M-Blog

 

 

Pitagoras - opowieści ze znaczkami

pitagoras-i-znaczki-7c4cdced-24ef-4d00-a1b2-15263a593dce

Pierwsze wydanie 2008 przez Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft Heidelberg https://www.spektrum.de/wissen/pythagoras-von-samos-580-500-v-chr/943152 Tłumaczenie 2021 przez Johna O'Connora, University of St Andrews..


Wersję polską opracował Tomasz Grębski na podstawie tekstu HEINZA KLAUSA STRICKA, Germany [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/]


 

PITAGORAS z SAMOS( 580 pne – 500 pne)


Kiedy Prawie każdy zna twierdzenie Pitagorasa, ale tak naprawdę niewiele wiadomo o osobie, której imię nosi to słynne twierdzenie. Nie zachowały się żadne pisma napisane przez niego, a inne źródła z tego okresu również brakują. Relacje o jego życiu zostały napisane dopiero dziesięciolecia po jego śmierci - przez Herodota (484-424 p.n.e.) i Arystotelesa (384-322 p.n.e.), między innymi - a większość legend pojawiła się wieki później. W wielu relacjach Pitagoras był opisywany przede wszystkim jako filozof i prorok religijny, a nie matematyk.

Często tradycje mówią tylko o pitagorejczykach, czyli "szkole" Pitagorasa, tak że nie wiadomo dokładnie, co pochodzi od samego Pitagorasa, a co od jego uczniów. Nie jest też jasne, czy Pitagoras był synem grawera kamieni czy handlarza, tak samo jak czas i trwanie jego podróży do Fenicji, Egiptu i Mezopotamii. Prawdopodobnie osobiście poznał Talesa z Miletu (624-547 p.n.e.), ponieważ wyspa Samos leży bezpośrednio u wybrzeży Azji Mniejszej, a uczeń Talesa, Anaksymander (611-546 p.n.e.), mógł być jego nauczycielem.
Nie wiadomo, czy tak zwani Harpedonaptai (geodeci używający naciągniętych lin) w Egipcie i Mezopotamii już używali twierdzenia nazwanego jego imieniem ponad 1000 lat przed Pitagorasem.
Jednak można przypuszczać, że Pitagoras przyniósł wiedzę o tej regule, która powstała w praktyce, stamtąd do Grecji. Jego zasługą jest uwolnienie matematyki od tych praktycznych zastosowań, a następnie matematyka była uprawiana w celu zbliżenia się do boskości (B.L. van der Waerden).
Prawdopodobnie około 530 (520?) p.n.e. Pitagoras osiedlił się w greckiej kolonii Kroton w południowych Włoszech i założył tam tajne stowarzyszenie. Członkowie sekty wierzyli w nieśmiertelność duszy. Można było uniknąć losu wędrówki dusz i wiecznego cyklu odrodzenia tylko zajmując się tajemnicami liczb i harmonii. Ich kosmos był uporządkowany według liczb, a w tym sensie matematyka była częścią ich religii.
Wśród jego uczniów, pitagorejczyków, Pitagoras był uważany za doskonałego mędrca; termin filozof wywodzi się od Pitagorasa jako osoby kochającej mądrość. Uczniowie żyli według ścisłych zasad religijnych. Ich ascetyczny, wegetariański styl życia był przedmiotem drwin niektórych współczesnych.
Pitagorejczycy zajmowali się astronomią i astrologią, arytmetyką i teorią muzyczną. Według nauk ich przywódcy, droga do transcendencji była możliwa tylko poprzez zajmowanie się właściwościami (naturalnych) liczb, ponieważ: Wszystko jest liczbą.
Jedynka nie była właściwą liczbą, ale punktem wyjścia wszystkich liczb.
Liczba 10 była uważana za świętą liczbę, ponieważ jest sumą pierwszych czterech liczb i podstawą naszego systemu liczbowego, a co więcej, może być przedstawiona w formie równobocznego trójkąta (tetraktys = czwórność).
Liczby 1, 2, 3 i 4 odgrywały również decydującą rolę w harmonii muzycznej: jeśli
długość struny zostanie skrócona z jej pierwotnej długości do połowy, czyli zmieniona w stosunku 2:1, nowy dźwięk jest o oktawę wyższy, jeśli skrócona w stosunku 3:2 lub 4:3, jest o kwintę lub kwartę wyższa.
Do arytmetyki pitagorejczycy używali ciemnych i jasnych kamieni ułożonych w geometryczne figury. W ten sposób można było odczytywać wzory sum, np. dla sumy kolejnych liczb naturalnych lub kolejnych liczb parzystych lub nieparzystych - w dwóch ostatnich wzorach kamienie były ułożone w formie tzw. gnomonów (kształt L):
1 + 2 + + n = 1 2 n ( n + 1 ) 1 + 2 + + n = 1 2 n ( n + 1 ) 1+2+cdots+n=(1)/(2)*n*(n+1)1+2+\cdots+n=\frac{1}{2} \cdot n \cdot(n+1)1+2++n=12n(n+1) 1 + 3 + + ( 2 n 1 ) = n 2 1 + 3 + + ( 2 n 1 ) = n 2 1+3+cdots+(2n-1)=n^(2)1+3+\cdots+(2n-1)=n^{2}1+3++(2n1)=n2
2 + 4 + + 2 n = n ( n + 1 ) 2 + 4 + + 2 n = n ( n + 1 ) 2+4+dots+2n=n*(n+1)2+4+\ldots+2n=n \cdot(n+1)2+4++2n=n(n+1)
Dla pitagorejczyków każda liczba miała swoją własną mistyczną osobowość. Liczby parzyste były kobiece, liczby nieparzyste były męskie. Liczba 5, jako suma najmniejszej liczby parzystej i nieparzystej, była symbolem małżeństwa.
Liczba 6 jest równa sumie swoich dzielników - doskonała liczba. Pitagorejczycy znali ogólną zasadę: Jeśli suma 1 + 2 + 2 2 + + 2 n 1 + 2 + 2 2 + + 2 n 1+2+2^(2)+cdots+2^(n)1+2+2^{2}+\cdots+2^{n}1+2+22++2n jest liczbą pierwszą p p ppp, to 2 n p 2 n p 2^(n)*p2^{n} \cdot p2np jest doskonałą liczbą. Do dowodu potrzebna jest suma szeregu geometrycznego, która była już znana Babilończykom.
Liczba 16 nie tylko jest kwadratem liczby, ale także reprezentuje kwadrat o boku 4 z obwodem 16 (jednostki długości) i powierzchnią 16 (jednostki powierzchni). Pod
obnie liczba 18 reprezentuje specjalny prostokąt o bokach 3 i 6 (obwód = 18, powierzchnia = 18).
Dla pitagorejczyków fakt, że trójkąt prostokątny mógł być wyrażony przez liczbowe stosunki 3, 4 i 5, wskazywał na opatrzność boską. Nie wiemy, czy Pitagoras był w stanie „udowodnić” twierdzenie nazwane jego imieniem.
Jednak znana była mu następująca reguła dla specjalnych potrójnych liczb Pitagorejskich:
Potrójna liczba ( x , y , z ) ( x , y , z ) (x,y,z)(x, y, z)(x,y,z), gdzie x = m , y = 1 2 ( m 2 1 ) , z = 1 2 ( m 2 + 1 ) x = m , y = 1 2 m 2 1 , z = 1 2 m 2 + 1 x=m,y=(1)/(2)*(m^(2)-1),z=(1)/(2)*(m^(2)+1)x=m, y=\frac{1}{2} \cdot\left(m^{2}-1\right), z=\frac{1}{2} \cdot\left(m^{2}+1\right)x=m,y=12(m21),z=12(m2+1), gdzie m m mmm to nieparzysta liczba, spełnia równanie x 2 + y 2 = z 2 x 2 + y 2 = z 2 x^(2)+y^(2)=z^(2)x^{2}+y^{2}=z^{2}x2+y2=z2.
Dla m = 3 m = 3 m=3m=3m=3 otrzymujemy 3 2 + 4 2 = 5 2 ; m = 5 3 2 + 4 2 = 5 2 ; m = 5 3^(2)+4^(2)=5^(2);m=53^{2}+4^{2}=5^{2}; m=532+42=52;m=5 prowadzi do 5 2 + 12 2 = 13 2 ; m = 7 5 2 + 12 2 = 13 2 ; m = 7 5^(2)+12^(2)=13^(2);m=75^{2}+12^{2}=13^{2}; m=752+122=132;m=7 daje 7 2 + 24 2 = 25 2 7 2 + 24 2 = 25 2 7^(2)+24^(2)=25^(2)7^{2}+24^{2}=25^{2}72+242=252 etc.
To również można zobaczyć w wzorach: Jeśli umieścisz kształt L z x 2 x 2 x^(2)x^{2}x2 ciemnych (niebieskich) kamieni wokół kwadratu z y 2 y 2 y^(2)y^{2}y2 jasnych (czerwonych) kamieni, otrzymasz kwadrat z x 2 + y 2 = z 2 x 2 + y 2 = z 2 x^(2)+y^(2)=z^(2)x^{2}+y^{2}=z^{2}x2+y2=z2 kamieni.
Pitagoras znał tylko regularne bryły takie jak czworościan, sześcian (kostka) i dwunastościan. Pięciokąt gwiaździsty (pentagram) stał się charakterystycznym znakiem pitagorejczyków. Przekątne tej symetrycznej figury przecinają się w złotym podziale.
Około 50 lat po śmierci Pitagorasa, zostało udowodnione - możliwe że przez jego ucznia Hipasusa - że to podział prowadzi do niewymiernych odległości, czyli stosunków liczbowych, które są irracjonalne i nie są stosunkiem całkowitych liczb - szok dla pitagorejczyków?
Wśród uczniów Pitagorasa, matematyka przekształciła się z mistycznej teorii liczb w dokładną naukę, a wiele ich odkryć zostało włączonych do "Elementów" Euklidesa (365-300 p.n.e.).
Raffael: Szkoła Ateńska (prawdopodobnie) Euklides (lewy obrazek w każdym przypadku), Pitagoras (prawy obrazek)
W ciągu wieku jednak związek pitagorejczyków rozpadł się z powodu różnic w poglądach politycznych.
Pitagoras sam został wygnany z Krotonu w 510 p.n.e. i osiedlił się w sąsied
nim Metaponcie, gdzie prawdopodobnie zmarł około 500 p.n.e.


PhD T.G. 2024

 

 

 

 

Related Articles

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA