Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 2003 roku
1. Samochód przejeżdża kilometr w ciągu minuty. Wynika z tego, że aby przejeżdżać kilometr w ciągu 40 sekund musi zwiększyć prędkość o
a) $$40 \%$$;
b) $$50 \%$$;
c) $$60 \%$$.
2. Ze zbioru $$\{1,2, \ldots, 9\}$$ losujemy bez zwracania dwie liczby. Prawdopodobieństwo tego, że ich suma jest parzysta, jest równe
a) $$\frac{1}{2}$$
b) $$\frac{4}{9}$$
c) $$\frac{5}{9}$$.
3. Pierwiastkami równania kwadratowego $$a x^2+c=0$$ są różne liczby $$y \mathrm{i} z$$. Wynika z tego, że
a) $$y^3+z^3=0$$
b) $$y^2+z^2=0$$
c) $$y+z=0$$.
4. Równanie $$\cos x=\operatorname{tg} x \mathrm{w}$$ przedziale $$\left(\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)$$
a) nie ma pierwiastków;
b) ma pierwiastek dodatni;
c) ma dwa różne pierwiastki.
5. Pole figury opisanej nierównościami
$$y \leq 2002 x, \quad y \geq 2003(x-1), \quad y \geq 0$$
a) jest liczbą calkowitą;
b) jest równe $$2002 \cdot 2003$$;
c) jest równe $$\frac{2003}{2}$$.
6. Najkrótszy bok trójkąta $$A B C$$ ma dlugość 1, a najdluższy 4. Wynika z tego, że
a) pole trójkąta $$A B C$$ jest mniejsze od 2 ;
b) obwód trójkąta $$A B C$$ jest mniejszy od 10 ;
c) promień okregu wpisanego w trójkąt $$A B C$$ jest mniejszy od $$\frac{1}{2}$$.
7. Ciagg arytmetyczny $$\left(a_n\right), n=1,2 \ldots$$, spelnia warunek $$a_{10}=a_4+a_5$$. Wynika z tego, że
a) $$a_{20}=a_8+a_{10}$$;
b) $$a_{2003}=2 a_{1001}$$
c) $$a_n=0$$ dla każdego $$n$$.
8. Walce $$w_1 \mathrm{i} w_2$$ mają równe wysokości. Promień podstawy walca $$w_1$$ jest dwa razy więszy od promienia podstawy walca $$w_2$$. Wynika z tego, że
a) objętość walca $$w_1$$ jest dwa razy większa od objętości walca $$w_2$$;
b) pole powierzchni calkowitej walca $$w_1$$ jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej walca $$w_2$$;
c) pole powierzchni bocznej walca $$w_1$$ jest dwa razy wiekssze od pola powierzchni bocznej walca $$w_2$$.
9. Funkcja określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem
$$f(x)= \begin{cases}-x^2 & \text { dla } x \leq 0 \\ x & \text { dla } x>0\end{cases}$$
jest w calej swojej dziedzinie
a) ciagla;
b) różniczkowalna;
c) rosnąca.
10. Liczba $$a$$ jest niewymierna. Wynika z tego, że
a) $$a^3$$ jest liczbą niewymierną;
b) $$\sqrt{|a|}$$ jest liczbą niewymierną;
c) $$\sin a$$ jest liczbą niewymierną.
11. Zdarzenia $$A$$ i $$B$$ spelniają warunek $$A \subseteq B$$, ponadto prawdopodobieństwo $$P(A)$$ zdarzenia $$A$$ jest dodatnie. Wynika z tego, że
a) $$P(A \mid B) \leq P(B \mid A)$$;
b) $$P(A \mid B) \geq P(B \mid A)$$;
c) $$P(A \mid B) \cdot P(B \mid A)>0$$.
12. Istnieją liczby rzeczywiste $$b$$ i $$c$$, dla których wykres funkcji $$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$, danej wzorem $$f(x)=x^2+b x+c$$, ma z wykresem funkeji $$g:(\mathbf{R} \backslash\{0\}) \rightarrow \mathbf{R}$$, danej wzorem $$g(x)=\frac{1}{x}$$, dokładnie
a) 0 punktów wspólnych;
b) 2 punkty wspólne;
c) 3 punkty wspólne.
13. Wszystkie wierzchołki czworokąta wypuklego $$A B C D$$ leżą na dwóch prostych prostopadlych. Wynika z tego, że
a) czworokąt $$A B C D$$ jest kwadratem;
b) w czworokąt $$A B C D$$ można wpisać okrąg;
c) na czworokącie $$A B C D$$ można opisać okrąg.
14. Liczby $$a, b, c, d$$ są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego, a liczby $$a, b, d$$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wynika z tego, że
a) $$b=2 a$$;
b) $$a=1$$;
c) $$a+c=d$$.
15. Krawędzie $$A B, B C, C D, D A$$ czworościanu $$A B C D$$ są równe. Wynika z tego, że czworościan $$A B C D$$ ma
a) co najmniej dwie plaszczyzny symetrii;
b) co najmniej cztery plaszczyzny symetrii;
c) środek symetrii.
16. Niech $$a=12345678$$. Wynika z tego, że
a) $$a^2$$ dzieli sie przez 9 ;
b) $$a^2+1$$ dzieli sie przez 5 ;
c) $$9 a+9$$ dzieli sie przez 111 .
17. Dziedziną funkcji $$f$$ jest zbiór liczb calkowitych dodatnich. Funkcja $$f$$ jest nierosnąca i przyimuje wyłącznie wartości całkowite dodatnie. Wynika z tego, że
a) zbiór wartości funkcji $$f$$ jest skończony;
b) $$\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=1$$
c) istnieje taka liczba $$n$$, że dla argumentów większych od $$n$$ funkeja $$f$$ jest stała.
18. Ciągi $$\left(a_n\right)$$ i $$\left(b_n\right), n=1,2,3, \ldots$$, są zbieżne do tej samej granicy. Wynika z tego, że istnieje taka liczba $$k$$, że dla każdego $$n>k$$ spelniony jest warunek
a) $$a_n=b_n$$
b) $$a_n-b_n<\frac{1}{2}$$
c) $$a_n-b_n<\frac{1}{n}$$
19. Liczby $$p \geq 2, q \geq 2 \mathrm{i}(p q+1)$$ są liczbami pierwszymi. Wynika z tego, że
a) $$p<12$$ i $$q<12$$
b) $$p=2$$ lub $$q=2$$
c) $$p+q$$ też jest liczbą pierwszą.
20. Za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 można zapisać dokładnie
a) 5! różnych liczb czterocyfrowych, w których cyfry nie powtarzają się;
b) $$5^6$$ różnych liczb pięciocyfrowych;
c) $$2 \cdot 6^2$$ różnych liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3 .
21. Istnieją takie parametry rzeczywiste $$a$$ i $$b$$, że liczba wszystkich pierwiastków równania ||$$|x+a|-2|-3|+b=0$$ jest
a) nieparzysta;
b) większa od 5 ;
c) równa 1 .
22. Funkeja $$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$ jest określona wzorem
$$f(x)=\frac{x^2+\sin ^2 x}{x^2+1} .$$
Wynika z tego, że funkcja $$f$$
a) przyjmuje wartość największą w nieskończenie wielu punktach;
b) przyjmuje wartość najmniejszą w jednym punkcie;
c) jest rosnąca $$w$$ zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich.
23. Wykres funkcji liniowej $$f$$ przechodzi przez punkty $$(-2 ; 0)$$ oraz $$(0 ;-2)$$. Wynika z tego, że wykres funkcji odwrotnej do funkeji $$f$$ przechodzi przez
a) punkt $$(-1 ; 1)$$;
b) punkty $$(-2 ; 0) \mathrm{i}(0 ;-2)$$;
c) $$\operatorname{punkty}(2 ; 0) \mathrm{i}(0 ; 2)$$.
24. Każdy trójkąt prostokątny można podzielić na
a) 3 trójkąty podobne do niego;
b) 4 trójkąty podobne do niego;
c) 5 trójkątów podobnych do niego.
25. Różne dodatnie liczby $$a$$ i $$b$$ są miejscami zerowymi funkeji $$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$ danej wzorem $$f(x)=x^2+p x+q$$. Wynika z tego, że
a) $$f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$$;
b) $$f(a+b)>0$$;
c) $$f(-a)>0$$.
26. Średnica $$A B$$ podstawy walca jest równa 4 , a jego wysokość $$B C$$ jest równa 5 . Wynika z tego, że najkrótsza droga po powierzchni tego walca od punktu $$A$$ do punktu $$C$$ ma dlugość
a) 9 ;
b) $$2 \pi+5$$;
c) $$\sqrt{4 \pi^2+25}$$.
27. Spośród trzech patyków o dlugościach $$10 \mathrm{~cm}, 20 \mathrm{~cm}$$ i $$30 \mathrm{~cm}$$ wybrany losowo patyk zostal złamany na pól, a nasteppnie znowu losowo wybrany (już spośród czterech) jeden patyk też zostal zlamany na pól. Prawdopodobieństwo tego, że wśród tak uzyskanych pięciu patyków przynajmniej jeden krótszy niż $$10 \mathrm{~cm}$$, jest
a) mniejsze niż $$\frac{2}{3}$$;
b) równe $$\frac{2}{3}$$;
c) wiekssze niż $$\frac{2}{3}$$.
28. Liczby $$a=2003 !, b=2^{3002}$$ i $$c=3^{2003}$$ spelniają nierówności
a) $$c<b<a$$
b) $$b<a<c$$;
c) $$b<c<a$$.
29. W trójkącie $$A B C$$ kąt przy wierzchołku $$A$$ jest równy $$89^{\circ}$$. Wynika z tego, że
a) $$|A B|^2+|B C|^2<|A C|^2$$
b) $$|A B|^2+|B C|^2=|A C|^2$$
c) $$|A B|^2+|B C|^2>|A C|^2$$.
30. Wielomian $$V$$ ma współczynniki calkowite i $$W=V^2$$. Wynika z tego, że
a) wielomian $$W$$ przyjmuje tylko wartości nieujemne;
b) każdy pierwiastek wielomianu $$W$$ jest wielokrotny;
c) suma współczynników wielomianu $$W$$ jest kwadratem liczby całkowitej.
31. Proste $$k$$ i $$l$$ przecinają się pod kątem prostym w punkcie leżącym wewnątrz okręgu o promieniu $$r$$. Prosta $$k$$ przecina ten okrąg w punktach $$A$$ i $$B$$, a prosta $$l$$ w punktach $$C$$ i $$D$$. Wynika z tego, że
a) $$A C \| B D$$;
b) środek tego okregu leży wewnątrz czworokąta $$A C B D$$;
c) pole czworokąta $$A C B D$$ jest równe co najwyżej $$2 r^2$$.
32. Pole figury opisanej nierównościami
$$y<1-|x-1| \quad \text { i } \quad x^2-2 x+y^2<0$$
a) jest mniejsze od 2,6 ;
b) jest wieksze od 2,4;
c) jest równe 2,5 .
33. W dwie sąsiednie ściany pewnego równoległościanu można wpisać okręgi. Wynika z tego, że
a) ten równoległościan jest sześcianem;
b) w każdą ścianę tego równoległościanu można wpisać okrąg;
c) wszystkie krawędzie tego równoległościanu są równe.
34. Wielomian $$W$$ drugiego stopnia zmiennej $$x$$ daje przy dzieleniu przez $$x-1$$ te samą resztę $$r$$, co przy dzieleniu przez $$x+1$$. Wynika z tego, że
a) $$W(1)=W(-1)$$;
b) $$W(x)=(x-1)(x+1)+r$$;
c) $$W$$ przy dzieleniu przez $$x^2-1$$ daje reszte $$r$$.
35. W trójkącie ostrokątnym dlugości dwóch boków są liczbami niewymiernymi, a dhugość trzeciego boku jest liczbą wymierną. Wynika z tego, że
a) pole tego trójkąta jest liczbą niewymierną;
b) co najmniej jedna z wysokości tego trójkąta jest liczbą niewymierną;
c) promień okregu opisanego na tym trójkącie jest liczbą niewymierną.
36. Wielomian $$x^{2003}+x+1$$
a) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty;
b) ma co najwyżej jeden pierwiastek rzeczywisty;
c) przy dzieleniu przez $$x^2+1$$ daje reszte 2 .
37. Dwa punktowe obiekty startują z jednego punktu na okregu i obiegają go poruszając się w przeciwnych kierunkach ze stałymi prędkościami kątowymi. Pierwszy obiekt obiega okrąg w ciągu 45 sekund, drugi w ciągu 36 sekund. Wynika z tego, że
a) liczba punktów okręgu, w których będą spotykać się te obiekty, jest skończona;
b) obiekty te spotykać się będą w punkcie wyjścia jedynie, gdy od momentu startu uplynie pelna liczba minut;
c) obiekty te będą się spotykać częściej niż co 21 sekund.
38. Dwa okregi o promieniach $$r_1$$ i $$r_2, r_1<r_2$$, są zewnętrznie styczne. Odcinek wspólnej stycznej o końcach w punktach styczności ma dhugość $$d>0$$. Wynika z tego, że
a) $$d<r_1+r_2$$
b) $$d=2 \sqrt{r_1 r_2}$$
c) $$2 r_1<d<2 r_2$$.
39. Istnieją cztery różne okręgi, które dzielą płaszczyznę na
a) 4 części;
b) 14 części;
c) 17 części.
40. Liczby $$a=\sin 2003^{\circ}, b=\cos 2003^{\circ}, c=\operatorname{tg} 2003^{\circ}$$ spelniają nierówności
a) $$a<b<c$$
b) $$a+b>c$$;
c) $$|a-b|>\frac{\sqrt{2}}{2}$$.
41. Trójkąt $$A B C$$ jest podstawą takiego ostroslupa prawidlowego $$A B C S$$, że kąt $$B S C$$ jest prosty i $$A S=1$$, a punkt $$D$$ należy do krawędzi $$B C$$ i nie jest jej końcem. Wynika z tego, że
a) objętość tego ostroslupa jest liczbą wymierną;
b) pole powierzchni całkowitej tego ostroslupa jest liczbą wymierną;
c) kąt $$A S D$$ jest ostry.
42. Liczby dodatnie $$a$$ i $$b$$ spelniają warunek $$\sqrt{a}-\sqrt{b}>a-b>0$$. Wynika z tego, że
a) $$1>\sqrt{a}+\sqrt{b}$$
b) $$\sqrt{b}>b$$
c) $$\sqrt{a}>b$$.
43. Na wykresie funkcji $$f$$, danej dla $$x \neq 0$$ wzorem $$f(x)=\frac{1}{x}$$, istnieją cztery punkty, które są wierzcholkami
a) kwadratu;
b) prostokąta niebędącego kwadratem;
c) równoległoboku niebedącego prostokątem.
44. Promień okregu opisanego na trójkącie $$A B C$$ jest równy promieniowi okregu opisanego na trójkącie $$P Q R$$, ponadto $$A C=P R$$. Wynika z tego, że
a) trójkąt $$A B C$$ przystaje do trójkąta $$P Q R$$;
b) $$\Varangle A B C=\Varangle P Q R$$;
c) promień okręgu wpisanego w trójkąt $$A B C$$ jest równy promieniowi okreggu wpisanego w trójkąt $$P Q R$$.
45. Dla każdej liczby rzeczywistej $$a$$ wielomian $$x^3+3 a x+1$$
a) przyjmuje wartość $$-1$$
b) ma dokładnie jeden pierwiastek;
c) ma co najwyżej dwa pierwiastki.
46. Istnieje taki sześciokąt $$A B C D E F$$ wpisany w okrąg, że pole trójkąta $$A C E$$ jest
a) równe sumie pól trójkątów $$A B C, C D E$$ i $$E F A$$;
b) mniejsze od sumy pól trójkątów $$A B C, C D E$$ i $$E F A$$;
c) większe od sumy pól trójkątów $$A B C, C D E$$ i $$E F A$$.
47. Spośród wierzchołków sześcianu wybieramy losowo cztery różne. Przez $$A$$ oznaczamy zdarzenie: wszystkie cztery wylosowanewierzchotki leżaw jednej płaszczyźnie, przez $$B$$ zdarzenie: wśród wylosowanych wierzchołków jest co najmniej jedna para wierzchotków leżacych na końcach jednej z przekątnych sześcianu. Wynika z tego, że
a) prawdopodobieństwo zdarzenia $$A$$ jest równe $$\frac{6}{35}$$;
b) prawdopodobieństwo zdarzenia $$B$$ jest większe od prawdopodobieństwa zdarzenia $$A$$
c) zdarzenia $$A$$ i $$B$$ są niezależne.
48. Wielomian $$a x^2+3 x+c$$ ma dwa różne pierwiastki będące liczbami całkowitymi. Wynika $$\mathrm{z}$$ tego, że
a) liczby $$a$$ i $$c$$ są całkowite;
b) liczba $$a \cdot c$$ jest całkowita;
c) $$\operatorname{liczba} \frac{c}{a}$$ jest całkowita.
49. Płaszczyzna przecinająca dwie równoległe ściany sześcianu wzdhuż ich przekątnych tworzy z płaszczyzną przecinającą dwie inne równoległe ściany tego sześcianu wzdluż ich przekątnych kąt
a) $$45^{\circ}$$;
b) $$60^{\circ}$$
c) $$90^{\circ}$$.
50. Pewien zegarek cyfrowy prawidłowo odmierza czas. Wciśnięcie pewnego przycisku w tym zegarku powoduje, że zegarek przestawia się na najbliższą pelną godzinę, a więc cofa się o 0 do 29 minut lub posuwa się naprzód o 1 do 30 minut. Zegarek wskazujący o godzinie 10:15 godzinę 8:20 będzie można, przyciskając (być może kilkakrotnie) ten przycisk, przestawić na właściwą godzinę najszybciej w ciągu
a) 1 godziny i 45 minut;
b) 1 godziny i 55 minut;
c) 2 godzin i 45 minut.
