Czy istnieją wesołe liczby w matematyce? Okazuje się, że tak.
"Wesoła liczba" (w literaturze angielskojęzycznej "happy number") to liczba, dla której proces zamiany liczby na sumę kwadratów jej cyfr i powtarzania tej operacji prowadzi ostatecznie do liczby 1 . Jeśli proces nigdy nie prowadzi do liczby 1 , ale wpada w nieskończoną pętlę, wtedy liczba jest nazywana "smutną liczbą" (w literaturze angielskojęzycznej "unhappy number" lub "sad number").
Przykład:
Rozważmy liczbę 19.
1. \(1^2+9^2=82\)
2. \(8^2+2^2=68\)
3. \(6^2+8^2=100\)
4. \(1^2+0^2+0^2=1\)
Ponieważ doszliśmy do liczby 1, liczba 19 jest "wesołą liczbą".
Z kolei liczby, które nigdy nie prowadzą do wyniku 1 i wpadają w cykl, są "smutnymi liczbami". Proces dla tych liczb ostatecznie doprowadzi do cyklu 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42 i 20.
Warto zaznaczyć, że nie wszystkie liczby są wesołymi liczbami. Ciekawym pytaniem jest, ile jest wesołych liczb w danym zakresie, na przykład wśród pierwszych 100 liczb całkowitych.
Przykłady wesołych liczb:
\[
1,7,10,13,19,23,28,31,32,44,49,68,70,79,82,86,91,94,97,100, \ldots
\]
Przykład smutnej liczby:
Liczba 4 jest smutna, ponieważ:
1. \(4^2=16\)
2. \(1^2+6^2=1+36=37\)
3. \(3^2+7^2=9+49=58\)
4. \(5^2+8^2=25+64=89\)
... i tak dalej, aż do osiągnięcia wyżej wspomnianego cyklu.
Liczba 13 jest wesołą liczbą. Oto dowód:
Liczba 13:
1. \(1^2+3^2=1+9=10\)
Następnie dla liczby 10 :
2. \(1^2+0^2=1\)
Proces zakończył się po dwóch iteracjach, prowadząc do liczby 1 . Zatem, liczba 13 jest wesołą liczbą.
Ciekawostki:
1. Wszystkie wesołe liczby w zakresie 1 do 100 kończą się na 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, \(68,70,79,82,86,91,94,97\) lub 100.
2. Niezależnie od początkowej liczby, proces sumowania kwadratów cyfr prowadzi albo do 1, albo do powtarzającej się sekwencji (4, 16, 37, itd.).
3. Niektórzy entuzjaści matematyki lubią bawić się w znalezienie wesołych liczb w różnych bazach. Na przykład w systemie dwójkowym czy szesnastkowym.
