Erdös Paul
ur: 26 marca 1913 w Budapeszcie - Węgry
zm: 20 września 1996 w Warszawie - Polska
"Matematyk to przyrząd do przerabiania kawy na twierdzenia matematyczne"
Alfred Rényi
Już po tym cytacie widać, że mamy do czynienia z kimś wyjątkowym. A był nim Paul Erdös jeden z największych, najbardziej płodnych i najoryginalniejszych matematyków wszechczasów. Sypiał w nocy tylko trzy godziny, matematyką zaś zajmował się po 19 godzin dziennie, siedem dni w tygodniu, aż do dnia śmierci w wieku 83 lat. Uważał, że matematyk to przyrząd do przerabiania kawy na twierdzenia matematyczne.
Paul Erdös urodził się 26 marca 1913 roku w Budapeszcie. W kilka dni po jego urodzeniu obie jego siostry (w wieku trzech i pięciu lat) zmarły na szkarlatynę. Rodzice Paula, nauczyciele matematyki, zawsze uważali, że dziewczynki były o wiele bystrzejsze od niego. Kiedy Paul miał półtora roku, jego ojciec został schwytany przez Rosjan podczas ataku na Cesarstwo Austro-Węgierskie i na sześć lat zesłany na Sybir.
W 1917 roku, zanim skończył cztery lata, Erdös umiał już mnożyć w pamięci liczby czterocyfrowe. Musiał liczyć w pamięci, bo nie umiał jeszcze tych liczb zapisać. Jednakże jego głównym osiągnięciem w tym czasie było samodzielne odkrycie liczb ujemnych. Pewnego razu powiedział do swojej mamy: ?Jeśli odejmiesz 250 od 100, to dostaniesz 150 poniżej zera".
Do szkoły poszedł, gdy był już nastolatkiem, ponieważ wcześniej matka uczyła go sama w domu. Obawiała się, że w szkole złapie jakąś infekcję i umrze jak jego siostry.
Paul Erdös w dzieciństwie
Mając 17 lat Erdös poszedł na uniwersytet, a kiedy miał ok. 19 lat, napisał swoją pierwszą pracę i udowodnił pierwsze twierdzenie. Mówiło ono, że zawsze znajdzie się co najmniej jedna liczba pierwsza między liczbą n a 2n. Mówiąc prościej, zawsze można znaleźć chociaż jedną liczbę pierwszą pomiędzy liczbami np. 3 i 6, 400 a 800 . Pierwszy dowiódł tego twierdzenia Czebyszew, ale dowód Erdösa był ?o wiele lepszy i schludniejszy". Erdös stał się nagle sławny wśród europejskich matematyków. Dla uczczenia jego sukcesu powstał nawet mały wierszyk:
?Powiedział to Czebyszew, ja zaś powiem inaczej,
Zawsze między n a 2n liczbę pierwszą zobaczę.?
Mając lat 21, otrzymał stopień doktora i od 1934 roku kontynuował matematyczną karierę na Uniwersytecie w Manchesterze. Pod koniec lat 30. XX wieku nagonka na Żydów była tak wielka, że Erdös nie mógł wrócić na Węgry. Dlatego wyemigrował do Stanów Zjednoczonych. Podczas II wojny światowej większość jego krewnych mieszkająca na Węgrzech została zamordowana.
W czasach zimnej wojny osoba ekstrawertycznego matematyka budziła w Stanach Zjednoczonych podejrzenia. Ubierał się bowiem dziwacznie i miał silny europejski akcent. A w Stanach panicznie bano się wówczas komunizmu. Pewnego razu, kiedy Erdös próbował powrócić do kraju z jakiejś podróży, urzędnik na granicy zapytał go o Karola Marksa. Erdös nie wiedział zbyt wiele na jego temat, więc odpowiedział szczerze: ?Nie jestem kompetentny, żeby go osądzać, ale niewątpliwie był to wielki człowiek". Przez to jedno zdanie nie wpuszczono go do kraju.
Erdös miał mnóstwo najróżniejszych kłopotów z władzami. Rosjanie nie lubili go za to, że spędzał tak dużo czasu w Stanach Zjednoczonych. Brytyjczycy nie lubili go, bo korespondował z jednym z matematyków w komunistycznych Chinach i w swoich listach używał wielu matematycznych symboli. Uważano, że owe symbole to rodzaj jakiegoś sekretnego kodu.
Większość dziesięciolecia lat 50. XX wieku Erdös spędził w Izraelu, lecz w końcu na początku lat 60. pozwolono mu wrócić do Stanów. Cały czas jednak wędrował po świecie, szukając problemów do rozwiązania.
Ciekawym epizodem w jego życiu była "afera zdjęciowa". Wraz z Anglikiem Arthurem Stone'em i Japończykiem Shizuo Kakutani wdrapali się na stojącą na wzniesieniu wieżę, z której szczytu chcieli obserwować morze i rozmyślać o matematyce. W swym matematycznym zapale przeoczyli jednak tablicę ostrzegawczą z napisem ?Wstęp surowo wzbroniony?. Dodatkowo, zrobili tam kilka pamiątkowych zdjęć. Po dostrzeżeniu ich na szczycie wieży zostali aresztowani przez FBI i oskarżeni o szpiegostwo. Zarzut szpiegostwa nie został jednak ostatecznie udowodniony i Paul Erdős został oczyszczony z zarzutów.
Arthur Stone 
Shizuo Kakutani
Erdös kochał tylko matematykę
Nie troszczył się o własność osobistą, jedzenie, ubrania ani o podatki. Nigdy nie nauczył się przygotowywać posiłków, potrafił tylko dolać mleko do płatków śniadaniowych. Jego jedyną własność stanowiło kilka starych ubrań i dwie sfatygowane walizki. Erdös stosował w życiu stare greckie powiedzenie: ?Człowiek mądry nie ma nic, czego nie mógłby unieść w rękach".
Przemierzał świat jako wędrowny matematyk i nigdzie nie zatrzymywał się dłużej niż miesiąc. Był jak pszczoła przelatująca z kwiatka na kwiatek. I podobnie jak pszczoła, która przenosi pyłek i zapładnia krzyżowo rośliny, tak on zbierał od różnych matematyków nowe problemy i ich rozwiązania, stosując coś w rodzaju ?matematycznego krzyżowego zapłodnienia". Wzajemne relacje między nimi były proste. Koledzy matematycy troszczyli się o jego potrzeby fizyczne, a on obdarowywał ich w zamian owocami swojego umysłu.
Wizyty Erdösa
Ceną, jaką gospodarz musiał zapłacić za wizytę Paula Erdösa w swoim domu, było zorganizowanie ?pobytu wujka Paula". To zaś oznaczało zaspokajanie bieżących potrzeb gościa. Poza tym trzeba było dać mu trochę pieniędzy, zorganizować transport do następnego miejsca przeznaczenia czy udać się do lekarza, żeby zdobyć następną porcję tabletek amfetaminy. Substancje stymulujące, takie jak kokaina i amfetamina, zwiększają zdolność do wysiłku. Jednocześnie jednak niszczą zdolność oceny, co jest dobre, a co jest bezwartościowe, Można więc szybciej pracować, ale efekty tej pracy bywają nieudane. Erdös należał do niezwykle rzadkich wyjątków, u których środki pobudzające dawały pozytywny efekt. Ostrzegał jednak przed nimi innych matematyków, gdyż uważał siebie za przypadek szczególny. Pierwszy raz sięgnął po amfetaminę, gdy w 1971 roku umarła mu matka. Zaczął ją brać jako środek antydepresyjny, zalecony przez lekarza. Potem zażywał jej w małych dziennych dawkach przez cały czas. Jego kolega Ronald Graham martwił się, że Erdös jest uzależniony. Wiedziony troską Graham ofiarował Erdösowi 500 dolarów, jeśli ten na miesiąc odstawi ?spidy". Erdös uważał, że małe dawki amfetaminy działają dokładnie tak samo, jak wielka ilość kawy. Przyjął wyzwanie, ale ceną za to była utrata kreatywności. Jak sam mówił: ?Wcześniej, kiedy patrzyłem na kawałek pustej kartki, mój umysł był pełen pomysłów. A teraz, widzę tylko pustą kartkę papieru". Oskarżał nawet Grahama o ?powstrzymanie postępów matematyki na cały miesiąc". Erdös nie brał przez miesiąc środków pobudzających, lecz kiedy zainkasował 500 dolarów, ponownie zaczął przyjmować amfetaminę w małych, dziennych dawkach.
Erdös był człowiekiem zupełnie nieprzystosowanym społecznie, o czym świadczy choćby takie zdarzenie. Pewnego razu jeden z gospodarzy Erdösa zostawił otwarte okno, żeby ten mógł wspiąć się do pokoju, kiedy przybędzie późno w nocy. Przed świtem rozpętała się silna burza i deszcz zaczął zalewać parter budynku. Erdös nie zamknął okna, tylko obudził gospodarza i powiedział: ?Tam strasznie leje się przez okno. Może zrób coś z tym".
Paul miał zawsze niezachwianą pewność, że wszystko zostanie zrobione we właściwym czasie. Na przykład, w 1984 roku wyjechał z Ameryki do Japonii i nie wziął ze sobą żadnych czeków ani kart kredytowych, miał przy sobie tylko 50 dolarów w gotówce. Ale wcale się tym nie przejmował, gdyż wiedział, że jak zawsze, zatroszczą się o niego matematycy z 25 krajów, leżących na czterech kontynentach. ?Nie było się czym martwić. Wszędzie po drodze miałem przyjaciół". I nie mylił się. Dla matematyków był bowiem Żyjącym Skarbem Narodowym.
Pojawiał się nagle u drzwi któregoś ze swoich kolegów, w jednym z 25 krajów i ogłaszał gotowość do zajmowania się matematyką mówiąc: ?Mój mózg jest otwarty". Następnie gościł nie dłużej niż miesiąc, aż do wyczerpania sił gospodarza. Zasilał swój mózg kawą, tabletkami kofeinowymi i benzedryną. Obaj uczeni pracowali do wczesnych godzin porannych, po czym wykończony gospodarz padał na łóżko.
Kilka godzin później budziło go pytanie: ?Istniejesz"?, co w wydaniu Erdösa znaczyło, czy już nie śpi. Następnie, nie czekając na odpowiedź, Erdös przechodził do rzeczy: ?Niech n będzie liczbą całkowitą a k zbiorem takim, że..." Kiedyś na przykład wpadł na przyjęcie bożonarodzeniowe i złapawszy swojego gospodarza za guzik zaczął: ?Wesołych świąt. Niech f od n będzie funkcją taką, że...".
Mimo to matematycy uwielbiali te wizyty, gdyż oznaczały czas radosnych uniesień, kiedy to tańczyli z Erdösem po Matematycznej Krainie. Żeglarze mają ?żonę w każdym porcie", natomiast mottem Erdösa było: ?Inny dach, inny dowód".
Erdös nie zgadzał się zwolnić tempa, mawiał przy tym: ?W grobie będzie mnóstwo czasu na odpoczynek".
Paul Erdös bardzo się różnił od innych matematyków
Praktycznie, każdy matematyk spędza większość życia zajmując się jedną dziedziną, a często nawet jednym problemem. Na przykład Andrew Wiles spędził ładnych kilka lat, próbując dowieść Wielkiego Twierdzenia Fermata. Konsultował się przy tym zaledwie z kilkoma kolegami. Za to Erdös uwielbiał pracować z innymi matematykami i zajmował się jednocześnie zagadnieniami z wielu różnych dziedzin.
Był jednym z najpłodniejszych matematyków w historii. Typowy znakomity matematyk publikuje w ciągu życia do 100 artykułów. Każdy artykuł zawiera nowe i oryginalne koncepcje, które nigdy przedtem nie były publikowane. Erdös zaś ogłosił niesamowitą liczbę 1500 prac - średnio jedną na 15 dni.
Erdös zajmował się rozmaitymi dziedzinami matematyki. Dokonał np. pionierskich odkryć w teorii liczb i kombinatoryce, na której opiera się cała nasza wiedza z zakresu komputerów. Wraz z Markiem Kacem i Aurel Winter zapoczątkował dziedzinę zwaną probabilistyczną teorią liczb, a pracując z Paulem Turanem, przyczynił się bardzo do rozwoju teorii aproksymacji.
W 1949 roku Erdös zaskoczył kolegów matematyków, kiedy, pracując z Atle Selbergiem, podał elementarny dowód twierdzenia o liczbach pierwszych. Poprzedni dowód był poprawny, lecz ?raczej nieporządny", bo wykorzystywał pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych. Dowód Erdösa i Selberga był znacznie lepszy.
Obaj uczeni umówili się, że opublikują dowód w tym samym piśmie i w tym samym czasie. Jednakże Selberg złamał umowę i pierwszy ogłosił wyniki, zbierając laury. Większość ludzi była tym oburzona, ale Erdös zupełnie się nie przejął i dalej zajmował się pracą.
Jest w nauce stare powiedzenie: ?To nie odpowiedź daje Nagrodę Nobla, ale pytanie". Jedną z najwspanialszych cech Erdösa była umiejętność stawiania pytań, mogących sprowokować interesujące odpowiedzi. Wiedział też, do którego z matematyków należy kierować dane pytania.
Erdös posługiwał się własną odmianą angielskiego
Matematycy mają własny, dziwaczny język. Twierdzenie może być ?głębokie", argument przeciwko niemu ?uderzający", a dowód twierdzenia może być ?piękny", ?elegancki", ?czysty" lub ?wyjątkowo piękny".
Erdös na kobiety mówił ?boss", a na mężczyzn: ?niewolnik". Dzieci zaś były dla niego ?epsilonami", gdyż w matematyce litera epsilon oznacza coś bardzo małego. ?Sam" to były Stany Zjednoczone, a ?Joe" (od imienia Józefa Stalina) - Związek Radziecki. Tak więc w jego języku Show-Sama- i-Joego były to wiadomości międzynarodowe. Alkohol nosił miano ?trucizny", a wszystko, co nie było mową, stanowiło ?hałas". Tak więc ?trucizna, bossy i hałas" to odpowiednik frazy ?wino, kobiety i śpiew".
Jeśli matematyk przestawał zajmować się matematyką, Erdös mówił, że ?zmarł". A kiedy ktoś naprawdę umarł, używał słowa ?wyjechał".
Erdös uważał, że Bóg, ma wielką księgę zawierającą wszystkie najdoskonalsze i najelegantsze możliwe dowody i trzyma swoją księgę w ukryciu, nie udostępniając jej ludziom. Zadaniem matematyków jest wydostanie tych dowodów ?wprost z księgi".
Erdös współpracował z większą liczbą matematyków niż jakikolwiek inny matematyk w historii. Na przykład, owocem jego współpracy z Canfieldem i Pomerance"em jest aproksymacja Erdisa, Canfielda i Pomerance?a. Aproksymację tę można wykorzystać do odkodowania zaszyfrowanych liczb, takich jak ogromne transakcje międzybankowe lub po prostu numer karty kredytowej, kiedy chcemy kupić książkę przez Internet.
Liczba Erdösa
Matematycy lubią wykazywać, jak blisko byli od napisania pracy z Erdösem - i chętnie podają swoją tzw. liczbę Erdösa.
Na przykład, w internetowej gazetce ?RISKS 20-24" matematyk Martin Ward umieścił swój artykuł pt.: Regular Break-ins at the Pentagon? Pisze on: ?W każdym tygodniu notuje się setki prób włamań, z czego 99,95% to próby nie udane. Powiedzmy, że takich prób jest w tygodniu 200. To znaczy, że w ciągu roku ma miejsce pięć ?udanych" prób włamania się do systemów Pentagonu. Okazuje się, że czasem 99,95% to wielkość niewystarczająca". Podpisał swój artykuł: Martin Ward, liczba Erdösa 4.
Sam Erdös ma liczbę Erdösa równą zero. Około 500 matematyków ma liczbę Erdösa ?jeden" - to znaczy, że napisali pracę wspólnie z Erdösem. Około 5600 matematyków ma liczbę Erdösa ?dwa". Pisali oni pracę wspólnie z kimś, kto pisał pracę wspólnie z Erdösem.
Około 63 laureatów Nagrody Nobla ma liczbę Erdösa poniżej dziewięciu, a wszyscy laureaci prestiżowego medalu Fieldsa za osiągnięcia w matematyce mają liczbę Erdösa poniżej sześciu. Ronald Graham ma liczbę Erdösa ?jeden", a Albert Einstein ?dwa".
Słynny gracz w baseball, Henry L. ?Hank" Aaron, ma liczbę Erdösa ?dwa". Razem bowiem z Carlem Pomerance?m podpisywali tę samą piłkę, kiedy wspólnie zostali uhonorowani stopniem naukowym na Emory University w 1995 roku. Pomerance zaś napisał wiele prac wspólnie z Erdösem. Dzięki temu ?Hank" Aaron zyskał swoją liczbę Erdösa ?dwa".
Sam Erdös żartował na temat ułamkowych liczb Erdösa. Jeśli jakiś matematyk napisał wspólnie z nim n prac, to jego liczba Erdösa wynosi 1/n. Inaczej mówiąc, jeśli ktoś napisał 12 prac z Erdösem, to jego liczba Erdösa wyniesie 1/12.
Według stanu na dzień 28 lutego 2007 roku grono osób mających liczbę Erdösa równą 1 liczy 511 osób, a 8162 osób ma liczbę Erdösa równą 2 (oczywiście obecnie jest to najmniejsza możliwa do uzyskania wartość tej liczby). Należy mieć świadomość, że powyższe dane, zwłaszcza odnoszące się do wartości 2 lub wyższych, ciągle się zmieniają.
Interesującym jest fakt, że wielu naukowców żyjących i publikujących obecnie (ale również przed Erdösem) ma skończone (i stosunkowo niskie) liczby Erdösa. Uczeni ci reprezentują oprócz matematyki wiele innych dyscyplin, jak informatyka, astronomia, fizyka, chemia, biologia, genetyka, medycyna, ekonomia, lingwistyka, psychologia, filozofia i wiele innych:
John von Neumann - Liczba Erdösa 3 (matematyka)
Albert Einstein - Liczba Erdösa 2 (fizyka)
Enrico Fermi - Liczba Erdösa 3 (fizyka)
Richard Dedekind - Liczba Erdösa 7 (matematyka)
Wacław Sierpiński - Liczba Erdösa 2 (matematyka)
Niels Bohr - Liczba Erdösa 2 (fizyka)
Andrew Wiles - Liczba Erdösa 3 (matematyka)
George Gamow - Liczba Erdösa 5 (fizyka)
J.Robert Oppenheimer - Liczba Erdösa 4 (fizyka)
Edward Teller - Liczba Erdösa 4 (fizyka)
Stephen Hawking - Liczba Erdösa 7 (kosmologia)
Roger Penrose - Liczba Erdösa 8 (kosmologia)
Francis H. C. Crick - Liczba Erdösa 7 (biofizyka)
James Watson - Liczba Erdösa 8 (genetyka)
Karl Popper - Liczba Erdösa 5 (filozofia)
Jean Piaget - Liczba Erdösa 3 (psychologia)
Noam Chomsky - Liczba Erdösa 4 (lingwistyka)
Najwcześniejsze powiązania z Erdösem datują się na drugą połowę XIX wieku. Niemiecki algebraik Georg Frobenius (1849?1917) ma liczbę Erdösa równą 3, gdyż napisał pracę z Issai Schurem (1875?1941), który z kolei napisał pracę ze współautorem Erdösa, Gaborem Szegö.
Obecnie prowadzone są prace nad wyznaczeniem liczby Erdösa możliwie najszerszego kręgu naukowców. Projekt ten ma swoją stronę internetową: The Erdös Number Project, na której znajdują się między innymi dane o osobach, których liczba Erdösa wynosi 1 lub 2 oraz łącza do kilku artykułów poświęconych tej liczbie.
Paul Erdös - Oberwolfach 1993r.
Zawsze poszukiwał i wspomagał utalentowanych młodych ludzi zainteresowanych matematyką
Erdös był człowiekiem niezwykle hojnym. Kiedy w 1984 roku otrzymał 50 tys. dolarów nagrody Wolfa, zatrzymał dla siebie tylko 750 dolarów, a resztę rozdał, głównie młodym ludziom, by ich zachęcić do matematyki.
Erdös zapalał iskrę zainteresowania wśród swoich studentów, wypowiadając magiczne słowa: ?Chciałbym przedstawić jeden z moich ulubionych problemów". To znaczyło, że ma problem, którego sam nie rozwiązał, ale uważa, że mógłby to zrobić ktoś słuchający jego wykładu - za pieniądze. Zapoczątkował ten zwyczaj w 1954 roku. Nagroda pieniężna mogła wynosić od 10 dolarów (za łatwy, ale ciekawy i podchwytliwy problem) do 10 tys. dolarów (za problem uważany przezeń za ?beznadziejny", którego rozwiązanie mogło zająć dziesięciolecia lub nawet stulecia).
Do roku 1984 zaoferował nagrody na łączną sumę 30 tys. dolarów, z czego przyszło mu zapłacić 5 tys. dolarów. Jednakże jego hojność wyrażała się nie tylko w dzieleniu posiadanymi pieniędzmi. Równe hojnie służył swoim umysłem, z czego skorzystało kilka pokoleń młodych matematyków.
Zawsze poszukiwał i wspomagał utalentowanych młodych ludzi zainteresowanych matematyką. Dawał im do rozwiązania problemy, z którymi mogli sobie poradzić i obserwował ich postępy, traktując ich przy tym jak równych sobie.
W 1984 roku Willy Moser, profesor matematyki na Uniwersytecie McGilla w Montrealu powiedział: ?Obecnie jest pewnie ze 100 matematyków, którzy rozwinęli się dzięki problemom, jakie Erdös im zasugerował i pomógł rozwiązać".
Matka Erdösa mawiała:
?Paul, nawet człowiek tak zajęty jak ty, nie może być w dwóch miejscach naraz". Paul Erdös zmarł w Warszawie 26 września 1996 roku, po dwóch atakach serca, lub, jak mawiał w swoim specjalnym języku, ?wyjechał" w nieskończenie długą podróż, w której niepotrzebny jest paszport.
Przypuszczalnie przebywa teraz razem z wszystkimi wielkimi matematykami przeszłości i przyszłości i może być w wielu miejscach naraz w tym samym czasie, ?rozgryzając" matematyczne problemy i rozwiązując jakieś naprawdę kosmiczne równania.
Paul Erdös ze swoją matką
Grób Paula Erdösa w Budapeszcie
Epitafium na grobie Erdősa: Végre nem butulok tovább ? W końcu nie staję się już coraz głupszy.
Jeszcze za życia Erdősa powstał o nim film dokumentalny pt.
?N Is a Number: A Portrait of Paul Erdős"
Na zakończenie kilka ciekawych twierdzeń Erdösa:
Twierdzenie Erdösa-Mordella"
Dla dowolnego punktu O leżącego wewnątrz trójkąta ABC zachodzi nierówność:
x + y+ z ? 2(a + b +c)
gdzie x, y, z są odległościami punktu O od wierzchołków trójkąta, natomiast a, b, c są odległościami punktu O od prostych zawierających boki trójkąta
Twierdzenie(Erdös-Szekeres, 1935)
Każdy ciąg rzeczywisty o ab + 1 elementach zawiera (a+1) - elementowy podciąg rosnący lub (b+1) - elementowy podciąg malejący.
Twierdzenie (Erdös-Szekeres, 1935)
Dla każdej liczby naturalnej k istnieje taka liczba naturalna N że wśród dowolnych N punktów na płaszczyźnie, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej, zawsze znajdziemy k punktów, które są wierzchołkami wypukłego k-kąta.
Prosty dowód tezy Czebyszewa
Dla każdego n ? 2 między n a 2n znajduje się liczba pierwsza. Zostało to wcześniej udowodnione przez Bertrand?a, ale dowód był bardzo trudny i ?mniej elegancki? niż Erdösa.
Uogólnienie tego twierdzenia
Dla n ? 6 zawsze istnieją dwie takie liczby, co najmniej jedna postaci 4k+1, oraz co najmniej jedna postaci 4k+3.
Twierdzenie(Erdös-Gallai, 1935)
Podział liczby 2k na n części d1 ? d2 ? ... ? dn jest podziałem graficznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby całkowitej k z przedziału od 1 do n-1 jest spełniona nierówność:
Twierdzenie(Erdös-Chvátal, 1972)
G jest grafem o p wierzchołkach, p ? 3 i K(G) ? ??(G). Wówczas G jest grafem Hamiltona. (K(G) ? spójność wierzchołkowa grafu G; ??(G) - największa liczność zbioru niezależnych wierzchołków w G).
Twierdzenie (Erdös, 1959)
Dla każdej liczby całkowitej dodatniej k istnieje graf o liczbie chromatycznej co najmniej k i bez cykli krótszych niż k.
Bibliografia:
Martha Claudio, Close Callas, ?Science News" vol. 154, 1998
The Erdös Number Project Website - http://www.acs.oakland.edu
Paul Hoffman, Man of Numbers, ?Discover", 1998
Paul Hoffman, The Man Who Loyed Only Numbers: The Story of Paul Erdös and the Search for Mathematical Truth, ?Fourth Estate", 1999
John Tierney, Paul Erdös is in Town, His Brain is Open, ?Science" 84, 1984
Rodrigo De Castro i Jerrold W. Grossman Famous Trails to Paul Erdös
2014 Tomasz Grębski
