Równania wymierne z parametrem

Zbiór zadań Odsłon: 4543

Uwaga. Ustalając warunki istnienia rozwiązań należy uwzględnić rozwiązalność równania $$A x+B=0$$ lub $$a x^2+b x+c=0$$ oraz założenia dotyczące istnienia $$x$$.

Równanie $$A x+B=0$$;
- ma 1 rozwiązanie gdy $$A \neq 0$$,
- ma nieskończenie wiele rozwiązań gdy $$A=0$$ i $$B=0$$,
- nie ma rozwiązań gdy $$A=0$$ i $$B \neq 0$$.

a)

Zakładamy, że $$x \neq 0$$ i mnożymy obie strony równania przez $$x$$ i mamy $$x(1-a)-2-b=0$$.
Równanie ma jedno rozwiązanie, gdy $$a \neq 1 \mathrm{i} x=\frac{b+2}{1-a}$$.
Ponieważ $$x \neq 0$$, więc $$\frac{b+2}{1-a} \neq 0$$ tzn. $$b \neq-2$$.
Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań gdy $$a=1$$ i $$b=-2$$. Równanie nie ma rozwiązań gdy $$a=1$$ i $$b \neq-2$$ lub $$a \neq 1$$ i $$b=-2$$.

b)

$$\frac{a+b}{x}=b$$. Zakladamy, że $$x \neq 0$$
$$
a+b=b x
$$
Stąd wynika, że:
1) Jezeli $$b \neq 0$$ i $$a \neq-b$$, to dane równanie posiada dokladnie jedno rozwiąanie:
$$
x=\frac{a+b}{b}
$$
2) Jezeli $$a=0$$ i $$b=0$$, to dane równanie posiada niestończenie wiele rozwį̨ań.
3) Jeżeli $$(b=0$$ i $$a \neq 0)$$ lub $$(b=-a$$ i $$a \neq 0)$$, to dane równanie nie posiada rozwiazzań.

c)

$$\frac{b}{x+2}=a$$. Zakładamy, że $$ x \neq-2$$
$$
\begin{aligned}
& a(x+2)=b \\
& a x+2 a=b \\
& a x=b-2 a
\end{aligned}
$$
Stąd wynika, że:
1) Jeżeli $$a \neq 0 i b \neq 0$$, to dane równanie posiada dokhadnie jedno rozwiązanie:
$$
x=\frac{b-2 a}{a}
$$
(jeżeli $$a \neq 0$$ i $$b=0$$, to $$x=-2$$ co jest niemożlwe).
2) Jeżeli $$a=0$$ i $$b=0$$, torównanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli $$(a=0$$ i $$b \neq 0)$$ lub $$(a \neq 0$$ i $$b=0)$$, to dane równanie nie posiada rozwiązań.

d)

$$\frac{a+3}{x+3}=1$$. Zakładamy, że $$x \neq-3$$
$$
\begin{gathered}
a+3=x+3 \\
x=a
\end{gathered}
$$
Zatem:
1) Jeżeli $$a \neq-3$$, to równanje posiada dokładnie jedno rozwiązanie: $$x=a$$.
2) Jeżeli $$a=-3$$, to równanie nie posiada rozwiązań.

e)

$$\frac{b}{x-3}=$$ a. Zaktadamy, ze $$x \neq 3$$
$$
\begin{aligned}
& a(x-3)=b \\
& a x-3 a=b \\
& a x-3 a+b
\end{aligned}
$$
Stąd wynika, że:
1) Jeżeli $$a \neq 0 \mathrm{i} b \neq 0$$, to równanie posiada dokladnje jedno rozwiązanie:
$$
x=\frac{3 a+b}{a}
$$
(jeżeli $$a \neq 0 \mathrm{i} b=0$$, to $$x=3$$, co jest niemożliwe)
2) Jeżeli $$a=0: b=0$$ to równanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli $$(a=0$$ i $$b \neq 0)$$ lub $$(a \neq 0$$ i $$b=0)$$, to równanie nie posiada rozwiązań.

f)

$$a+\frac{b}{x}=\frac{c}{x}$$. Zakładamy, że $$x \neq 0$$
$$
\begin{aligned}
& a x+b=c \\
& a x=c-b
\end{aligned}
$$
1) Jeżeli $$a \neq 0 i c \neq b$$ to dane równanie posiada dokladnie jedno rozwiązanie:
$$
x=\frac{c-b}{a}
$$
2) Jeżeli $$a=0$$ i $$c=b$$ to równanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań
3) Jeżeli $$(a=0$$ i $$c \neq b)$$ lub $$(a \neq 0$$ i $$c=b)$$, to rómanie nie posiada rozwiazań (jeżli $$a \neq 0$$ i $$c=b$$, to otrzymujemy $$x=0$$, co jest niemożliwe).

g)

$$\frac{a}{x}+b=c$$. Zakładamy, że $$x \neq 0$$
$$
\begin{aligned}
& a+b x=c x \\
& c x-b x=a \\
& x(c-b)=a
\end{aligned}
$$
1) Jeżeli $$c \neq b$$ i $$a \neq 0$$, to równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie:
$$
x=\frac{a}{c-b}
$$

2) Jeżeli $$c=b$$ i $$a=0$$ to równanie posiada nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Jeżeli $$(c=b$$ i $$a \neq 0)$$ lub $$(c \neq b$$ i $$a=0)$$, to równanie nie posiada rozwiązań (jezell $$c \neq b$$ i $$a=0$$, to otrzymujemy $$x=0$$ co jest niemożliwe).

h)

$$\frac{b}{x}-c=\frac{a}{x}$$. Zakkadamy, że $$x \neq 0$$
$$
\begin{aligned}
& b-c x=a \\
& -c x=a-b \\
& c x=b-a
\end{aligned}
$$
1) Jeżeli $$c \neq 0 \mathrm{i} b \neq a$$, to równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie:
$$
x=\frac{b-a}{c}
$$
2) Jeżeli $$c=0$$ i $$b=a$$ to równanie posiada nieskończenie wiele rozwiąań.
3) Jeżeli ( $$c=0$$ i $$b \neq a)$$ lub $$(c \neq 0$$ i $$b=a)$$, to równanie nie posiada rozwiązań (jezeli $$c \neq 0$$ i $$b=a$$, to otrzymujemy $$x=0$$ co jest niemożliwe).