M-Blog

Równania, które zmieniły świat
Matematyczne rozmaitości Odsłon: 7141

równania-które-zmieniły-świat---tomasz-grębski-2-cef4e264-9503-4d15-aca4-8ba6ef1ca1c3

Propozycja na lekcje matematyki - uczmy historii matematyki, poznajmy odkrycia matematyczne i ich wielkie znaczenie dla rozwoju cywilizacji, a także poznajmy twórców tych równań.

 

Równania, które zmieniły świat

Tomasz Grębski

 

 

„Świat się zmienia” - często słyszymy. Czego mogą dotyczyć te zmiany? Można krótko odpowiedzieć - wszystkiego. Już w starożytności słynny filozof grecki Heraklit z Efezu przyjął jako podstawowy element w swojej filozofii koncepcję zmiany jako centralnego elementu świata (panta rhei – wszystko płynie). Heraklit określił to w słynnym zdaniu „niepodobna wstąpić dwukrotnie do tej samej rzeki”.

Zmiany świata mogą dotyczyć różnych dziedzin. Na szczególną uwagę zasługują pewne odkrycia w dziedzinie matematyki i fizyki, które zostały zapisane w postaci słynnych już dzisiaj równań. Niektóre z tych równań zebrał znany brytyjski matematyk Ian Stewart i opisał w swej książce „17 równań, które zmieniły świat”. Autor wymienia w niej 17 równań, które ocenił jako te najważniejsze w matematyce czy fizyce. Artykuł ten jest m.in. pewną zachętą do zapoznania się z tą książką, zwłaszcza że autor jest znany z popularyzowania matematyki.

A oto i bohaterowie artykułu, czyli najważniejsze równania w dziedzinie matematyki i fizyki.

1. Twierdzenie Pitagorasa - VI wiek p.n.e.

W dowolnym trójkącie prostokatnym suma kwadratów dlugości przyprostokatnych jest równa kwadratowi dlugości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
a 2 + b 2 = c 2 , a 2 + b 2 = c 2 , a^(2)+b^(2)=c^(2),a^{2}+b^{2}=c^{2},a2+b2=c2,
gdzie a , b a , b a,ba, ba,b to długości przyprostokątnych, zaś c c ccc to długość przeciwprostokątnej trójkąta.
To fundamentalne twierdzenie, które stanowi połączenie geometrii z algebrą. Dzięki niemu możemy m.in. obliczać odległości między punktami w układzie współrzędnych. Twierdzenie miało też ogromne znaczenie w rozwoju trygonometrii, co z kolei przyczyniło się do rozwoju miernictwa i nawigacji, a także w odkryciu ogólnej teorii względności.
Twierdzenie to przypisuje się Pitagorasowi, jednak znane ono było już Babilończykom i zapewne Egipcjanom.
Pitagoras (ok. 572 p.n.e. - ok. 497 p.n.e.) - rzeźba w muzeum na Kapitolu

2. Logarytm - 1614r.

Logarytm iloczynu liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów poszczególnych czynników tego iloczynu przy tej samej podstawie.
log a ⁡ ( x ⋅ y ) = log a ⁡ x + log a ⁡ y , log a ⁡ ( x ⋅ y ) = log a ⁡ x + log a ⁡ y , log_(a)(x*y)=log_(a)x+log_(a)y,\log _{a}(x \cdot y)=\log _{a} x+\log _{a} y,loga⁡(x⋅y)=loga⁡x+loga⁡y,
dla x > 0 x > 0 x > 0x>0x>0 i y > 0 y > 0 y > 0y>0y>0 i a > 0 a > 0 a > 0a>0a>0 i a ≠ 1 a ≠ 1 a!=1a \neq 1a≠1.
Dlaczego to równanie jest tak ważne? Logarytm zamienia mnożenie liczb na dużo prostsze działanie, jakim jest dodawanie. Do czasu wynalezienia komputerów logarytmy pozwalały wykonywać obliczenia na bardzo dużych liczbach. Tablice logarytmiczne wraz z suwakiem logarytmicznym były podstawowymi pomocami do obliczeń naukowych, geodezyjnych, astronomicznych i inżynierskich.
Za twórcę logarytmów uważa się szkockiego matematyka - Johna Napiera, który w lipcu 1614 r. w Edynburgu opublikował swoje dzieło Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Istnieją dowody, że Napier zajmowal się logarytmami już w 1594 r. Część historyków twierdzi, że to inny człowiek wynalazł logarytmy przed Napierem, a mianowicie szwajcarski matematyk Joost Bürgi (1552-1632). Jednak Bürgi opublikował swoje dzieło Tafeln arithmetischer und mit einer geometrischer Zahlenfolgen gründlichen Erläuterungen, wie sie zu verstehen sind und werden können gebraucht 6 lat po publikacji Napiera. Ponieważ sposób przedstawienia logarytmów przez Bürgiego różni się wyraźnie od Napiera, najprawdopodobniej wynaleźli oni logarytmy zupełnie niezależnie od siebie.

3. Pochodna funkcji - 1668 r.

Pochodna funkcji to granica ilorazu różnicowego funkcji przy przyroście argumentów dążącym do zera.
∂ f ∂ x = lim h → 0 f ( x o + h ) − f ( x o ) h ∂ f ∂ x = lim h → 0   f x o + h − f x o h (del f)/(del x)=lim_(h rarr0)(f(x_(o)+h)-f(x_(o)))/(h)\frac{\partial f}{\partial x}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{o}+h\right)-f\left(x_{o}\right)}{h}∂f∂x=limh→0f(xo+h)−f(xo)h
Inaczej też możemy powiedzieć, że pochodna to miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów.
Jednym z twórców rachunku różniczkowego był Isaac Newton, który nazywał pochodną fluksja , zaś zmienną fluentą. Inny matematyk, Gottfried Leibniz, również uważany za twórcę rachunku różniczkowego, przez wiele lat wiódł spór z Newtonem o pierwszeństwo odkrycia rachunku różniczkowego.
Odkrycie pochodnej miało ogromne znaczenie dla rozwoju szeroko pojętej cywilizacji. Rachunek różniczkowy i całkowy jest głównym narzędziem opisu świata, jest podstawowym językiem techniki i nauk przyrodniczych. Ian Stewart tak pisze o rachunku różniczkowym: ,"Każdy lecący samolot, każdy samochód przemieszczający drogi, każdy most wiszaqcy i budynek odporny na trzęsienia ziemi zawdzięcza częściowo swoje istnienie rachunkowi różniczkowemu i całkowemu".
Egzemplarz dzieła Newtona wydanego 5 lipca 1687 r. pt. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, w którym Newton potwierdza, że równania różniczkowe umożliwiają matematyczne modelowanie przyrody.

4. Prawo powszechnego ciążenia − 1687 r − 1687 r -1687 r-1687 r−1687r.

Każdy obiekt we wszechświecie przyciaga każdy inny obiekt z siła, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami.
F = G m 1 m 2 r 2 F = G m 1 m 2 r 2 F=G(m_(1)m_(2))/(r^(2))F=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}F=Gm1m2r2
gdzie G − G − G-G-G− stała grawitacji,
m 1 m 1 m_(1)m_{1}m1 - masa pierwszego ciała,
m 2 m 2 m_(2)m_{2}m2 - masa drugiego ciała,
r − r − r-r-r− odległość między obiektami.
Autorem prawa jest Isaac Newton. Sformułował je w pracy pt. Philosophiae naturalis principia mathematica, opublikowanej w 1687 r. Prawo to wyjaśnia niemal idealnie, dlaczego planety poruszają się w znany nam sposób. Godnym uwagi jest też jego uniwersalny charakter - prawo działa w całym Układzie Słonecznym.
Wpływ Newtona na współczesny świat i naukę jest nieoceniony. Był człowiekiem o genialnym umyśle, a gdy brakowało mu narzędzi matematycznych, aby opisać swoje odkrycia, po prostu je wymyślał.
Anegdota o Newtonie:
Zapytano raz Newtona, czy dużo czasu zajęło mu sformułowanie odkrytych przez niego praw.
Uczony odpowiedział:
  • Odkryte przeze mnie prawa sq bardzo proste. Formułowałem je szybko, ale przedtem bardzo dlugo myślatem.
Isaac Newton (1642-1727)

5. Pierwiastek kwadratowy z minus jeden − 1777 r − 1777 r -1777 r-1777 r−1777r.

Coś co według wszelkich zasad powinno być niemożliwe, stało się możliwe. W 1777 r 1777 r 1777r1777 \mathrm{r}1777r. Leonard Euler wprowadził jednostkę urojoną liczby zespolonej oznaczonej symbolem i i iii, która spełnia równanie:
i 2 = − 1 i 2 = − 1 i^(2)=-1i^{2}=-1i2=−1
Możemy również zapisać je w postaci:
− 1 = i − 1 = i sqrt(-1)=i\sqrt{-1}=i−1=i
Liczby zespolone Euler opisal w 1748 roku w swym dziele Introductio in analysin infinitorum. Wprowadzenie tych liczb wzbudziło duże kontrowersje między matematykami, ponieważ nie widziano w tych liczbach żadnego uzasadnienia logicznego, ani oparcia w zjawiskach przyrodniczych. Wkrótce potem okazało się, że liczby zespolone są jednym z najważniejszych narzędzi badań zjawisk przyrodniczych, a obecnie są codziennym narzędziem matematyków, fizyków czy inżynierów, dające im ogromne korzyści, m.in. W elektrotechnice, aerodynamice. Dzięki nim ulepszono metody wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych. Niemal każde zagadnienie matematyczne można uogólnić do płaszczyzny zespolonej. Analiza zespolona, która opisuje przestrzeń liczb zespolonych stanowi podwaliny mechaniki kwantowej.
Leonard Euler (1707-1783)

6. Wzór Eulera o wielościanach − 1751 r − 1751 r -1751r-1751 \mathrm{r}−1751r.

Leonard Euler w 1751 r. sformułował twierdzenie o wielościanach wypukłych, które opisuje zależność miedzy liczbą wierzchołków, ścian i krawędzi wielościanu. Okazuje się, że te zależność tą można zapisać w bardzo prosty sposób:
S − K + W = 2 S − K + W = 2 S-K+W=2S-K+W=2S−K+W=2
gdzie:
W W WWW - liczba wierzchołków
S S SSS - liczba ścian
K K KKK - liczba krawędzi
Wzór ten przyczynił się do powstania jednej z najważniejszych i najbardziej wszechstronnych dziedzin matematyki jaką jest topologia, zajmująca się badaniem własności, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu obiektów. Proces deformacji najłatwiej wyobrazić sobie, przyjmując, że obiekt wykonano z gumy.
Równanie to pozwoliło też na udowodnienie liczby brył platońskich (patrz zad. 2), ale również pozwoliło zrozumieć sposób oddziaływania enzymów DNA w komórkach organizmów żywych.
Zadania na zastosowanie wzoru Eulera.
Zad. 1. Udowodnić, że w każdym wypukłym wielościanie suma ilości ścian trójkątnych oraz ilości kątów trójściennych równa jest 8. Zad. 2. Udowodnić, że liczba ścian w wielościanie foremnym może być równa tylko: 4, 6, 8, 12 , 20 12 , 20 12,2012,2012,20.

7. Rozkład normalny − 1810 − 1810 -1810-1810−1810 r.

Prawdopodobieństwo zaobserwowania konkretnej wartości liczbowej jest większe najbliżej wartości średniej i zmniejsza się gwaltownie, gdy różnica między wartościa obserwowana a średniq rośnie. Tempo zmniejszania się prawdopodobieństwa zależy od wartości zwanej odchyleniem standardowym.
Funkcja gęstości rozkładu normalnego wyraża się wzorem:
f μ , σ ( x ) = 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f μ , σ ( x ) = 1 σ 2 π exp ⁡ − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f_(mu,sigma)(x)=(1)/(sigmasqrt(2pi))exp((-(x-mu)^(2))/(2sigma^(2)))f_{\mu, \sigma}(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(\frac{-(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)fμ,σ(x)=1σ2πexp⁡(−(x−μ)22σ2)
Rozkład normalny lub inaczej rozkład Gaussa, to jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa, ponieważ występuje w naturze, gdzie większość przypadków jest bliska średniemu wynikowi. Twórcą rozkładu jest Carl Friedrisch Gauss. Zdefiniowanie tego rozkładu pozwoliło ,ustatystycznić" wiele zjawisk, cech, a przede wszystkim człowieka. Stosuje się go przy większości badań i sondażów. Należy jednak pamiętać, że to nie jedyny rozkład w rachunku prawdopodobieństwa i nie należy wszystkich zjawisk dopasowywać „na siłę" do rozkładu normalnego.
Carl Friedrisch Gauss (1777-1855)

8. Równanie falowe − 1746 r − 1746 r -1746 r-1746 r−1746r.

Równanie falowe to matematyczne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące ruch falowy.
∂ 2 y ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 y ∂ x 2 ∂ 2 y ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 y ∂ x 2 (del^(2)y)/(delt^(2))=c^(2)(del^(2)y)/(delx^(2))\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}∂2y∂t2=c2∂2y∂x2
Równanie to opisuje falę poprzeczną rozchodzącą się w w w\mathrm{w}w kierunku x x xxx (cząstki ośrodka wychylały się w kierunku y). Równanie falowe w tej postaci, stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzących się fal, np.: fal dźwiękowych i fal elektromagnetycznych. Równanie to udoskonaliło badania sejsmologów, pozwoliło określić budowę Ziemi. Wykorzystuje się go do poszukiwania złóż ropy naftowej. Przyczyniło się też do odkrycia fal elektromagnetycznych, co pozwoliło na rozwój radia, telewizji i innych systemów komunikacji. Twórcą równania jest francuski filozof, fizyk i matematyk - Jean Le Rond D'Alembert.
Jean Le Rond D'Alembert (1717-1783)

9. Transformata Fouriera - 1822 r.

Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwarzania sygnału. Wynika z niej, że każda funkcje pojawiającq się w czasie czy przestrzeni można zapisać jako superpozycję funkcji sinusoidalnych o różnych częstotliwościach. Transformatę zapisuję się wzorem:
f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ + ∞   f ( x ) e − 2 π i x ξ d x hat(f)(xi)=int_(-oo)^(+oo)f(x)e^(-2pi ix xi)dx\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-2 \pi i x \xi} d xf^(ξ)=∫−∞+∞f(x)e−2πixξdx
Można też powiedzieć, że transformata przetwarza funkcję z danej przestrzeni w ten sposób, że wyeksponowane są jej własności okresowe, częstotliwościowe (tak zwane spektrum funkcji). Przekształcenie jest bezstratne i funkcja może zostać zrekonstruowana ze swojej transformaty Fouriera. Częstotliwości składowe pozwalają analizować kształt funkcji, porządkować je i usuwać z nich przypadkowe zakłócenia sygnałów. Wykorzystanie transformaty jest bardzo duże. Korzysta się z niej podczas przetwarzania obrazów, do kompresowania danych cyfrowych, do oczyszczania starych nagrań czy badania trzęsień Ziemi. Ciekawym zastosowaniem transformaty jest stosowanie jej podczas tworzenia baz danych odcisków palców. Twórcą transformaty jest francuski matematyk - J. Fourier.
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

10. Równanie Naviera-Stokesa − 1845 r − 1845 r -1845r-1845 \mathrm{r}−1845r.

Równania Naviera-Stokesa - zestaw równań opisujących zasadę zachowania pędu dla poruszającego się płynu. Według nich zmiany pędu elementu ptynu zależa jedynie od sit masowych, zewnętrznego ciśnienia i wewnętrznych sit lepkości w ptynie.
ρ ( ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v ) = − ∇ p + ∇ ⋅ T + f ρ ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v = − ∇ p + ∇ ⋅ T + f rho((del v)/(del t)+v*grad v)=-grad p+grad*T+f\rho\left(\frac{\partial v}{\partial t}+v \cdot \nabla v\right)=-\nabla p+\nabla \cdot T+fρ(∂v∂t+v⋅∇v)=−∇p+∇⋅T+f
gdzie: ρ ρ rho\rhoρ - gęstość, v − v − v-v-v− prędkość, ∇ ∇ grad\nabla∇ - gradient, p p ppp - ciśnienie, ∇ ⋅ − ∇ ⋅ − grad*-\nabla \cdot-∇⋅− dywergencja, T − T − T-T-T− naprężenia, f − f − f-f-f− siły masowe.
Autorami tego równania są francuski inżynier i fizyk - Claude-Louis Navier oraz irlandzki matematyk i fizyk - George Gabriel Stokes.
Równanie to jest zamaskowaną drugą zasadą dynamiki. Pozwoliło na rozwiązanie wielu istotnych problemów fizyczno-technicznych. Dzięki niemu inżynierowie skonstruowali odrzutowe samoloty pasażerskie, szybkie i ciche łodzie podwodne, a samochody Formuły 1 trzymają się toru nawet przy największych prędkościach. W medycynie powstały modele opisujące przepływ krwi w żyłach.
George Stokes (1819-1903)
Claude-Louis Navier (1785-1836)

11. Równania Maxwella − 1865 r − 1865 r -1865 r-1865 r−1865r r.

Równania Maxwella to cztery podstawowe równania elektrodynamiki klasycznej opisujące właściwości pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. Twórcą równań jest James Clerk Maxwell.
∇ ⋅ E = 0 ∇ ⋅ E = 0 grad*E=0\nabla \cdot E=0∇⋅E=0
∇ × E = − 1 c ∂ H ∂ t ∇ × E = − 1 c ∂ H ∂ t grad xx E=-(1)/(c)(del H)/(del t)\nabla \times E=-\frac{1}{c} \frac{\partial H}{\partial t}∇×E=−1c∂H∂t
∇ ⋅ H = 0 ∇ ⋅ H = 0 grad*H=0\nabla \cdot H=0∇⋅H=0
∇ × H = − 1 c ∂ E ∂ t ∇ × H = − 1 c ∂ E ∂ t grad xx H=-(1)/(c)(del E)/(del t)\nabla \times H=-\frac{1}{c} \frac{\partial E}{\partial t}∇×H=−1c∂E∂t
gdzie: ∂ t ∂ t del t\partial t∂t - tempo zmian w czasie, c c ccc - prędkość światła, p p ppp - ciśnienie, ∇ ⋅ − ∇ ⋅ − grad*-\nabla \cdot-∇⋅− dywergencja, ∇ x ∇ x gradx\nabla \mathrm{x}∇x
  • rotacja, H H HHH - natężenie pola magnetycznego, E E EEE - natężenie pola magnetycznego.
Z powyższych równań wynika, że pola elektryczne i magnetyczne nigdy nie giną. Wirowanie pola elektrycznego wytwarza pole magnetyczne o wektorach prostopadłych do kierunku obrotu wektora pola elektrycznego. Wirowanie pola magnetycznego wytwarza pole elektryczne o wektorach prostopadłych do kierunku wirowania pola magnetycznego, ale przeciwnie skierowanych. Równania te stanowiły też pierwszą udaną próbę wprowadzenia unifikacji teorii opisujących siły fizyczne. Wzory te są matematycznym wyrazem związku między elektrycznością i magnetyzmem. Równania Maxwella pozwoliły przewidzieć istnienie fal elektromagnetycznych, podróżowanie z prędkością światła i opisanie światła w postaci falowej. To z kolei doprowadziło do wynalezienia radia, telewizji, łączności bezprzewodowej i większości współczesnych metod porozumiewania się.
James Clerk Maxwell (1831-1878)

12. Druga zasada termodynamiki − 1874 − 1874 -1874-1874−1874 r.

Jednym z podstawowych praw termodynamiki jest druga zasada termodynamiki, stwierdzająca, że w w www układzie termodynamicznie izolowanym istnieje funkcja stanu, która nie maleje z czasem. Funkcja ta nazywana jest entropią i oznaczamy ją symbolem S S SSS, a jej zmiana Δ S Δ S Delta S\Delta SΔS spełnia nierówność:
Δ S ≥ 0 Δ S ≥ 0 Delta S >= 0\Delta S \geq 0ΔS≥0
Twórcą tej nierówności jest austriacki fizyk - L. Boltzmann. Odkrycie tej zasady pozwoliło na opracowanie bardziej wydajnych silników parowych, określenie wydajności odnawialnych źródeł energii, czy udowodnienie, że materia składa się z atomów.
Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906)

13. Teoria względności − 1905 r − 1905 r -1905r-1905 \mathrm{r}−1905r.

Masa i energia sq ze soba nierozłacznie związane. Jeśli masa jakiejkolwiek substancji jest całkowicie zamieniona w energię tak, że żadna część tej masy nie pozostała w w www dawnej postaci, to ilość otrzymanej energii opisana jest równaniem:
E = m c 2 E = m c 2 E=mc^(2)E=m c^{2}E=mc2
gdzie: E E EEE - energia, m m mmm - masa spoczynkowa ciała, zaś c c ccc - prędkość światła. Oznacza to, że na jednostkę masy przypada ogromna ilość energii. O równaniu tym zapewne słyszał każdy. Zrewolucjonizowało ono spojrzenie na przestrzeń, czas i materię. Twórcą tego równania jest niemiecki fizyk żydowskiego pochodzenia - A. Einstein.
Albert Einstein (1879-1955)

14. Równanie Schrödingera - 1926 r 1926 r 1926r1926 \mathrm{r}1926r.

Równanie Schrödingera to jedno z fundamentalnych równań nierelatywistycznej mechaniki kwantowej. Autorem jest austriacki fizyk - E. Schrödinger. Równanie to pozwala opisać ewolucję stanu układu kwantowego w czasie w sposób znacznie dokładniejszy, niż czyni to mechanika klasyczna.
i ℏ ∂ ∂ t Ψ = H ^ Ψ i ℏ ∂ ∂ t Ψ = H ^ Ψ iℏ(del)/(del t)Psi= widehat(H)Psii \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi=\widehat{H} \Psiiℏ∂∂tΨ=H^Ψ
gdzie ℏ ℏ ℏ\hbarℏ - stała Plancka podzielona przez 2 π , Ψ 2 π , Ψ 2pi,Psi2 \pi, \Psi2π,Ψ - kwantowa funkcja falowa, zaś H ^ − H ^ − widehat(H)-\widehat{H}-H^− operator Hamiltona.
Zgodnie z tym równaniem materia ma charakter fali, zaś samo równanie opisuje sposób rozchodzenia się fal. Równanie to zmieniło opis mikroświata. Również przyczyniło się do budowy układów scalonych czy laserów.
Erwin Schrödinger (1887-1961)

15. Teoria informacji - 1945 r 1945 r 1945r1945 \mathrm{r}1945r.

Najmniejsza średnia ilość informacji potrzebna do zakodowania faktu zajścia zdarzenia ze zbioru zdarzeń o danych prawdopodobieństwach (entropia) wyraża się wzorem:
H = − ∑ x p ( x ) log 2 ⁡ p ( x ) H = − ∑ x   p ( x ) log 2 ⁡ p ( x ) H=-sum_(x)p(x)log_(2)p(x)H=-\sum_{x} p(x) \log _{2} p(x)H=−∑xp(x)log2⁡p(x)
gdzie: H H HHH - entropia, p ( x ) p ( x ) p(x)p(x)p(x) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia.
Teoria ta zapoczątkowała erę informacji, która jest podstawą dzisiejszych środków łączności i zapisu danych (technologia CD, DVD, Blu-ray, Internet). Stosuje się ją m.in. w statystyce, kryptologii, sztucznej inteligencji.
Za twórcą teorii uważa się Claude'a E. Shannona, który prawdopodobnie po raz pierwszy użył tego terminu w 1945 roku w swojej pracy A Mathematical Theory of Cryptography, zaś w 1948 roku w kolejnej pracy A Mathematical Theory of Communication przedstawit najważniejsze zagadnienia związane z tą dziedziną nauki.
Claude Elwood Shannon (1916-2001)

16. Teoria chaosu − 1975 r − 1975 r -1975r-1975 \mathrm{r}−1975r.

Teoria chaosu pozwala modelować zmiany zachodzące z pokolenia na pokolenie w populacji istot żywych, dla której jedynym ograniczeniem sq dostępne środki.
x t + 1 = k x t ( 1 − x t ) x t + 1 = k x t 1 − x t x_(t+1)=kx_(t)(1-x_(t))x_{t+1}=k x_{t}\left(1-x_{t}\right)xt+1=kxt(1−xt)
gdzie: x t x t x_(t)x_{t}xt - liczebność populacji w obecnej chwili, x t + 1 x t + 1 x_(t+1)x_{t+1}xt+1 - liczebność populacji w obecnej chwili, k k kkk - tempo nieograniczonego wzrostu.
Równanie to jest dość proste, a opisuje bardzo złożoną dynamikę ruchu, a także pokazuje, że pozorna przypadkowość może ukrywać faktyczny porządek. Odkrycie tego równania pozwoliło m.in. na przewidywanie ruchu planet, przewidywanie prognozy pogody, modelowanie zmian systemów ekologicznych, czy zjawisk towarzyszących trzęsieniu ziemi.
Robert May (1936-)

17. Równanie Blacka-Scholesa - 1990 r.

Wzór Blacka-Scholesa to podstawowy wzór wyceny optymalnej ceny opcji na kupno akcji lub towarów na giełdzie.
1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S + ∂ V ∂ t − r V = 0 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S + ∂ V ∂ t − r V = 0 (1)/(2)sigma^(2)S^(2)(del^(2)V)/(delS^(2))+rS(del V)/(del S)+(del V)/(del t)-rV=0\frac{1}{2} \sigma^{2} S^{2} \frac{\partial^{2} V}{\partial S^{2}}+r S \frac{\partial V}{\partial S}+\frac{\partial V}{\partial t}-r V=012σ2S2∂2V∂S2+rS∂V∂S+∂V∂t−rV=0
gdzie: S S SSS - cena towaru, V V VVV - cena finansowych instrumentów pochodnych, ∂ ∂ del\partial∂ - tempo zmian, r r rrr - wysokość stopy procentowej.
Równanie to opisuje, w jaki sposób zmienia się w czasie cena finansowych instrumentów pochodnych. Zależność ta odzwierciedla zasadę głoszącą, że gdy cena jest właściwa, finansowe instrumenty pochodne nie niosą ze sobą żadnego ryzyka, nikt więc nie może zarobić na ich sprzedaży po innej cenie.
Dzięki temu równaniu osiągnięto intensywny rozwój sektora finansowego oraz rozwinięto instrumenty finansowe.
Fischer Black (1938-1995)
Myron Scholes (1938-1995)

Podsumowanie

Odkrycie opisanych równań nie budzi żadnych wątpliwości co do ich wielkiego znaczenia dla rozwoju wielu dziedzin życia. Trudno sobie wyobrazić na jakim etapie byłaby obecnie nasza cywilizacja bez nich. To oczywiście tylko niewielka część równań, bo ciągle powstają nowe, jedne równania generują kolejne. Rozwinęła się matematyka dyskretna i algorytmika, które wytyczają nowe tory i zmieniają klasyczny sposób podejścia do równań ciągłych. Czy algorytmy i automatyczne uczenie się przez komputery spowodują odkrycie czegoś zupełnie nowego co zrewolucjonizuje dotychczasową wiedzę?

A czy jest jeszcze coś do odkrycia? Oczywiście, odkrywanie to niekończący się proces. Dla przykładu mamy tzw. problemy milenijne, których przykładem może być problem związany z liczbami pierwszymi, czyli Hipoteza Riemanna. Czy kiedyś zostanie odkryty wzór na liczby pierwsze? Ten problem jest badany już ponad 100 lat. Obecnie obserwujemy jak wielkie możliwości ma Sztuczna Inteligencja i jak wiele już osiągnięto przy jej pomocy. Kto wie co w przyszłości wymyśli ta „istota” stworzona przez człowieka?

Zachęcam do zgłębienia opisanego tematu i zapoznania się z treścią książki Iana Stewarda „17 równań, które zmieniły świat” (Wydawca Prószyński i S-ka, 2013).

Tomasz Grębski 2022

 

Bibliografia:

  1. Heraklit. W: Władysław Tatarkiewicz: Historia filozofii. Wyd. XXII. T. I: Filozofia starożytna i średniowieczna. Warszawa: PWN, 2007, s. 32. ISBN 978-83-01-14466-1.
  2. A.T.Olmstead, Dzieje imperium perskiego, PIW, Warszawa 1974, s. 31, 206.
  3. https://pl.wikipedia.org/wiki/Pitagoras#/media/File:Kapitolinischer_Pythagoras.jpg
  4. T.Grębski. Muzyka sfer. Wiedza i życie 9 (969), Prószyński Media 2015 s. 55-59.
  5. https://pl.wikipedia.org/wiki/John_Napier#/media/File:John_Napier.JPG
  6. Korn G. A., Korn T. M.: Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów. T. 1. PWN, 1983, s. 107., 4.5-1[1].
  7. lan Stewart Taming the Infinite. The Story of Mathematics Quercus Publishing, London
  8. https://pl.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler#/media/File:Leonhard_Euler_2.jpg
  9. Richard Courant, Herbert Robbins: Co to jest matematyka? Prószyński i Spółka. Warszawa 1998. Wydanie uzupełnione przez lana Stewarta
  10. Ian Stewart, 17 równań które zmieniły świat, Prószyński Media, Warszawa 2013
  11. https://pl.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss#/media/File:Carl_Friedrich_Gauss.jpg
  12. https://pl.wikipedia.org/wiki/Jean_le_Rond_d’Alembert#/media/File:Alembert.jpg
  13. https://pl.wikipedia.org/wiki/George_Gabriel_Stokes#/media/File:SS-stokes.jpg
  14. https://pl.wikipedia.org/wiki/Claude-Louis_Navier#/media/File:Claude-Louis_Navier.jpg
  15. Ian Stewart, 17 równań które zmieniły świat, Prószyński Media, Warszawa 2013, s. 170
  16. https://pl.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell#/media/File:James_Clerk_Maxwell_big.jpg
  17. https://pl.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann#/media/File:Boltzmann2.jpg
  18. https://pl.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein#/media/File:Einstein1921_by_F_Schmutzer_2.jpg
  19. https://pl.wikipedia.org/wiki/Erwin_Schrödinger
  20. https://pl.wikipedia.org/wiki/Claude_E._Shannon#/media/File:ClaudeShannon_MFO3807.jpg
  21. Ian Stewart, 17 równań które zmieniły świat, Prószyński Media, Warszawa 2013, s. 264
  22. https://egtheory.wordpress.com/2013/03/19/finance-and-ecology/
  23. Ian Stewart, 17 równań które zmieniły świat, Prószyński Media, Warszawa 2013, s. 274

Related Articles

Matematyczne portrety

Matematyczne książki

Matematyczne pieniądze

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA