Układy równań

Uncategorised Odsłon: 118

Wprowadzimy pomocnicze oznaczenia dla symetrycznych wyrażeń:
- \( S = x + y + z \),
- \( P = xy + xz + yz \),
- \( Q = xyz \).

Wówczas nasz układ równań możemy wyrazić za pomocą \( S \), \( P \), i \( Q \).

### 1. Pierwsze równanie:
Mamy \( S = 9 \), więc:
\[
x + y + z = 9
\]

### 2. Drugie równanie:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1
\]
To równanie możemy przepisać jako:
\[
\frac{xy + xz + yz}{xyz} = 1
\]
Podstawiając \( P = xy + xz + yz = 27 \) oraz oznaczając \( Q = xyz \), mamy:
\[
\frac{27}{Q} = 1
\]
Stąd \( Q = 27 \).

### 3. Trzecie równanie:
Trzecie równanie pozostaje:
\[
xy + xz + yz = 27
\]

### 4. Układ równań sprowadzony do wielomianu

Teraz możemy wyrazić \(x\), \(y\), i \(z\) jako pierwiastki wielomianu:
\[
t^3 - St^2 + Pt - Q = 0
\]
Podstawiamy wartości \( S = 9 \), \( P = 27 \), \( Q = 27 \):
\[
t^3 - 9t^2 + 27t - 27 = 0
\]

### 5. Rozwiązanie wielomianu
Rozwiązujemy równanie:
\[
t^3 - 9t^2 + 27t - 27 = 0
\]

Sprawdźmy, czy \( t = 3 \) jest pierwiastkiem:
\[
3^3 - 9 \cdot 3^2 + 27 \cdot 3 - 27 = 27 - 81 + 81 - 27 = 0
\]
Zatem \( t = 3 \) jest pierwiastkiem.

Dzielimy wielomian przez \( t - 3 \):
\[
t^3 - 9t^2 + 27t - 27 = (t - 3)(t^2 - 6t + 9)
\]

Teraz rozkładamy dalej:
\[
t^2 - 6t + 9 = (t - 3)^2
\]

Zatem mamy:
\[
(t - 3)^3 = 0
\]

### 6. Wnioski
Jedynym pierwiastkiem równania jest \( t = 3 \), co oznacza, że \( x = y = z = 3 \).

### Odpowiedź
Rozwiązaniem układu jest:
\[
(x, y, z) = (3, 3, 3)
\]

Aby rozwiązać ten układ, wykorzystamy wprowadzenie podstawowych symetrycznych wyrażeń.

### 1. Przekształcenie drugiego równania

Drugie równanie możemy przepisać w postaci:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + xz + yz}{xyz} = 1
\]

Stąd, korzystając z trzeciego równania \( xyz = -1 \), otrzymujemy:
\[
\frac{xy + xz + yz}{-1} = 1
\]
czyli
\[
xy + xz + yz = -1
\]

Zatem nasz układ przyjmuje postać:
\[
\begin{cases}
x + y + z = 1 \\
xy + xz + yz = -1 \\
xyz = -1
\end{cases}
\]

### 2. Utworzenie wielomianu

Teraz możemy wyrazić \( x \), \( y \), i \( z \) jako pierwiastki wielomianu:
\[
t^3 - (x + y + z)t^2 + (xy + xz + yz)t - xyz = 0
\]

Podstawiając wartości \( x + y + z = 1 \), \( xy + xz + yz = -1 \), oraz \( xyz = -1 \), otrzymujemy równanie:
\[
t^3 - t^2 - t + 1 = 0
\]

### 3. Rozwiązanie wielomianu

Spróbujmy znaleźć pierwiastki wielomianu \( t^3 - t^2 - t + 1 = 0 \) za pomocą podstawienia \( t = 1 \):

\[
1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0
\]

Zatem \( t = 1 \) jest pierwiastkiem tego wielomianu. Możemy teraz podzielić wielomian przez \( t - 1 \), aby znaleźć pozostałe pierwiastki.

Dzielimy:
\[
t^3 - t^2 - t + 1 = (t - 1)(t^2 - 1)
\]
\[
t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)
\]

Zatem mamy:
\[
t^3 - t^2 - t + 1 = (t - 1)^2(t + 1) = 0
\]

Pierwiastkami równania są więc:
\[
t = 1 \quad \text{(podwójny pierwiastek)} \quad \text{i} \quad t = -1
\]

### 4. Wnioski

Mamy trzy wartości: \( t = 1, 1, -1 \), co oznacza, że \( x \), \( y \), i \( z \) mogą być równe \( 1 \), \( 1 \), oraz \( -1 \) (w dowolnej kolejności).

### Odpowiedź

Rozwiązania układu to:
\[
(x, y, z) = (1, 1, -1), \; (1, -1, 1), \; (-1, 1, 1)
\]

Zakładamy, że \( x \neq 0 \), ponieważ w przeciwnym przypadku wszystkie równania wynosiłyby \( 0 \), co nie jest zgodne z danymi.

Możemy więc podzielić każde równanie przez \( x \), aby uprościć układ:

\[
\begin{cases}
x + y = \frac{3}{x} \\
x + z = \frac{1}{x} \\
y + z = \frac{2}{x}
\end{cases}
\]

### 1. Wyznaczenie \( y \) i \( z \)

Z pierwszego równania wyznaczmy \( y \):
\[
y = \frac{3}{x} - x
\]

Z drugiego równania wyznaczmy \( z \):
\[
z = \frac{1}{x} - x
\]

### 2. Podstawienie do trzeciego równania

Podstawmy wyrażenia dla \( y \) i \( z \) do trzeciego równania:
\[
\left(\frac{3}{x} - x\right) + \left(\frac{1}{x} - x\right) = \frac{2}{x}
\]

Uprośćmy lewą stronę:
\[
\frac{3}{x} - x + \frac{1}{x} - x = \frac{2}{x}
\]

Zredukujmy wyrazy podobne:
\[
\frac{4}{x} - 2x = \frac{2}{x}
\]

Przenieśmy \(\frac{2}{x}\) na lewą stronę:
\[
\frac{4}{x} - \frac{2}{x} = 2x
\]

Uprośćmy:
\[
\frac{2}{x} = 2x
\]

Pomnóżmy obie strony przez \( x \) (zakładając, że \( x \neq 0 \)):
\[
2 = 2x^2
\]

Dzielimy przez 2:
\[
1 = x^2
\]

Zatem \( x = 1 \) lub \( x = -1 \).

### 3. Przypadki dla \( x \)

#### Przypadek 1: \( x = 1 \)

Podstawiamy \( x = 1 \) do równań dla \( y \) i \( z \):

1. \( y = \frac{3}{1} - 1 = 3 - 1 = 2 \)
2. \( z = \frac{1}{1} - 1 = 1 - 1 = 0 \)

Dla \( x = 1 \), otrzymujemy \( y = 2 \) i \( z = 0 \). Zatem jedno rozwiązanie to:
\[
(x, y, z) = (1, 2, 0)
\]

#### Przypadek 2: \( x = -1 \)

Podstawiamy \( x = -1 \) do równań dla \( y \) i \( z \):

1. \( y = \frac{3}{-1} - (-1) = -3 + 1 = -2 \)
2. \( z = \frac{1}{-1} - (-1) = -1 + 1 = 0 \)

Dla \( x = -1 \), otrzymujemy \( y = -2 \) i \( z = 0 \). Drugie rozwiązanie to:
\[
(x, y, z) = (-1, -2, 0)
\]

### Odpowiedź

Rozwiązania układu to:
\[
(x, y, z) = (1, 2, 0) \quad \text{oraz} \quad (x, y, z) = (-1, -2, 0)
\]