PITAGORAS z SAMOS( 580 pne – 500 pne)

Kiedy Prawie każdy zna twierdzenie Pitagorasa, ale tak naprawdę niewiele wiadomo o osobie, której imię nosi to słynne twierdzenie. Nie zachowały się żadne pisma napisane przez niego, a inne źródła z tego okresu również brakują. Relacje o jego życiu zostały napisane dopiero dziesięciolecia po jego śmierci - przez Herodota (484-424 p.n.e.) i Arystotelesa (384-322 p.n.e.), między innymi - a większość legend pojawiła się wieki później. W wielu relacjach Pitagoras był opisywany przede wszystkim jako filozof i prorok religijny, a nie matematyk.

Często tradycje mówią tylko o pitagorejczykach, czyli "szkole" Pitagorasa, tak że nie wiadomo dokładnie, co pochodzi od samego Pitagorasa, a co od jego uczniów. Nie jest też jasne, czy Pitagoras był synem grawera kamieni czy handlarza, tak samo jak czas i trwanie jego podróży do Fenicji, Egiptu i Mezopotamii. Prawdopodobnie osobiście poznał Talesa z Miletu (624-547 p.n.e.), ponieważ wyspa Samos leży bezpośrednio u wybrzeży Azji Mniejszej, a uczeń Talesa, Anaksymander (611-546 p.n.e.), mógł być jego nauczycielem.

Nie wiadomo, czy tak zwani Harpedonaptai (geodeci używający naciągniętych lin) w Egipcie i Mezopotamii już używali twierdzenia nazwanego jego imieniem ponad 1000 lat przed Pitagorasem.

Jednak można przypuszczać, że Pitagoras przyniósł wiedzę o tej regule, która powstała w praktyce, stamtąd do Grecji. Jego zasługą jest uwolnienie matematyki od tych praktycznych zastosowań, a następnie matematyka była uprawiana w celu zbliżenia się do boskości (B.L. van der Waerden).

Prawdopodobnie około 530 (520?) p.n.e. Pitagoras osiedlił się w greckiej kolonii Kroton w południowych Włoszech i założył tam tajne stowarzyszenie. Członkowie sekty wierzyli w nieśmiertelność duszy. Można było uniknąć losu wędrówki dusz i wiecznego cyklu odrodzenia tylko zajmując się tajemnicami liczb i harmonii. Ich kosmos był uporządkowany według liczb, a w tym sensie matematyka była częścią ich religii.

Wśród jego uczniów, pitagorejczyków, Pitagoras był uważany za doskonałego mędrca; termin filozof wywodzi się od Pitagorasa jako osoby kochającej mądrość. Uczniowie żyli według ścisłych zasad religijnych. Ich ascetyczny, wegetariański styl życia był przedmiotem drwin niektórych współczesnych.

Pitagorejczycy zajmowali się astronomią i astrologią, arytmetyką i teorią muzyczną. Według nauk ich przywódcy, droga do transcendencji była możliwa tylko poprzez zajmowanie się właściwościami (naturalnych) liczb, ponieważ: Wszystko jest liczbą.

Jedynka nie była właściwą liczbą, ale punktem wyjścia wszystkich liczb.

Liczba 10 była uważana za świętą liczbę, ponieważ jest sumą pierwszych czterech liczb i podstawą naszego systemu liczbowego, a co więcej, może być przedstawiona w formie równobocznego trójkąta (tetraktys = czwórność).

Liczby 1, 2, 3 i 4 odgrywały również decydującą rolę w harmonii muzycznej: jeśli

długość struny zostanie skrócona z jej pierwotnej długości do połowy, czyli zmieniona w stosunku 2:1, nowy dźwięk jest o oktawę wyższy, jeśli skrócona w stosunku 3:2 lub 4:3, jest o kwintę lub kwartę wyższa.

Do arytmetyki pitagorejczycy używali ciemnych i jasnych kamieni ułożonych w geometryczne figury. W ten sposób można było odczytywać wzory sum, np. dla sumy kolejnych liczb naturalnych lub kolejnych liczb parzystych lub nieparzystych - w dwóch ostatnich wzorach kamienie były ułożone w formie tzw. gnomonów (kształt L):

$1+2+\cdots +n=\frac{1}{2}\cdot n\cdot (n+1)$$1+2+\cdots +n=\frac{1}{2}\cdot n\cdot (n+1)$1+2+cdots+n=(1)/(2)*n*(n+1)1+2+\cdots+n=\frac{1}{2} \cdot n \cdot(n+1)$1+2+\cdots +n=\frac{1}{2}\cdot n\cdot (n+1)$ $1+3+\cdots +(2n-1)=n^2$$1+3+\cdots +(2n-1)=n^2$1+3+cdots+(2n-1)=n^(2)1+3+\cdots+(2n-1)=n^{2}$1+3+\cdots +(2n-1)=n^2$

Dla pitagorejczyków każda liczba miała swoją własną mistyczną osobowość. Liczby parzyste były kobiece, liczby nieparzyste były męskie. Liczba 5, jako suma najmniejszej liczby parzystej i nieparzystej, była symbolem małżeństwa.

Liczba 6 jest równa sumie swoich dzielników - doskonała liczba. Pitagorejczycy znali ogólną zasadę: Jeśli suma $1+2+2^2+\cdots +2^n$$1+2+2^2+\cdots +2^n$1+2+2^(2)+cdots+2^(n)1+2+2^{2}+\cdots+2^{n}$1+2+2^2+\cdots +2^n$ jest liczbą pierwszą $p$$p$pp$p$, to $2^n\cdot p$$2^n\cdot p$2^(n)*p2^{n} \cdot p$2^n\cdot p$ jest doskonałą liczbą. Do dowodu potrzebna jest suma szeregu geometrycznego, która była już znana Babilończykom.

Liczba 16 nie tylko jest kwadratem liczby, ale także reprezentuje kwadrat o boku 4 z obwodem 16 (jednostki długości) i powierzchnią 16 (jednostki powierzchni). Pod

obnie liczba 18 reprezentuje specjalny prostokąt o bokach 3 i 6 (obwód = 18, powierzchnia = 18).

Dla pitagorejczyków fakt, że trójkąt prostokątny mógł być wyrażony przez liczbowe stosunki 3, 4 i 5, wskazywał na opatrzność boską. Nie wiemy, czy Pitagoras był w stanie „udowodnić” twierdzenie nazwane jego imieniem.

Jednak znana była mu następująca reguła dla specjalnych potrójnych liczb Pitagorejskich:

Potrójna liczba $(x,y,z)$$(x,y,z)$(x,y,z)(x, y, z)$(x,y,z)$, gdzie $x=m,y=\frac{1}{2}\cdot (m^2-1),z=\frac{1}{2}\cdot (m^2+1)$$x=m,y=\frac{1}{2}\cdot \left(m^2-1\right),z=\frac{1}{2}\cdot \left(m^2+1\right)$x=m,y=(1)/(2)*(m^(2)-1),z=(1)/(2)*(m^(2)+1)x=m, y=\frac{1}{2} \cdot\left(m^{2}-1\right), z=\frac{1}{2} \cdot\left(m^{2}+1\right)$x=m,y=\frac{1}{2}\cdot (m^2-1),z=\frac{1}{2}\cdot (m^2+1)$, gdzie $m$$m$mm$m$ to nieparzysta liczba, spełnia równanie $x^2+y^2=z^2$$x^2+y^2=z^2$x^(2)+y^(2)=z^(2)x^{2}+y^{2}=z^{2}$x^2+y^2=z^2$.

Dla $m=3$$m=3$m=3m=3$m=3$ otrzymujemy $3^2+4^2=5^2;m=5$$3^2+4^2=5^2;m=5$3^(2)+4^(2)=5^(2);m=53^{2}+4^{2}=5^{2}; m=5$3^2+4^2=5^2;m=5$ prowadzi do $5^2+{12}^2={13}^2;m=7$$5^2+{12}^2={13}^2;m=7$5^(2)+12^(2)=13^(2);m=75^{2}+12^{2}=13^{2}; m=7$5^2+{12}^2={13}^2;m=7$ daje $7^2+{24}^2={25}^2$$7^2+{24}^2={25}^2$7^(2)+24^(2)=25^(2)7^{2}+24^{2}=25^{2}$7^2+{24}^2={25}^2$ etc.

To również można zobaczyć w wzorach: Jeśli umieścisz kształt L z $x^2$$x^2$x^(2)x^{2}$x^2$ ciemnych (niebieskich) kamieni wokół kwadratu z $y^2$$y^2$y^(2)y^{2}$y^2$ jasnych (czerwonych) kamieni, otrzymasz kwadrat z $x^2+y^2=z^2$$x^2+y^2=z^2$x^(2)+y^(2)=z^(2)x^{2}+y^{2}=z^{2}$x^2+y^2=z^2$ kamieni.

Pitagoras znał tylko regularne bryły takie jak czworościan, sześcian (kostka) i dwunastościan. Pięciokąt gwiaździsty (pentagram) stał się charakterystycznym znakiem pitagorejczyków. Przekątne tej symetrycznej figury przecinają się w złotym podziale.

Około 50 lat po śmierci Pitagorasa, zostało udowodnione - możliwe że przez jego ucznia Hipasusa - że to podział prowadzi do niewymiernych odległości, czyli stosunków liczbowych, które są irracjonalne i nie są stosunkiem całkowitych liczb - szok dla pitagorejczyków?

Wśród uczniów Pitagorasa, matematyka przekształciła się z mistycznej teorii liczb w dokładną naukę, a wiele ich odkryć zostało włączonych do "Elementów" Euklidesa (365-300 p.n.e.).

Raffael: Szkoła Ateńska (prawdopodobnie) Euklides (lewy obrazek w każdym przypadku), Pitagoras (prawy obrazek)

W ciągu wieku jednak związek pitagorejczyków rozpadł się z powodu różnic w poglądach politycznych.

Pitagoras sam został wygnany z Krotonu w 510 p.n.e. i osiedlił się w sąsied

nim Metaponcie, gdzie prawdopodobnie zmarł około 500 p.n.e.

---

PhD T.G. 2024