Fermat Pierre

Matematycy Odsłon: 1166

Pierre Fermat, prawnik i matematyk francuski, urodził się w Beaumont-de-Lomagne pod Beaumont w 1601 roku. Pochodził z mieszczańskiej rodziny. Studiował na uniwersytecie w Tuluzie, gdzie ukończył wydział prawa, a następnie od roku 1631 do końca życia był radcą prawnym parlamentu w tym mieście. Chociaż matematyce poświęcił tylko czas wolny od zajęć, znał jednak doskonale nie tylko matematykę współczesną, ale i starożytną. Wsławił się pracami w zakresie teorii liczb. W roku 1638 odkrył metodę znajdowania maksimów i minimów funkcji algebraicznych. Uważany był za jednego z poprzedników Newtona i Leibniza w dziedzinie rachunku różniczkowego i całkowego. Powszechnie za twórcę geometrii analitycznej, której metoda polegała na wprowadzeniu układu współrzędnych i zastosowaniu algebraicznych równań do badania własności figur geometrycznych, uważa się René Descartesa. Tymczasem okazuje się, że już w roku 1636 Fermat w swej pracy, której nie wydał drukiem, gdyż nie lubił tego czynić, wprowadził metodę prostokątnego układu współrzędnych, wykazał, że równaniom pierwszego stopnia odpowiadają proste, a równaniom stopnia drugiego: elipsy, hiperbole, parabole i inne linie, które można otrzymać z przecięć stożka płaszczyzną (tzw. stożkowe). W celu ułatwienia badań równań algebraicznych I i II stopnia Fermat stosował przesunięcie i obrót układu współrzędnych, co pozwalało mu na otrzymanie najprostszych tzw. kanonicznych postaci równań linii, z których wysnuwał geometryczne własności.

Rozwiązania tych problemów z dziedziny geometrii analitycznej powstały wskutek zainteresowań Fermata pracami starożytnych matematyków, w szczególności pracami Apoloniusza o miejscach geometrycznych.

W 1621 r. zostały przetłumaczone na język łaciński prace Diofantosa, jednego ze starożytnych twórców teorii liczb. Fermat traktował czytanie książek matematycznych za pewnego rodzaju rozrywkę i miał zwyczaj pisania swych spostrzeżeń na marginesach. Podał w ten sposób wiele własnych twierdzeń, nie troszcząc się o ich dowód. Tak powstało słynne wielkie twierdzenie Fermata, które nabrało olbrzymiego rozgłosu. Fermat postawił zagadnienie, czy równanie xⁿ+yⁿ=zⁿ ma rozwiązania w liczbach naturalnych przy n=3,4,5,... Otóż na marginesie jednej z książek Fermat napisał, że powyższe równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych przy żadnym n>2 i że ma zadziwiający dowód tego twierdzenia, ale zbyt długi na to, aby go zmieścić na marginesie. Gdy po śmierci Fermata jego syn opublikował w roku 1670 notatki i listy ojca, wielu matematyków usiłowało znaleźć dowód tego twierdzenia, ale bezskutecznie. Zmarły w 1907 roku w Darmstadcie lekarz i matematyk Paweł Wolfskeh zapisał Królewskiej Akademii Nauk w Getyndze 100 000 marek z poleceniem rozpisania konkursu na wynalezienie dowodu wielkiego twierdzenia Fermata. Niestety, do dziś nie udowodniono ogólnie, to znaczy dla wszystkich n>2 ani prawdziwości, ani fałszywości tego twierdzenia, jakkolwiek podano dowody dla pewnych wartości n. W międzyczasie na skutek dewaluacji marki niemieckiej wartość nagrody zmalała do zera, ale samo zagadnienie przyczyniło się do pojawienia się wielu poważnych wyników w teorii liczb.

Najważniejsze wyniki uzyskali Kummer i Vandiver; ten ostatni udowodnił wielkie twierdzenie Fermata dla n ? 4003, a w ostatnich latach, w 1978 r., Wagstaff udowodnił wielkie twierdzenie Fermata dla n?125000; dokładniej wykazał, że jeżeli x^p+y^p=z^p (p liczba pierwsza większa od dwóch), to każda z liczb naturalnych x, y, z jest co najmniej równa p^p wówczas (125O00125 ¹²⁵⁰⁰⁰)¹²⁵⁰⁰⁰ zawiera ponad 80 miliardów cyfr!

Słynne jest także małe twierdzenie Fermata, które głosi, że jeżeli p jest liczbą pierwszą, nie będącą podzielnikiem liczby a, to a^p-1 po podzieleniu przez p daje resztę 1. Sformułował je Fermat w pewnym liście w 1640 roku. Fermat, obok Pascala, dał początek matematycznej teorii prawdopodobieństwa. Przyczynił się do tego między innymi Chevalier de Merę, który wiele czasu poświęcił grom hazardowym i notował przebieg i wyniki gier, gdyż pragnął znaleźć najlepszą metodę gry. Zwrócił się on do Pascala w sprawie "probleme des points". Pascal w korespondencji z Fermatem poruszył to zagadnienie, które zapoczątkowało ich wspólną pracę nad teorią prawdopodobieństwa i stworzeniem części jego podstaw w 1654 r.

Fermat interesował się też zastosowaniem rachunku różniczkowego do zagadnień z optyki. Znana jest jego ogólna zasada optyki geometrycznej (zasada Fermata), która głosi, że w ośrodku niejednorodnym promień światła przechodząc od punktu A do B wybiera spośród różnych możliwych dróg tę, na której przebycie zużywa minimum czasu. Zasada ta ma duże znaczenie w zagadnieniu układów soczewek.

Przed z górą półtora tysiącem lat zagadnieniem tym interesował się Heron z Aleksandrii, lecz Fermat uzupełnił je i udowodnił. Ponadto rozważał zagadnienie znalezienia pewnej ogólnej zasady, łączącej prawa Wszechświata. Fermat umarł w Castres w 1665 roku.