
x^2+2 m x=n \\
x^2+2 m x-n=0 \\
\Delta=(2 m)^2-4(-n)=4 m^2+4 n=4\left(m^2+n\right)
\end{gathered}
\]
Rozpatrujemy trzy przypadki:
1) \(m^2>-n\). Wówczas \(\Delta>0\). Dane równanie posiada dwa rozwiązania:
\[
x_1=\frac{-2 m-2 \sqrt{m^2+n}}{2}, \quad x_2=\frac{-2 m+2 \sqrt{m^2+n}}{2}
\]
Stąd:
\[
x_1=-m-\sqrt{m^2+n}, \quad x_2=-m+\sqrt{m^2+n}
\]
2) \(m^2=-n\). Wówczas \(\Delta=0\). Dane równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie:
\[
x=\frac{-2 m}{2}=-m
\]
3) \(m^2<-n\). Wówczas \(\Delta<0\). Dane równanie nie posiada rozwiązań.
e)
\[
\begin{gathered}
x^2-m x+m n=n^2 \\
x^2-m x+m n-n^2=0 \\
\Delta=(-m)^2-4\left(m n-n^2\right)=m^2-4 m n+4 n^2=(m-2 n)^2
\end{gathered}
\]
Zauważmy, że \(\Delta \geqslant 0\) dla dowolnych \(m, n \in R\).
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) \(m \neq 2 n\). Wówczas \(\Delta>0\). Dane równanie posiada dwa rozwiązania:
\[
x_1=\frac{m-|m-2 n|}{2}, \quad x_2=\frac{m+|m-2 n|}{2}
\]
2) \(m=2 n\). Wówczas \(\Delta=0\). Dane równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie:
\[
x=\frac{m}{2}
\]

f) \(n\left(\frac{x}{m}-n\right)=x\left(\frac{x}{n}-m\right)\). Zakładamy, że \(m \neq 0\) i \(n \neq 0\). Przekształcając dane równanie, otrzymujemy:
\[
\begin{gathered}
\frac{n x}{m}-n^2=\frac{x^2}{n}-x m \\
n^2 x-n^3 m=x^2 m-x m^2 n \\
-x^2 m+n^2 x+m^2 n x-n^3 m=0 \\
-m x^2+\left(n^2+m^2 n\right) x-n^3 m=0 \\
\Delta=\left(n^2+m^2 n\right)^2-4(-m)\left(-n^3 m\right)=n^4+2 m^2 n^3+m^4 n^2-4 m^2 n^3= \\
=n^4-2 m^2 n^3+m^4 n^2=\left(n^2-m^2 n\right)^2=n^2\left(n-m^2\right)^2
\end{gathered}
\]
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) \(n \neq m^2\). Wówczas \(\Delta>0\). Dane równanie posiada dwa rozwiązania:
\[
x_1=\frac{-\left(n^2+m^2 n\right)-\left|n^2-m^2 n\right|}{-2 m}, \quad x_2=\frac{-\left(n^2+m^2 n\right)+\left|n^2-m^2 n\right|}{-2 m}
\]
Zatem:
\[
x_1=\frac{n^2+m^2 n+\left|n^2-m^2 n\right|}{2 m}, \quad x_2=\frac{n^2+m^2 n-\left|n^2-m^2 n\right|}{2 m}
\]
2) \(n=m^2\). Wówczas \(\Delta=0\). Dane równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie:
\[
x=\frac{n^2+m^2 n}{2 m}=\frac{m^4+m^4}{2 m}=\frac{2 m^4}{2 m}=m^3
\]
g)
\[
\begin{gathered}
x^2-2 m x+m^2-n^2=0 \\
\Delta=(-2 m)^2-4\left(m^2-n^2\right)=4 m^2-4 m^2+4 n^2=4 n^2=(2 n)^2
\end{gathered}
\]
Rozpatrujemy dwa przypadki:
1) \(n \in R \backslash\{0\}\). Wówczas \(\Delta>0\). Dane równanie posiada dwa rozwiązania:
\[
x_1=\frac{2 m-2|n|}{2}, \quad x_2=\frac{2 m+2|n|}{2}
\]
Zatem:
\[
x_1=m-|n|, \quad x_2=m+|n|
\]
2) \(n=0\). Wówczas \(\Delta=0\). Dane równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie:
\[
x=m
\]