WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY
Definicja
\[
|x|=\left\{\begin{array}{ccc}
x, & \mathrm{gdy} & x \geq 0 \\
-x, & \mathrm{gdy} & x<0
\end{array}\right.
\]
ogólnie:
\[
|f(x)|=\left\{\begin{array}{rlr}
f(x), & \text { gdy } & f(x) \geq 0 \\
-f(x), & \text { gdy } & f(x)<0
\end{array}\right.
\]
w szczególności:
\[
|x-a|=\left\{\begin{array}{rll}
x-a, & \text { gdy } & x \geq a \\
-x+a, & \text { gdy } & x<a
\end{array} .\right.
\]
PODSTAWOWE WŁASNOŚCI WARTOŚCI BEZWZGLĘDNEJ
Jeżeli \(a \geq 0\), to:
\[
\begin{aligned}
&|f(x)|=a \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=a \text { lub } f(x)=-a \\
&|f(x)|<a \quad \Leftrightarrow \quad-a<f(x)<a \\
&|f(x)|>a \quad \Leftrightarrow \quad f(x)>a \text { lub } f(x)<-a
\end{aligned}
\]
w szczególności:
jeżeli \(a>0\), to:
\[
\begin{aligned}
&|x|=a \quad \Leftrightarrow \quad x=a \text { lub } x=-a, \\
&|x|<a \quad \Leftrightarrow \quad-a<x<a \\
&|x|>a \quad \Leftrightarrow \quad x>a \text { lub } x<-a .
\end{aligned}
\]
Dla każdej liczby \(x \in R\) :
\[
\begin{aligned}
&\sqrt{x^{2}}=|x|, \\
&\left|x^{2}\right|=|x|^{2}=x^{2}, \\
&|x|=|-x|, \\
&-|x| \leq x \leq|x|, \\
&|x| \geq 0 .
\end{aligned}
\]
UŻYTECZNE WŁASNOŚCI WARTOŚCI BEZWZGLĘDNEJ
\(|f(x)|>0 \Leftrightarrow f(x) \neq 0,\)
\(\sqrt{[f(x)]^{2}}=|f(x)|\),
\(|f(x)+g(x)| \leq|f(x)|+|g(x)|\)
||\(f(x)|-| g(x)|| \leq|f(x)-g(x)| \leq|f(x)|+|g(x)|\)
\(|f(x) \cdot g(x)|=|f(x)| \cdot|g(x)|\),
\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=\frac{|f(x)|}{|g(x)|}\) dla \(g(x) \neq 0\),
\(|f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow f(x)=g(x)\) lub \(f(x)=-g(x) .\)
\([f(x)]^{2}=[g(x)]^{2} \Leftrightarrow|f(x)|=|g(x)|\),
\([f(x)]^{2}<[g(x)]^{2} \Leftrightarrow|f(x)|<|g(x)|\),
\([f(x)]^{2}>[g(x)]^{2} \Leftrightarrow|f(x)|>|g(x)| .\)
\(|f(x)|<g(x) \Leftrightarrow-g(x)<f(x)<g(x)\)
\(|f(x)|>g(x) \Leftrightarrow f(x)>g(x)\) lub \(f(x)<-g(x) .\)
\(|f(x)|=g(x) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x) \geq 0 \\ f(x)=g(x)\end{array}\right.\) lub \(\left\{\begin{array}{l}g(x) \geq 0 \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right.\)
