M-Blog

 

 

 

Matematyczne plotki

Chyba każdy z nas lubi czasem trochę poplotkować. Rozmowy na temat innych ludzi są nieodłączną częścią naszego codziennego życia społecznego. Plotkowanie, choć może być czasami kontrowersyjne, jest powszechne i pełni różnorodne funkcje w relacjach międzyludzkich. Można spojrzeć na tę kwestię z kilku perspektyw. Plotkowanie może służyć jako sposób na nawiązywanie więzi społecznych i integrację w grupie. Dzieląc się informacjami na temat innych osób, możemy tworzyć wspólne punkty zainteresowania, a także dowiadywać się o wydarzeniach czy postawach społecznych. Jednakże, trzeba pamiętać, że zbyt intensywne lub negatywne plotkowanie może prowadzić do tworzenia niesprawiedliwych osądów czy naruszania prywatności innych osób. Niektóre badania sugerują, że plotkowanie może także pełnić pewne funkcje psychologiczne, jak chociażby uwalnianie stresu czy poprawa nastroju. 

Warto zachować umiar i dbać o to, aby plotki były niewinne, niekrzywdzące i nieobraźliwe. Ważne jest także, aby pamiętać, że każdy z nas jest odpowiedzialny za to, co mówi, i jakie wrażenie rozmowy na temat innych ludzi może wywołać u naszych rozmówców. W społecznościach opartych na szacunku i zrozumieniu, umiejętne zarządzanie plotkami może pomóc w utrzymaniu pozytywnych relacji i atmosfery.

Po tym wstępie zastanówmy się dlaczego plotki rozchodzą się tak szybklo i czy można to opisać matematycznie?

Oczywiście, spojrzenie na zjawisko plotkowania z matematycznego punktu widzenia może dostarczyć ciekawych spostrzeżeń.

Załóżmy, że istnieje pewna społeczność składająca się z osób, a każda osoba może poplotkować z pewnym prawdopodobieństwem . Plotka może dotyczyć innych osób w tej samej społeczności, a proces przekazywania informacji można modelować za pomocą grafu, w którym wierzchołki reprezentują osoby, a krawędzie reprezentują przekazywanie plotki.

W takim przypadku, możemy wykorzystać pojęcia z teorii grafów oraz teorii prawdopodobieństwa, aby analizować, jak plotka rozprzestrzenia się w społeczności, np. można rozważać:

  1. Rozmiar społeczności: Jak wielka jest społeczność, w której plotka się rozprzestrzenia? Czy większa społeczność sprzyja rozprzestrzenianiu się plotki, czy może jest to odwrotnie?

  2. Prawdopodobieństwo przekazywania: Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba przekaże plotkę dalej? Czy istnieją pewne czynniki, które wpływają na to prawdopodobieństwo?

  3. Czas rozprzestrzeniania: Jak szybko plotka rozprzestrzenia się w społeczności? Czy można oszacować czas, po którym większość osób już usłyszała o plotce?

  4. Centrale w grafie: Czy istnieją pewne osoby, które odgrywają kluczową rolę w rozprzestrzenianiu plotki? Można to analizować poprzez identyfikację centrów w grafie społeczności.

  5. Modelowanie trendów: Czy możemy stworzyć model matematyczny, który opisuje dynamiczne zmiany w rozprzestrzenianiu się plotki w czasie? Na przykład, czy można przyjąć, że rozprzestrzenianie się plotki odbywa się zgodnie z pewnym modelem matematycznym, np. modelem opartym na procesach stochastycznych?

Analizując zjawisko plotkowania w kontekście matematycznym, można dostrzec, że choć może wydawać się ono chaotyczne i trudne do przewidzenia, to istnieją pewne reguły i wzorce, które można zrozumieć i opisać przy użyciu narzędzi matematycznych. Takie podejście pozwala na bardziej głęboką analizę i zrozumienie tego, jak plotki się rozprzestrzeniają w społecznościach.

A teraz podejście bardziej rachunkowe, czyli coś policzymy. 

Termin "plotka" w kontekście matematycznym może odnosić się również do rozprzestrzeniania się informacji w sposób podobny do ciągu geometrycznego. Aby zrozumieć, jak plotka może być postrzegana w kontekście matematycznym, warto przeanalizować jej cechy oraz sposób, w jaki się rozprzestrzenia.

W przypadku ciągu geometrycznego, każdy kolejny wyraz jest uzyskiwany poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę nazywaną ilorazem ciągu. W analogii do plotki, każda osoba, która dowiaduje się o plotce, może przekazać ją dalej do innych osób, co powoduje jej rozprzestrzenianie się. Można więc powiedzieć, że ilość osób, które słyszą o plotce, rośnie w sposób podobny do ciągu geometrycznego.

Załóżmy, że mamy pewną początkową ilość osób, które słyszą o plotce. Następnie każda z tych osób przekazuje tę informację do stałej liczby nowych osób. Jeśli oznaczymy ilość osób, które słyszą o plotce w danym kroku jako \(a_n\), gdzie \(n\) to numer kroku, to możemy przyjąć, że \(a_{n+1}=q \cdot a_n\), gdzie \(q\) jest stałą ilorazu ciągu geometrycznego.
W przypadku plotki, stała \(q\) reprezentuje liczbę osób, którym każda osoba przekazuje informację. Jeśli \(q>1\), to oznacza, że plotka się rozprzestrzenia, ponieważ każda osoba przekazuje ją do więcej niż jednej osoby. Ostatecznie, jeśli plotka ma potencjał do rozprzestrzeniania się, to ilość osób, które ją słyszą, będzie rosła w sposób wykładniczy, co jest charakterystyczną cechą ciągów geometrycznych.

Oto konkretny przykład zastosowania analogii plotki jako ciągu geometrycznego:

Załóżmy, że na pewnym uniwersytecie pojawiła się pewna "matematyczna plotka". Początkowo tylko jedna osoba, nazwijmy ją Anna, usłyszała o tym, że pewien profesor zamierza zmienić sposób oceniania na egzaminie zaliczeniowym z geometrii. Anna postanowiła podzielić się tą informacją z trzema swoimi przyjaciółkami - Barbarą, Klarą i Ewą. Każda z nich również przekazała tę informację trzem swoim znajomym. Każda kolejna osoba, która dowiedziała się o tej "matematycznej plotce", również postanowiła ją przekazać trzem innym osobom.

W tym przykładzie możemy zastosować analogię do ciągu geometrycznego. Początkowo Anna była pierwszym wyrazem tego "ciągu plotkowego". Następnie Barbara,, Klara i Ewa, jako kolejne wyrazy, przekazały tę plotkę do łącznie dziewięciu osób (po trzy każda). Każda z tych dziewięciu osób również stała się źródłem trzech nowych odbiorców. Ostatecznie możemy to przedstawić następująco:

Załóżmy, że początkowo tylko Anna zna plotkę. Każda osoba, która dowiaduje się o plotce, przekazuje ją trzem innym osobom. Oznaczymy ilość osób, które słyszą o plotce w danym kroku jako \(a_n\), gdzie \(n\) to numer kroku. lloraz ciągu geometrycznego będzie wynosił \(q=3\), ponieważ każda osoba przekazuje informację trzem innym osobom.
1. Wyraz początkowy: \(a_1=1\) (Anna)
2. Wyrazy pierwszego kroku: \(a_2=q \cdot a_1=3\)
3. Wyrazy drugiego kroku: \(a_3=q\cdot a_2=9\)
4. Wyrazy trzeciego kroku: \(a_4=q \cdot a_3=27\)
5. Wyrazy czwartego kroku: \(a_5=q \cdot a_4=81\)
Możemy zauważyć, że ilość osób, które słyszą o plotce, rośnie w sposób wykładniczy, gdzie kolejne wyrazy ciągu są mnożone przez iloraz \(q=3\). Wartości te odpowiadają liczbie osób, które przekazują plotkę w danym kroku, aż osiągnie się wyższe liczby.

Załóżmy teraz, że plotki te przekazywane są co godzinę, tzn. każda osoba przekazuje plotkę trzem kolejnym osobom w ciągu godziny. Oblicz teraz ile osób dowie się o plotce po 10 godzinach. 

Aby obliczyć, ile osób dowie się o plotce po 10 minutach, możemy wykorzystać wzór ogólny dla ciągu geometrycznego:
\[
a_n=a_1 \cdot q^{n-1}
\]
Gdzie:
- \(a_n\) to ilość osób w \(n\)-tym kroku,
- \(a_1\) to początkowa ilość osób (w tym przypadku 1, bo tylko Anna zna plotkę),
- \(q\) to iloraz ciągu geometrycznego (w tym przypadku 3),
- \(n\) to numer kroku (w tym przypadku 10).
Podstawiając wartości, możemy obliczyć ilość osób, które dowie się o plotce w 10. kroku:
\[
a_{10}=1 \cdot 3^{10-1}=1 \cdot 3^9=19683
\]
W10. kroku, aż 19683 osoby dowiedzą się o plotce, jeśli każda osoba, która słyszy, przekazuje ją trzem innym osobom, zgodnie z danymi z poprzedniego przykładu. To dosyć znaczący wzrost w porównaniu do początkowej ilości, co ilustruje, jak szybko informacje mogą się rozprzestrzeniać w procesie przekazywania plotki.

A teraz dowiedzmy się ile w sumie osób dowiedziało sie o plotce w ciągu tych dziesięciu godzin. Możemy użyć wzoru sumy ciągu geometrycznego, aby obliczyć łączną ilość osób, które dowiedziały się o plotce w dziesięciu krokach.
Wzór na sumę ciągu geometrycznego to:
\[
S_n=a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}
\]
Gdzie:
- \(S_n\) to suma \(n\) wyrazów ciągu geometrycznego,
- \(a_1\) to pierwszy wyraz ciągu (początkowa ilość osób, w tym przypadku 1),
- \(q\) to iloraz ciągu geometrycznego (w tym przypadku 3 ),
- \(n\) to liczba kroków (w tym przypadku 10).
Podstawiając wartości do wzoru, możemy obliczyć łączną ilość osób, które dowiedziały się o plotce w dziesięciu krokach:
\[
S_{10}=1 \cdot \frac{1-3^{10}}{1-3}=1 \cdot \frac{1-59049}{-2}=\frac{59048}{2}=29524
\]
W sumie, łącznie 29524 osoby dowiedziały się o plotce w dziesięciu krokach, przy założeniu, że każda osoba przekazuje informację trzem innym osobom.

 

Podsumowując, termin "plotka" w kontekście matematycznym może odnosić się do procesu rozprzestrzeniania się informacji w sposób podobny do ciągu geometrycznego. Biorąc pod uwagę media społecznościowe, plotki mogą być przekazywane jeszcze szybciej.

 

plotki2

 

 

 

Related Articles

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA