Problem milenijny: Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera jest jednym z siedmiu "Problemów Milenijnych", za których rozwiązanie Instytut Matematyki Clay'a oferuje nagrodę w wysokości miliona dolarów. Te problemy są uważane za najtrudniejsze i najbardziej fundamentalne w dziedzinie matematyki.
Podstawy:
Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera dotyczy pewnej klasy równań, zwanych krzywymi eliptycznymi. Krzywe eliptyczne można przedstawić za pomocą równań w postaci \(y^2=\) \(x^3+a x+b\), gdzie \(a\) i \(b\) to liczby całkowite.
Treść hipotezy:
W skrócie, hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera przewiduje, że istnieje głęboka zależność między liczbą rozwiązań krzywych eliptycznych o współrzędnych całkowitych a pewnym ważnym, ale skomplikowanym, obiektem matematycznym zwanym L-funkcją. Jeśli wartość tej funkcji L w punkcie s=1 jest różna od zera, krzywa ma tylko skończoną liczbę rozwiązań racjonalnych (czyli rozwiązań o współrzędnych będących liczbami wymiernymi). Jeśli wartość L-funkcji jest równa zeru w punkcie s=1, krzywa powinna posiadać nieskończoną liczbę rozwiązań racjonalnych.
Znaczenie hipotezy:
Hipoteza, jeśli zostanie udowodniona, dostarczy głębokiego wglądu w naturę rozwiązań równań diofantyjskich, które od wieków stanowią centralny temat badawczy w matematyce. Ma również ważne zastosowania w dziedzinie kryptografii, gdzie krzywe eliptyczne odgrywają kluczową rolę.
Stan badań:
Chociaż dla wielu konkretnych krzywych eliptycznych potwierdzono hipotezę Bircha i Swinnertona-Dyera, ogólny dowód wciąż pozostaje nieosiągnięty. W ciągu lat udowodniono wiele ważnych wyników dotyczących tej hipotezy, ale pełne jej potwierdzenie lub obalenie wciąż pozostaje jednym z największych wyzwań matematyki.
Warto zaznaczyć, że osoba lub grupa, która udowodni lub obali hipotezę Bircha i Swinnertona-Dyera, zostanie uhonorowana nie tylko nagrodą miliona dolarów od Instytutu Matematyki Clay'a, ale również osiągnie nieśmiertelną sławę w historii matematyki.
A oto twórcy hipotezy:
Peter Swinnerton-Dyer
ur. 2 sierpnia 1927
Sir Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer, 16. Baronet (ur. 2 sierpnia 1927), znany jako Peter Swinnerton-Dyer - matematyk brytyjski, specjalista z dziedziny teorii liczb na Uniwersytecie Cambridge. Związany z Trinity College oraz St Catharine's College Uniwersytetu Cambridge, w latach 1979?1981 prorektor (ang. vice-chancellor) tej uczelni. W roku 1967 został wybrany na członka Towarzystwa Królewskiego, zaś w roku 2006 otrzymał Medal Sylvestera.
Znany z prac nad Hipotezą Bircha i Swinnertona-Dyera, związanych z krzywymi eliptycznymi oraz L-funkcjami. Wraz z Bryanem Birchem pracował nad tymi zagadnieniami w pierwszej połowie lat 60. XX wieku, także przy pomocy narzędzi komputerowych.
Peter Swinnerton-Dyer był również graczem brydża, reprezentującym Wielką Brytanię w roku 1953 na Europejskich Mistrzostwach Grupowych.
Bryan John Birch
25 września 1931
Bryan John Birch F.R.S. (born 25 September 1931) is a British mathematician. His name has been given to the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. He was born in Burton-on-Trent, the son of Arthur Jack and Mary Edith Birch. He was educated at Shrewsbury School and Trinity College, Cambridge. He married Gina Margaret Christ in 1961. They have three children. As a doctoral student at the University of Cambridge, he was officially working under J. W. S. Cassels. More influenced by Harold Davenport, he proved Birch's theorem, one of the definitive results to come out of the Hardy?Littlewood circle method; it shows that odd-degree rational forms in a large enough set of variables must have zeroes. He then worked closely with Peter Swinnerton-Dyer on computations relating to the Hasse?Weil L-functions of elliptic curves. Their subsequently formulated conjecture relating the rank of an elliptic curve to the order of zero of an L-function was a major influence on the development of number theory from the mid-1960s onwards. He introduced modular symbols in about 1971. As of 2006 only partial results have been obtained. In later work he contributed to algebraic K-theory (Birch?Tate conjecture). He then formulated ideas on the role of Heegner points (he had been one of those reconsidering Kurt Heegner's original work, on the class number one problem, which had not initially regained acceptance). Birch put together the context in which the Gross?Zagier theorem was proved; the correspondence is now published. Birch was a visiting scholar at the Institute for Advanced Study in the fall of 1983. He was elected a Fellow of the Royal Society in 1972; was awarded the Senior Whitehead Prize in 1993 and the De Morgan Medal in 2007 both of the London Mathematical Society. In 2012 he became a fellow of the American Mathematical Society.
