Problem milenijny: Równania Naviera-Stokesa to kolejny z siedmiu "Problemów Milenijnych", za których rozwiązanie Instytut Matematyki Clay'a oferuje nagrodę w wysokości miliona dolarów. Równania te są fundamentalne dla opisu płynów w mechanice i innych dziedzinach nauki i inżynierii.
Podstawy:
Równania Naviera-Stokesa opisują jak płyny (gazowe lub ciekłe) się poruszają. Mają one szerokie zastosowania, począwszy od prognozowania pogody, przez projektowanie samolotów, po opis krwi przepływającej przez naczynia krwionośne.
Treść problemu:
Problem polega na udowodnieniu (lub obaleniu) istnienia i gładkości rozwiązań trójwymiarowych równań Naviera-Stokesa dla pewnych początkowych warunków. Innymi słowy, chcemy wiedzieć, czy dla danego zestawu początkowych warunków istnieje rozwiązanie, które jest fizycznie sensowne (tzn. jest "gładkie", czyli nie ma nieskończoności czy nagle zmieniających się skoków w prędkości czy ciśnieniu płynu).
Znaczenie problemu:
Mimo że równania Naviera-Stokesa są powszechnie używane w praktyce inżynierskiej i naukowej, istnieją pewne sytuacje, w których nie jesteśmy pewni, czy dostarczają one sensownych prognoz. Jeśli odkryjemy, że dla pewnych warunków początkowych istnieją rozwiązania, które stają się "nieskończone" lub "wybuchają" w skończonym czasie, mógłby to być przełom w naszym zrozumieniu fizyki płynów.
Stan badań:
Chociaż dla wielu szczególnych przypadków udowodniono istnienie i gładkość rozwiązań równań Naviera-Stokesa, ogólny dowód dla wszystkich możliwych warunków początkowych w trójwymiarowym przypadku wciąż pozostaje nieosiągnięty. W dwuwymiarowym przypadku udowodniono już istnienie i gładkość rozwiązań, ale trójwymiarowy przypadek jest znacznie trudniejszy i stanowi jedno z największych wyzwań w matematyce stosowanej.
Podobnie jak w przypadku innych Problemów Milenijnych, osoba lub grupa, która udowodni lub obali istnienie i gładkość rozwiązań równań Naviera-Stokesa w trójwymiarowym przypadku, zyska nie tylko nagrodę miliona dolarów od Instytutu Matematyki Clay'a, ale również miejsce w annałach historii matematyki.
Równania Naviera-Stokesa opisują ruch płynu jako kombinację jego przyspieszenia, ciśnienia oraz lepkości. W postaci najbardziej uproszczonej, dla nieściśliwego, izotropowego płynu newtonowskiego w trzech wymiarach, równania te można zapisać jako:
\[
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}=-\frac{1}{\rho} \nabla p+\nu \nabla^2 \mathbf{u}
\]
Gdzie:
- \(\mathbf{u}\) to wektor prędkości płynu w danym punkcie.
- \(t\) to czas.
- \(\rho\) to gęstość płynu.
- \(p\) to ciśnienie w danym punkcie.
- \(\nu\) to lepkość kinematyczna płynu.
- \(\nabla\) to operator nabla, który opisuje gradient w przestrzeni trójwymiarowej.
- \(\nabla^2\) to laplasjan, który opisuje dywergencję gradientu.
Dodatkowo, dla płynu nieściśliwego (takiego, którego gęstość pozostaje stała w czasie), musimy także spełniać równanie ciągłości:
\[
\nabla \cdot \mathbf{u}=0
\]
To równanie zapewnia, że ilość masy wchodzącej do dowolnej objętości jest równa ilości masy wychodzącej z tej objętości, czyli masa płynu w obrębie danej objętości pozostaje stała w czasie.
Równania te są równaniami różniczkowymi cząstkowymi i stanowią jedno z najważniejszych narzędzi w mechanice płynów. Jednak, jak już wcześniej wspomniano, problem milenijny dotyczy kwestii istnienia i regularności rozwiązań tych równań w pewnych trudnych przypadkach.
Claude Louis Marie Henri Navier
Claude Louis Marie Henri Navier (ur. 10 lutego 1785 w Dijon, zm. 21 sierpnia 1836 w Paryżu) - francuski inżynier i fizyk, który głównie specjalizował się w mechanice. Znane równania w mechanice ośrodków ciągłych, tzw. równania Naviera-Stokesa, nazwane zostały na jego cześć.
Nadzorował budowę mostów w Choisy, Asnières i Argenteuil w departamencie Seine oraz kładek dla pieszych w Paryżu. W 1824 został przyjęty w poczet członków Francuskiej Akademii Nauk. W 1830 został profesorem w École nationale des ponts et chaussées, a w następnym roku przejął stanowisko profesora rachunku różniczkowego i całkowego oraz mechaniki w École Polytechnique.
Navier jako pierwszy sformułował ogólną teorię sprężystości używając rozwiniętego języka matematyki (1821). W 1826 wprowadził moduł sprężystości jako właściwość materiału niezależną od geometrycznego momentu bezwładności. Dlatego uważany jest za twórcę podstaw współczesnej analizy strukturalnej.
Jednakże jego największym wkładem było sformułowanie równań, które opisują ruch płynu i są podstawą mechaniki ośrodków ciągłych i hydromechaniki (równania Naviera-Stokesa).
Jego nazwisko pojawiło się na liście 72 nazwisk na wieży Eiffla.
Sir George Gabriel Stokes
Sir George Gabriel Stokes, 1st Baronet (ur. 13 sierpnia 1819 w Skreen w hrabstwie Sligo w Irlandii, zm. 1 lutego 1903 w Cambridge w Anglii) ? irlandzki matematyk i fizyk, powiązany z Uniwersytetem Cambridge. Zajmował się między innymi dynamiką płynów (równania Naviera-Stokesa), optyką, fizyką matematyczną (twierdzenie Stokesa). W 1889 został mu nadany tytuł baroneta. Był sekretarzem, a następnie w latach 1885-1890 prezydentem Royal Society.
