M-Blog

Niezbadane Ścieżki Liczb Pierwszych
Matematyczne rozmaitości Odsłon: 23

Dlaczego liczby pierwsze są ważne?

Liczby pierwsze odgrywają fundamentalną rolę w matematyce i jej zastosowaniach, zarówno teoretycznych, jak i praktycznych. Ich unikalne właściwości czynią je kluczowym elementem w wielu dziedzinach nauki i technologii. Oto kilka głównych powodów, dlaczego liczby pierwsze są tak istotne:

1. Podstawa arytmetyki

Liczby pierwsze są budulcem wszystkich liczb całkowitych. Każdą liczbę naturalną większą od 1 można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych w sposób unikalny (pomijając kolejność), co wynika z Podstawowego Twierdzenia Arytmetyki. Ta właściwość sprawia, że liczby pierwsze są fundamentem wszystkich operacji arytmetycznych i teorii liczb.

2. Klucz do teorii liczb

Wiele fundamentalnych twierdzeń i hipotez matematycznych dotyczy liczb pierwszych. Przykładem jest Hipoteza Riemanna, która nie tylko opisuje rozkład liczb pierwszych, ale także ma głębokie implikacje dla innych obszarów matematyki. Liczby pierwsze są także kluczowym elementem badań nad funkcjami zeta i dzeta Riemanna, które łączą analizę matematyczną z teorią liczb.

3. Kryptografia i bezpieczeństwo danych

W dzisiejszym cyfrowym świecie liczby pierwsze są filarem bezpieczeństwa informacji. Systemy kryptograficzne, takie jak RSA, opierają się na trudności rozkładu dużych liczb na czynniki pierwsze. To właśnie liczby pierwsze chronią dane w bankowości elektronicznej, e-commerce i komunikacji internetowej. Im większe liczby pierwsze, tym bardziej bezpieczny jest system.

4. Modelowanie w przyrodzie i naukach ścisłych

Liczby pierwsze pojawiają się w modelach biologicznych, fizycznych i chemicznych. Na przykład, pewne cykle życiowe organizmów (jak cykady) są związane z liczbami pierwszymi, co pomaga uniknąć nakładania się cykli z drapieżnikami. W fizyce liczby pierwsze są używane w badaniach nad strukturą atomową i w modelach falowych.

5. Rozwój algorytmów i obliczeń komputerowych

Badanie liczb pierwszych prowadzi do rozwoju nowych algorytmów i technik obliczeniowych. Metody znajdowania liczb pierwszych, takie jak sito Eratostenesa czy algorytmy współczesne, mają zastosowanie w informatyce, analizie danych i sztucznej inteligencji.

6. Inspirowanie dalszych odkryć

Liczby pierwsze są źródłem niezliczonych nierozwiązanych problemów matematycznych, które inspirują kolejne pokolenia matematyków. Ich badanie prowadzi do tworzenia nowych teorii i narzędzi, które znajdują zastosowanie w matematyce i poza nią.

7. Symbol uniwersalnego porządku

Wielu matematyków uważa liczby pierwsze za jeden z najczystszych przykładów uniwersalnego porządku w chaosie. Choć na pierwszy rzut oka ich rozkład wydaje się przypadkowy, kryje w sobie zaskakującą regularność, którą od wieków próbują zgłębić matematycy.

Podsumowanie

Liczby pierwsze to coś więcej niż tylko ciekawostka matematyczna. To filar, na którym opiera się wiele teorii matematycznych i technologii współczesnego świata. Badania nad nimi nie tylko rozwijają naukę, ale także wpływają na naszą codzienność, od zapewnienia bezpieczeństwa cyfrowego po lepsze zrozumienie wszechświata. Są one zarówno narzędziem, jak i zagadką, która wciąż czeka na pełne odkrycie.

 

 

liczby-pierwsze-9d6eb080-d1ba-46a0-8122-04100a4819b4

Liczby pierwsze
Liczby pierwsze i ich właściwości były intensywnie badane przez starożytnych greckich matematyków.
Matematycy szkoły pitagorejskiej (500 p.n.e. – 300 p.n.e.) interesowali się liczbami ze względu na ich mistyczne i numerologiczne właściwości. Rozumieli ideę pierwszości liczb i interesowali się liczbami doskonałymi oraz liczbami zaprzyjaźnionymi.
Liczba doskonała to taka, której właściwe dzielniki sumują się do niej samej. Na przykład liczba 6 ma właściwe dzielniki: 1, 2 i 3, a 1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 = 6 1+2+3=61 + 2 + 3 = 61+2+3=6. Liczba 28 ma dzielniki: 1, 2, 4, 7 i 14, a 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 1+2+4+7+14=281 + 2 + 4 + 7 + 14 = 281+2+4+7+14=28.
Para liczb zaprzyjaźnionych to para taka jak 220 i 284, w której właściwe dzielniki jednej liczby sumują się do drugiej i odwrotnie.
Około 300 roku p.n.e., kiedy ukazały się Elementy Euklidesa, udowodniono już kilka ważnych twierdzeń dotyczących liczb pierwszych. W Księdze IX Elementów Euklides dowodzi, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Jest to jeden z pierwszych znanych dowodów wykorzystujących metodę sprowadzenia do sprzeczności. Euklides przedstawia także dowód Podstawowego Twierdzenia Arytmetyki: każda liczba całkowita może być przedstawiona jako iloczyn liczb pierwszych w sposób zasadniczo jednoznaczny.
Euklides wykazał również, że jeśli liczba 2 n − 1 2 n − 1 2^(n)-12^n - 12n−1 jest liczbą pierwszą, to liczba 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) 2^(n-1)(2^(n)-1)2^{n-1}(2^n - 1)2n−1(2n−1) jest liczbą doskonałą. Matematyka Euler (znacznie później, w 1747 roku) udowodnił, że wszystkie parzyste liczby doskonałe mają właśnie tę postać. Do dziś nie wiadomo, czy istnieją jakiekolwiek nieparzyste liczby doskonałe.
Około 200 roku p.n.e. Grek Eratostenes opracował algorytm do obliczania liczb pierwszych, zwany Sitem Eratostenesa.
Następnie w historii liczb pierwszych nastąpiła długa przerwa w okresie, który zwykle nazywany jest Ciemnymi Wiekami.
Kolejne istotne odkrycia zostały dokonane przez Fermata na początku XVII wieku. Udowodnił on spekulację Alberta Girarda, że każda liczba pierwsza postaci 4 n + 1 4 n + 1 4n+14n + 14n+1 może być zapisana w unikalny sposób jako suma dwóch kwadratów, oraz wykazał, jak każdą liczbę można zapisać jako sumę czterech kwadratów.
Opracował nową metodę rozkładu dużych liczb na czynniki, co zademonstrował, rozkładając liczbę 2027651281 = 44021 × 46061 2027651281 = 44021 × 46061 2027651281=44021 xx460612027651281 = 44021 \times 460612027651281=44021×46061.
Udowodnił również twierdzenie, które dziś jest znane jako Małe Twierdzenie Fermata (dla odróżnienia od tzw. Wielkiego Twierdzenia Fermata). Twierdzenie to stwierdza, że jeśli p p ppp jest liczbą pierwszą, to dla dowolnej liczby całkowitej a a aaa zachodzi
a p ≡ a ( mod p ) . a p ≡ a ( mod p ) . a^(p)-=aquad(modp).a^p \equiv a \pmod{p}.ap≡a(modp).
Twierdzenie to dowodzi jednej części tzw. chińskiej hipotezy, która pochodzi sprzed około 2000 lat i głosi, że liczba całkowita n n nnn jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy liczba 2 n − 2 2 n − 2 2^(n)-22^n - 22n−2 jest podzielna przez n n nnn. Druga część tej hipotezy jest fałszywa, ponieważ na przykład 2 341 − 2 2 341 − 2 2^(341)-22^{341} - 22341−2 jest podzielne przez 341 341 341341341, mimo że 341 = 31 × 11 341 = 31 × 11 341=31 xx11341 = 31 \times 11341=31×11 jest liczbą złożoną. Małe Twierdzenie Fermata stanowi podstawę wielu innych wyników w teorii liczb i jest podstawą metod sprawdzania, czy liczby są pierwsze, które nadal są używane w dzisiejszych komputerach elektronicznych.
Fermat korespondował z innymi matematykami swoich czasów, w szczególności z mnichem Marinem Mersenne. W jednym z listów do Mersenne’a wysunął hipotezę, że liczby postaci 2 2 n + 1 2 2 n + 1 2^(2^(n))+12^{2^n} + 122n+1 są zawsze liczbami pierwszymi, jeśli n n nnn jest potęgą liczby 2. Zweryfikował to dla n = 1 , 2 , 4 , 8 n = 1 , 2 , 4 , 8 n=1,2,4,8n = 1, 2, 4, 8n=1,2,4,8 i 16 16 161616, wiedząc, że jeśli n n nnn nie jest potęgą 2, wynik nie zachodzi. Liczby tego typu nazywane są liczbami Fermata, a dopiero ponad 100 lat później Euler wykazał, że następny przypadek 2 32 + 1 = 4294967297 2 32 + 1 = 4294967297 2^(32)+1=42949672972^{32} + 1 = 4294967297232+1=4294967297 jest podzielny przez 641 i nie jest liczbą pierwszą.
Liczby postaci 2 n − 1 2 n − 1 2^(n)-12^n - 12n−1 również przyciągnęły uwagę, ponieważ łatwo można pokazać, że jeśli n n nnn nie jest liczbą pierwszą, to liczba ta musi być złożona. Liczby te nazywane są często liczbami Mersenne’a ( M n M n M_(n)M_nMn), ponieważ badał je Mersenne.
Nie wszystkie liczby postaci 2 n − 1 2 n − 1 2^(n)-12^n - 12n−1, gdzie n n nnn jest liczbą pierwszą, są liczbami pierwszymi. Na przykład 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 2^(11)-1=2047=23 xx892^{11} - 1 = 2047 = 23 \times 89211−1=2047=23×89 jest liczbą złożoną, choć zostało to zauważone dopiero w 1536 roku. Przez wiele lat liczby tego typu były największymi znanymi liczbami pierwszymi. Liczba M 19 M 19 M_(19)M_{19}M19 została uznana za pierwszą przez Cataldiego w 1588 roku i była największą znaną liczbą pierwszą przez około 200 lat, aż Euler udowodnił, że M 31 M 31 M_(31)M_{31}M31 jest liczbą pierwszą. To osiągnięcie ustanowiło rekord na kolejne stulecie, aż Lucas udowodnił, że M 127 M 127 M_(127)M_{127}M127 (liczba 39-cyfrowa) jest liczbą pierwszą, co pozostało rekordem aż do epoki komputerów elektronicznych.
W 1952 roku liczby Mersenne’a M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 M_(521),M_(607),M_(1279),M_(2203)M_{521}, M_{607}, M_{1279}, M_{2203}M521,M607,M1279,M2203 i M 2281 M 2281 M_(2281)M_{2281}M2281 zostały uznane za liczby pierwsze przez Robinsona przy użyciu wczesnego komputera, co zapoczątkowało erę elektroniczną.
Do 2018 roku odkryto łącznie 50 liczb pierwszych Mersenne’a. Największa z nich to M 77 232 917 M 77 232 917 M_(77232917)M_{77 232 917}M77232917, która ma 23 249 425 cyfr dziesiętnych.
Praca Eulera miała ogromny wpływ na teorię liczb w ogóle, a w szczególności na badanie liczb pierwszych. Rozszerzył Małe Twierdzenie Fermata i wprowadził funkcję Eulera ϕ ϕ phi\phiϕ. Jak wspomniano wcześniej, rozłożył on na czynniki piątą liczbę Fermata 2 32 + 1 2 32 + 1 2^(32)+12^{32} + 1232+1, znalazł 60 par liczb zaprzyjaźnionych i sformułował (choć nie udowodnił) prawo wzajemności kwadratów.
Był pierwszym, który zdał sobie sprawę, że teoria liczb może być badana za pomocą narzędzi analizy matematycznej, co dało początek dziedzinie analitycznej teorii liczb. Wykazał nie tylko, że tzw. szereg harmoniczny ∑ 1 n ∑ 1 n sum(1)/(n)\sum \frac{1}{n}∑1n jest rozbieżny, ale również, że szereg:
1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + … 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + … (1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(5)+(1)/(7)+(1)/(11)+dots\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \dots12+13+15+17+111+…
tworzony przez sumowanie odwrotności liczb pierwszych szereg również jest rozbieżny. Suma n n nnn pierwszych wyrazów szeregu harmonicznego rośnie w przybliżeniu jak log ⁡ ( n ) log ⁡ ( n ) log(n)\log(n)log⁡(n), podczas gdy wspomniany szereg (odwrotności liczb pierwszych) rośnie jeszcze wolniej, w tempie log ⁡ [ log ⁡ ( n ) ] log ⁡ [ log ⁡ ( n ) ] log[log(n)]\log[\log(n)]log⁡[log⁡(n)]. Oznacza to, że na przykład suma odwrotności wszystkich liczb pierwszych wyznaczonych nawet przez najpotężniejsze komputery wynosi około 4, ale mimo to szereg ten rozbiega się do ∞ ∞ oo\infty∞.
Na pierwszy rzut oka liczby pierwsze wydają się być rozłożone wśród liczb całkowitych w dość przypadkowy sposób. Na przykład w 100 liczbach bezpośrednio poprzedzających 10 000 000 znajduje się 9 liczb pierwszych, podczas gdy w kolejnych 100 liczbach po tej wartości są tylko 2 liczby pierwsze. Jednak w dużej skali rozkład liczb pierwszych okazuje się być bardzo regularny. Legendre i Gauss przeprowadzili obszerne obliczenia dotyczące gęstości liczb pierwszych. Gauss (który był niezwykle biegły w obliczeniach) powiedział swojemu przyjacielowi, że zawsze, gdy miał wolne 15 minut, poświęcał je na liczenie liczb pierwszych w "tysiącznikach" (zakresach obejmujących 1000 liczb). Szacuje się, że pod koniec życia zliczył wszystkie liczby pierwsze aż do około 3 milionów.
Zarówno Legendre, jak i Gauss doszli do wniosku, że dla dużych n n nnn gęstość liczb pierwszych w pobliżu n n nnn wynosi w przybliżeniu 1 log ⁡ ( n ) 1 log ⁡ ( n ) (1)/(log(n))\frac{1}{\log(n)}1log⁡(n). Legendre podał oszacowanie dla funkcji π ( n ) π ( n ) pi(n)\pi(n)π(n), która oznacza liczbę liczb pierwszych ≤ n ≤ n <= n\leq n≤n:
π ( n ) = n log ⁡ ( n ) − 1.08366 . π ( n ) = n log ⁡ ( n ) − 1.08366 . pi(n)=(n)/(log(n))-1.08366.\pi(n) = \frac{n}{\log(n)} - 1.08366.π(n)=nlog⁡(n)−1.08366.
Natomiast Gauss przedstawił swoje oszacowanie w formie całki logarytmicznej:
π ( n ) = ∫ 2 n 1 log ⁡ ( t ) d t . π ( n ) = ∫ 2 n   1 log ⁡ ( t ) d t . pi(n)=int_(2)^(n)(1)/(log(t))dt.\pi(n) = \int_{2}^{n} \frac{1}{\log(t)} \, dt.π(n)=∫2n1log⁡(t)dt.
Twierdzenie, że gęstość liczb pierwszych wynosi 1 log ⁡ ( n ) 1 log ⁡ ( n ) (1)/(log(n))\frac{1}{\log(n)}1log⁡(n), jest znane jako Twierdzenie o Liczbach Pierwszych. Próby udowodnienia tego twierdzenia trwały przez cały XIX wiek, a istotne postępy w tej dziedzinie osiągnęli Czebyszw i Riemann, który powiązał problem z czymś, co jest znane jako Hipoteza Riemanna – nadal nieudowodnionym twierdzeniem dotyczącym zer w płaszczyźnie zespolonej funkcji zwanej funkcją dzeta Riemanna. Twierdzenie zostało ostatecznie udowodnione (z wykorzystaniem zaawansowanych metod analizy zespolonej) przez Hadamarda i de la Vallée Poussina w 1896 roku.
Wciąż istnieje wiele otwartych pytań (niektóre z nich pochodzą sprzed setek lat) związanych z liczbami pierwszymi.

Niektóre nierozwiązane problemy

  • Hipoteza o bliźniaczych liczbach pierwszych: Czy istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych różniących się o 2?
  • Hipoteza Goldbacha: Wysłana w liście C. Goldbacha do Eulera w 1742 roku, stwierdza, że każda liczba parzysta większa od 2 może być zapisana jako suma dwóch liczb pierwszych.
  • Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci n 2 + 1 n 2 + 1 n^(2)+1n^2 + 1n2+1?
    (Dirichlet udowodnił, że każda progresja arytmetyczna postaci { a + b n ∣ n ∈ N } { a + b n ∣ n ∈ N } {a+bn∣n inN}\{a + bn \mid n \in \mathbb{N}\}{a+bn∣n∈N}, gdzie a a aaa i b b bbb są względnie pierwsze, zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych).
  • Czy zawsze istnieje liczba pierwsza pomiędzy n 2 n 2 n^(2)n^2n2 a ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) 2 (n+1)^(2)(n+1)^2(n+1)2?
    (Fakt, że zawsze istnieje liczba pierwsza pomiędzy n n nnn a 2 n 2 n 2n2n2n, był znany jako hipoteza Bertranda i został udowodniony przez Czebyszewa).
  • Czy istnieje nieskończenie wiele pierwszych liczb Fermata? A może nie istnieje żadna liczba pierwsza Fermata po czwartej z kolei?
  • Czy istnieje progresja arytmetyczna złożona z dowolnie długiej (skończonej) liczby kolejnych liczb pierwszych? Na przykład 251, 257, 263, 269 to progresja o długości 4. Najdłuższa znana progresja ma długość 10.
  • Czy istnieje nieskończenie wiele zestawów 3 kolejnych liczb pierwszych tworzących progresję arytmetyczną? (Twierdzenie jest prawdziwe, jeśli pominiemy słowo "kolejnych").
  • Wyrażenie n 2 − n + 41 n 2 − n + 41 n^(2)-n+41n^2 - n + 41n2−n+41 jest liczbą pierwszą dla 0 ≤ n ≤ 40 0 ≤ n ≤ 40 0 <= n <= 400 \leq n \leq 400≤n≤40. Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych tego typu? To samo pytanie dotyczy n 2 − 79 n + 1601 n 2 − 79 n + 1601 n^(2)-79 n+1601n^2 - 79n + 1601n2−79n+1601, które jest liczbą pierwszą dla 0 ≤ n ≤ 79 0 ≤ n ≤ 79 0 <= n <= 790 \leq n \leq 790≤n≤79.
  • Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci n # + 1 n # + 1 n#+1n\# + 1n#+1, gdzie n # n # n#n\#n# to iloczyn wszystkich liczb pierwszych ≤ n ≤ n <= n\leq n≤n?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci n # − 1 n # − 1 n#-1n\# - 1n#−1?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci n ! + 1 n ! + 1 n!+1n! + 1n!+1?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci n ! − 1 n ! − 1 n!-1n! - 1n!−1?
  • Jeśli p p ppp jest liczbą pierwszą, czy 2 p − 1 2 p − 1 2^(p)-12^p - 12p−1 zawsze jest liczbą bezkwadratową? (tzn. niepodzielną przez kwadrat liczby pierwszej).
  • Czy ciąg Fibonacciego zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych?

Najnowsze rekordy liczb pierwszych, które znamy

  • Największa znana liczba pierwsza (znaleziona przez projekt GIMPS [Great Internet Mersenne Prime Search] w październiku 2024 roku) to M 136 279 841 M 136 279 841 M_(136279841)M_{136 279 841}M136279841, która ma 41 024 841 cyfr dziesiętnych. Jest to 52. znana liczba pierwsza Mersenne’a, chociaż mogą istnieć mniejsze, jeszcze nieodkryte.
  • Największa znana para liczb bliźniaczych to 2 996 863 034 895 × 2 1 290 000 ± 1 2 996 863 034 895 × 2 1 290 000 ± 1 2^(996863034895)xx2^(1290000)+-12^{996 863 034 895} \times 2^{1 290 000} \pm 12996863034895×21290000±1, która ma 388 342 cyfry dziesiętne. Odkryta została we wrześniu 2016 roku.
  • Największa znana liczba pierwsza silni (postaci n ! + 1 n ! + 1 n!+1n! + 1n!+1) to 422429 ! + 1 422429 ! + 1 422429!+1422429! + 1422429!+1, mająca 2 193 027 cyfr. Odkryto ją w 2022 roku.
  • Największa znana liczba pierwsza postaci iloczynu liczb pierwszych ( n # ± 1 n # ± 1 n#+-1n\# \pm 1n#±1) to 3 267 113 # − 1 3 267 113 # − 1 3267113#-13 267 113\# - 13267113#−1. Jest to liczba o 1 418 398 cyfrach i została ogłoszona w 2021 roku.
Bibliografia
  1. Tłumaczenie: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Prime_numbers/
  2. B C Berndt, Ramanujan and the theory of prime numbers, Number theory Madras 1987 (Berlin, 1989), 122-139.
  3. V N Chubarikov, Problems in prime number theory that are related to classical theorems of P L Chebyshev, Moscow Univ. Math. Bull. 46 (5) (1991), 15-19.
  4. H Cohen, Les nombres premiers, La recherche 26 (278) (1995.), 760-765.
  5. L E Dickson, History of the Theory of Numbers (3 volumes) (New York, 1919-23, reprinted 1966).
  6. U Dudley, Formulas for primes, Math. Mag. 56 (1) (1983), 17-22.
  7. U Dudley, History of a formula for primes, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 23-28.
  8. J Echeverria, Observations, problems and conjectures in number theory-the history of the prime number theorem, in The space of mathematics (Berlin, 1992), 230-252.
  9. L J Goldstein, A history of the prime number theorem, Amer. Math. Monthly 80 (1973), 599-615.
  10. A Granville, Harald Cramér and the distribution of prime numbers, Harald Cramér Symposium, Scand. Actuar. J. (1) (1995), 12-28.
  11. S Das Gupta, The story of prime number, Ganita Bharati 16 (1-4) (1994), 37-52.
  12. F Ischebeck, Primzahlfragen und ihre Geschichte, Math. Semesterber. 40 (2) (1993), 121-132.
  13. F Manna, The Pentathlos of ancient science, Eratosthenes, first and only one of the 'primes' (Italian), Atti Accad. Pontaniana (N.S.) 35 (1986), 37-44.
  14. L E Mauistrov, Prime values of the polynomial x2+x+41 (Russian), Istor.-Mat. Issled. 27 (1983), 63-67.
  15. O Ore, Number Theory and Its History (1948, reprinted 1988).
  16. J Pintz, On Legendre's prime number formula, Amer. Math. Monthly 87 (9) (1980), 733-735.
  17. P Ribenboim, The little book of big primes (New York, 1991).
  18. P Ribenboim, The book of prime number records (New York-Berlin, 1989).
  19. W Schwarz, Some remarks on the history of the prime number theorem from 1896 to 1960, in Development of mathematics 1900-1950 (Basel, 1994), 565-616.
  20. R de La Taille, Nombres premiers : 2000 ans de recherche, Science et vie 838 (1987), 16-20, 146.
  21. H S Uhler, A brief history of the investigations on Mersenne numbers and the latest immense primes, Scripta Math. 18 (1952), 122-131.
  22. A Weil, Number Theory: An Approach Through History from Hammurapi to Legendre (1984).

Related Articles

Matematyczne portrety

Matematyczne książki

Matematyczne pieniądze

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA