Levy Paul
ur: 26 lutego 1941 w Lexington (Kentucky) - USA
Paul Levy urodził się 15 września 1886 roku w Paryżu. Jego ojciec i dziadek byli profesorami matematyki. Jako uczeń liceum zwyciężał w wielu konkursach: z języka greckiego, matematyki, fizyki i chemii, a także w egzaminach konkursowych na wyższe uczelnie pierwszy w 1'Ecole Normale Superieure i drugi w Ecole Polytechnique, gdzie później studiuje. Tutaj w 1905 roku publikuje swoją pierwszą pracę. Po ukończeniu studiów z najlepszą oceną odbywa roczną służbę wojskową, a następnie trzy lata służy w 1'Ecole Nationale des Mines. W czasie tych trzech lat (1907 - 1910) chodzi na wykłady prowadzone przez Dar-boux i Picarda w Sorbonie oraz Humberta i Hadamarda w College de France. W 1910 roku pod wpływem Hadamarda rozpoczyna badania nad funkcjami Volterry i Greena, które prowadził w latach 1910 - 1914 oraz 1919 - 1922. Stopień doktora otrzymał w 1912 roku. Profesorem w 1'Ecole Nationale des Mines został mianowany w 1913 roku, a w latach 1920 - 1959 był profesorem analizy w Ecole Polytechnique. Członkiem Francuskiej Akademii Nauk został wybrany w 1964 roku. Począwszy od 1905 roku aż do chwili śmierci 15 grudnia 1971, opublikował 10 książek i ponad 270 prac, z których 150 poświęconych jest teorii prawdopodobieństwa. Wspomnimy tu jedynie niektóre probabilistyczne wyniki.
W roku 1919, mając 33 lata, jako sławny już matematyk, zostaje zaproszony do wygłoszenia w Ecole Polytechnique trzech wykładów o "pojęciach rachunku prawdopodobieństwa i roli rozkładu Gaussa w teorii błędów". Tak rozpoczyna się "probabilistyczny" okres działalności naukowej P. Leviego. Idee i wyniki (wiele z nich to problemy typu zadaniowego) uzyskane w 1919 roku, a następnie w latach 1922 - 1925 zostały zebrane w książce "Calcul des Proba-bilites", opublikowanej w 1925 roku.
Poincare rozważał jedynie dyskretne i absolutnie ciągłe rozkłady rzeczywistych zmiennych losowych. To P. Levy (niezależnie od von Misesa) pierwszy uświadamia sobie, że są one szczególnymi przypadkami ogólnego pojęcia rozkładu prawdopodobieństwa, zdefiniowanego przez dystrybuantę lub równoważnie miarę probabilistyczną na R. Wprowadza również pojęcie typów rozkładów. Poincare rozważał rzeczywiste funkcje charakterystyczne Eetx, które nic zawsze istnieją dla każdego t?R , tworząc tym samym aparat transformacji Fouriera Sueltjesa. Dowodzi wzajemnie jednostajnej odpowiedniości między funkcjami charakterystycznymi i rozkładami prawdopodobieństwa oraz dostrzega związek między zbieżnością ciągu dystrybuant i zbieżnością odpowiadającego mu ciągu funkcji charakterystycznych.
Probabilistyczne zainteresowania P. Leviego koncentrowały się na własnościach sum niezależnych zmiennych losowych, a w szczególności na granicznych właściwościach sum jednostajnie asymptotycznie zaniedbywanych składników. Punktem wyjścia jest tu intuicyjna idea, że rozkład Gaussa jest w przybliżeniu rozkładem sumy "dużej liczby" niezależnych i asymptotycznie równych "bardzo małych" składników. W badaniach granicznych właściwości wspomnianych sum korzysta nie tylko z funkcji charakterystycznych, ale również z wprowadzonego pojęcia odległości między rozkładami prawdopodobieństwa, zwanej dzisiaj odległością Levy'ego. W terminach funkcji charakterystycznych P. Levy opisał wszystkie rozkłady stabilne a również rozkłady ąuasi-stabilne.
Rok 1930 uważa się za początek drugiego, niezwykle owocnego okresu twórczości P. Levy'ego. Wprowadza pojecie funkcji koncentracji i bada jej własności, znajduje metodę symetryzacji i podaje użyteczne nierówności wykorzystujące mediany. Dowodzi równoważności zbieżności według prawdopodobieństwa, prawie pewnej i według rozkładu szeregu niezależnych zmiennych losowych i wzmacnia prawo iterowego logarytmu Chinczina. Wprowadzone pojęcia martyngału i czasu losowego znalazły zastosowania w teorii prawdopodobieństwa i analizie. Pojęcia i wyniki tego okresu badań P. Levy zebrał w monografii "Theorie de Faddition de variables aleatoires" (1937).
W 1939 roku rozpoczyna się trzeci okres twórczości probabilistycznej P. Levy'ego. Przedmiotem badań jest ruch Browna i procesy dyfuzyjne. Wzmacnia wyniki Wienera w tej dziedzinie podaje konstruktywną definicję ruchu Browna, znajduje jego moduł ciągłości, dowodzi prawa iterowanego logarytmu i faktu, że prawie żadna trajektoria tego procesu nie ma ograniczonej wariancji, oraz wyznacza rozkłady funkcji ruchu Browna. Wyniki badań dotyczących własności trajektorii procesów stochastycznych zostały zebrane w książce o procesach stochastycznych i ruchu Browna (1948).
Wymieniliśmy tu z konieczności tylko część pojęć i wyników P. Levy'ego. Jego prace nawet dzisiaj są skarbcem pomysłów, a wiele wyników oczekuje na dalsze badania. Paul Levy zmarł 15 grudnia 1971 r.
