Hipoteza Poincarégo ? twierdzenie topologii, sformułowane w pracach Henriego Poincarégo w roku 1904. Przez niemal sto lat nie udawało się dowieść jego poprawności lub go obalić. Rozwiązanie tego problemu stało się jednym z problemów milenijnych, ogłoszonych przez Instytut Matematyczny Claya w roku 2000. Ostateczne potwierdzenie hipoteza Poincarégo uzyskała w roku 2006.
Równo sto lat po słynnym programie Hilberta podczas majowej konferencji w Paryżu, Instytut Claya ogłosił listę siedmiu problemów milenijnych, aby uczcić nadchodzące nowe tysiąclecie. Wyboru problemów dokonał Komitet Naukowy, zaś nagrody finansowe (w wysokości 7 milionów dolarów) ufundował i zapewnił Dyrektoriat Instytutu. Na liście znalazła się Hipoteza Poincarégo (już rozwiązana)
Hipoteza Poincarégo ? twierdzenie topologii,
sformułowane w pracach Henriego Poincarégo w roku 1904. Przez niemal sto lat nie
udawało się dowieść jego poprawności lub go obalić. Rozwiązanie tego problemu
stało się jednym z problemów milenijnych, ogłoszonych przez Instytut
Matematyczny Claya w roku 2000. Ostateczne potwierdzenie hipoteza Poincarégo
uzyskała w roku 2006.
Hipoteza: Każda trójwymiarowa zwarta i jednospójna rozmaitość topologiczna
bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową.
Dowód potwierdzający prawdziwość hipotezy zawarty jest w pracach rosyjskiego
matematyka Grigorija Perelmana, opublikowanych w roku 2003. Jego prace
zostały zweryfikowane w roku 2006. Magazyn Science przyznał ostatecznemu
rozstrzygnięciu hipotezy miano "naukowego wydarzenia roku 2006".
Podstawowa hipoteza Poincarégo dotyczy natury
przestrzeni trójwymiarowych. Wszechstronny francuski matematyk, fizyk i filozof,
Jules Henri Poincaré, pozostawił potomnym karkołomne zadanie. Matematycy zmagali
się z jego hipotezą od 1904 roku. ?To centralny problem zarówno matematyki, jak
i fizyki, ponieważ wiąże się z pytaniem, jaki jest kształt Wszechświata ?
wyjaśnia Marcus Du Sautoy z Oxford University. ? Wielu było naukowców, którzy
ogłaszali, jak się potem okazywało, nieprawidłowe dowody hipotezy. Wśród nich -
najtęższe umysły XX w. Obsesja na punkcie rozwiązania tego problemu zyskała
nawet żartobliwą nazwę ? Poincaritis, przez analogię do łacińskich nazw
chorób...?
Gdy jakiegoś problemu długo nie udaje się rozstrzygnać, to zwykle uogólnia się
go z nadzieją, że wtedy zauważy się coś, co umknęło naszej uwadze w sytuacji
szczegółowej. Z taką nadzieją uogólniono hipotezę Poincarego, formułując ją dla
sfery n-wymiarowej. Smale udowodnił w 1961 roku odpowiednik hipotezy Poincarégo
dla wymiarów większych lub równych 5. Inny uczony Michael H. Freedman dokonał
klasyfikacji jednospójnych rozmaitości czterowymiarowych w 1982 roku, a potem z
tej klasyfikacji wyprowadził dowód czterowymiarowego odpowiednika hipotezy
Poincarego.
Klasyczną hipotezę Poincarégo udowodnił dopiero w 2002 r. genialny rosyjski
matematyk, dr Grigorij ?Grisza? Perelman. Co więcej, udowodnił bardziej ogólną
wersję problemu, nazywaną hipotezą geometryzacyjną Thurstona. Hipoteza
Poincarego jest jej specjalnym przypadkiem. Za rozwiązanie zagadki uczony
otrzymał najwyższe matematyczne wyróżnienie - Fields Medal 2006. A ponieważ
hipoteza Poincarégo została uznana za jeden z matematycznych problemów
milenijnych, to za jego rozwiązanie Rosjaninowi należy się nagroda wysokości
miliona dolarów od amerykańskiego Instytutu Matematycznego Clay?a. Jednak
absolutnie oddany nauce 40-letni naukowiec najwyraźniej gardzi splendorami i
dobrami materialnymi, ponieważ ukrywa się i odmawia przyjęcia nagród... - To
nietuzinkowa postać. Jest zdecydowanie przeciwny naukowemu gwiazdorstwu,
zaszczytom i wszelkiemu zadęciu. Należy do grona szalonych wirtuozów matematyki,
takich jak John Nash, sugestywnie sportretowany w filmie ?Piękny umysł? ?
twierdzi Arthur Jaffe z Harvard University.
Grigorij Perelman urodził się i kształcił w Sankt Petersburgu. W wieku 16 lat
został laureatem Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej. Pracuje w
Petersburskim Oddziale Instytutu Matematycznego im. Stiekłowa przy Fontance 27.
Nad dowodem hipotezy Poincarégo głowił się przez 8 lat. W roku 2002 zamieścił w
internecie pierwszą z trzech prac dotyczących rozwiązania problemu. Czwartą
stronę najeżonego fachowymi terminami wprowadzenia kończyło znamienne zdanie:
?Wreszcie, w rozdziale 13, podajemy krótki szkic dowodu hipotezy
geometryzacyjnej?. Po krótkiej trasie wykładowej po USA, wiosną 2003 roku
Perelman zamilkł i pozostawił matematykom z całego świata zadecydowanie, czy
miał rację. ?To naprawdę wielka chwila w matematyce. To mogło się zdarzyć za sto
lat albo nigdy.? ? tak podsumowuje trzy lata spędzone przy objaśnianiu pracy
Perelmana Bruce Kleiner z Yale.
Hipoteza Poincarégo jest kluczem do gałęzi matematyki zwanej topologią.
Topologia bada możliwości wzajemnych przekształceń figur geometrycznych,
traktując je, jakby były z gumy. Jednym z podstawowych zadań topologii jest
klasyfikacja zbiorów przy użyciu homeomorfizmów (rozmaitego wyginania
powierzchni bez ich przerywania), a zbiory homeomorficzne zalicza się do tej
samej grupy. Rozmaitości jednocześnie jednospójne i zwarte są (w każdym
wymiarze) rozmaitościami najprostszymi. Rozmaitość jest zwarta, gdy jest
domknięta i ograniczona. Jednospójna jest, gdy niezależnie od położenia pętli
można w sposób ciągły zmniejszać tę pętlę aż do punktu, przy czym pętla nie
wychodzi poza powierzchnię. W przypadku jednowymiarowym tego typu rozmaitości w
ogóle nie ma, a jedyny możliwy przykład dwuwymiarowy to sfera. Henri Poincaré
postawił hipotezę, że w trzech wymiarach jest tylko jedna taka rozmaitość: sfera
trójwymiarowa. Perelman dowiódł ?homeotopijnej jedyności sfery wśród
rozmaitości?. Wersja dla nie-matematyków mogłaby brzmieć: ?Z obwarzanka nie da
się zrobić pączka? albo ?Z opony nie da się zrobić dobrego globusa?. Wersja dla
specjalistów: ?Każda trójwymiarowa zwarta i jednospójna rozmaitość topologiczna
bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową?.
Hipoteza Poincarego jest pierwszym rozwiązanym tzw. problemem milenijnym.
Zapraszam na film przybliżający ten problem matematyczny:
Pierwsza część wykładu prof. Michała Szurka na temat hipotezy Henriego Poincare.
Druga część wykładu prof. Michała Szurka na temat hipotezy Henriego Poincare.
A poniżej jej twórca tej hipotezy:
|
|
