Bernoulli Johann
ur: 27 lipca 1667 Bazylea - Szwajcaria
zm: 1 stycznia 1748 Bazylea - Szwajcaria
Drugim wybitnym uczonym i aktywnym współpracownikiem Leibniza był obok Jakuba Bernoullego jego brat Johann. Żył w latach 1667-1748. Miał zostać kupcem, ale zamiłowania jego szły w innym kierunku, ku matematyce, której nauczył się od starszego o trzynaście lat brata Jakuba. W latach 1691-92 przebywał w Paryżu, gdzie w okresie tym idee Leibniza były prawie zupełnie nieznane. Poznał tu matematyka francuskiego markiza L'Hospitala, dla którego spisał wiadomości z rachunku całkowego. Stanowią one pierwszy systematyczny wykład tego rachunku (drukiem wydane zostały dopiero w roku 1742). W wykładzie tym całkę nieoznaczoną rozumiał prawie w sensie współczesnym; zawierała ona stałą dowolną, a operacja całkowania była dla niego operacją odwrotną do różniczkowania.
W roku 1692 Bernoulli wrócił do Bazylei. W dwa lata później uzyskał tu stopień doktora medycyny, w której dla objaśnienia ruchu mechanicznego mięśni zastosował rachunek różniczkowy. W roku 1693 nawiązał korespondencję z Leibnizem, która podobnie jak w przypadku jego brata przyczyniła się do rozwoju matematyki. Od roku 1695 był profesorem matematyki na uniwersytecie w Groningen w Holandii, a w roku 1705 objął katedrę matematyki na uniwersytecie w Bazylei po śmierci brata Jakuba. Był członkiem Petersburskiej Akademii Nauk.
Zasługi Jana Bernoullego dla rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego są liczne i powiązane z osiągnięciami Jakuba Bernoullego i Leibniza. Do poważniejszych należą wspomniane już prace z rachunku całkowego.
Wspólnie z Leibnizem Bernoulli wskazał metodę całkowania funkcji wymiernej (przez rozkład na ułamki proste), przy czym nie odstraszała go nawet zmienna zespolona. Do Jana Bernoullego należy zdefiniowanie w roku 1718 terminu funkcji, aczkolwiek używał go już znacznie wcześniej .
Każdemu, kto zetknął się z analizą matematyczną, znane jest tzw. twierdzenie L'Hóspitala, podające sposób wyznaczania granicy w pewnym punkcie ilorazu f(x)/g(x) funkcji różniczkowalnych, gdy granica w tym punkcie licznika i mianownika jest równa zeru albo nieskończoności. Metodę wyznaczania granic takich ilorazów podał Jan Bernoulli, co dowodzi, że twierdzenie to niesłusznie nosi imię L'Hóspitala.
W roku 1706 Jan Bernoulli postawił następujące zadanie: spośród wszystkich krzywych płaszczyzny pionowej łączących punkty A i B nie leżące na prostej pionowej znaleźć tę, dla której punkt materialny ślizgający się po niej pod wpływem siły ciężkości i mający w punkcie A prędkość początkową równą zeru dojdzie w najkrótszym czasie do punktu B.
Ta krzywa najszybszego spadku była już poszukiwana przez Galileusza z tym, że nazwę ?brachistochrona" otrzymała od Jana Bernoullego. Brachistochrona okazał się łuk cykloidy. Postawienie tego badania wtedy, gdy zbudowane były pewne elementy rachunku różniczkowego, stanowiło ważny moment w rozwoju rachunku wariacyjnego. Pierwsze rozwiązanie Jana Bernoullego oparte było na pewnej analogii wziętej z optyki. W rozwiązaniu Jakuba Bernoullego własność (dotycząca dowolnie małego łuku brachistochrony), którą Jan wziął z optyki, została udowodniona. Tę niedokładność zarzucał Jakub bratu. Od tego czasu na dobre rozgorzał spór między uczonymi braćmi, który zakończył się dopiero w chwili śmierci Jakuba (spór ten dotyczył i innych zagadnień, np. zagadnienia izoperymetrycznego ? tak nazywa się zagadnienie wyznaczania spośród wszystkich krzywych zamkniętych płaskich o danym obwodzie bez punktów wielokrotnych tej, która ogranicza największe pole; krzywą tą jest okrąg; obecnie zagadnienie to rozumie się w szerszym sensie). Badaniom ich towarzyszyła ciągła rywalizacja, która z kolei zwiększyła intensywność tych badań. To stanowiło korzystną stronę sporu. Obydwaj stawiali i rozwiązywali zagadnienia.
Do ważnych, z punktu widzenia rozwoju analizy matematycznej, należy rozwiązanie przez Jana Bernoullego zadania brata o linii łańcuchowej (taki kształt przyjmuje pod wpływem siły ciężkości jednorodny łańcuch, zawieszony w dwóch końcach). Rozwiązanie to podali także Leibniz i Huygens. Jan Bernoulli i Leibniz rozwiązali je przy użyciu rachunku różniczkowego, natomiast nie umiejący się posługiwać tym rachunkiem Huygens rozwiązał je przy użyciu starych metod. Wynik otrzymali jednak taki sam. Stanowiło to wspaniały sprawdzian poprawności i użyteczności nowych metod.
Pionierskie są zasługi Jana Bernoullego w dziedzinie równań różniczkowych. Jedno z ważnych typów takich równań znane jest jako równanie Bernoullego (podane przez brata Jakuba, a rozwiązane przez Jana). Przy całkowaniu równań różniczkowych Bernoulli stosował także metodę czynnika całkującego oraz rozwijanie na szeregi potęgowe. Do jego uczniów, poza L'Hóspitalem, należy syn Daniel i genialny Euler. Godne podkreślenia jest to, że osiągnięcia i badania Jana Bernoullego łączyły się ściśle z zastosowaniami, zgodnie zresztą z postulowaną przez niego tezą, iż uczony zawsze powinien znajdować się w ?granicach przyrody".
