M-Blog

 

 

 

Jacob Bernouli - opowieści ze znaczkami

jacob-bernouli-bff6a0aa-a868-4788-9587-0ea3373b4add

Poniższy artykuł po raz pierwszy opublikowano w 2010 r. przez Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft Heidelberg [https://www.spektrum.de/wissen/jakob-bernoulli-1655-1705/1039591] przetłumaczone przez Davida Kramera.
Wersja angielska opublikowana została po raz pierwszy przez Europejskie Towarzystwo Matematyczne w 2013 r.


Wersję polską opracował Tomasz Grębski na podstawie tekstu HEINZA KLAUSA STRICKA, Germany [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/]


 

JACOB BERNOULLI (06 stycznia 1655 - 16 sierpnia 1705)


Kiedy w 1567 roku FERNANDO ÁLVAREZ DE TOLEDO, TRZECI KSIĄŻĘ ALBA, namiestnik Niderlandów Hiszpańskich za KRÓLA FILIPA II, rozpoczął krwawe tłumienie powstania protestanckiego, wielu obywateli uciekło ze swojej ojczyzny, w tym rodzina BERNOULLI z Antwerpii. NICHOLAS BERNOULLI (1623-1708) szybko zbudował nowe życie w Bazylei i jako

wpływowy obywatel został wybrany do administracji miejskiej. Jego małżeństwo z córką bankiera zrodziło liczne dzieci, w tym dwóch synów - JACOB (1655-1705) i JOHANN (1667-1748), którzy zasłynęli w dziedzinie matematyki i fizyki.
Innymi ważnymi naukowcami tej rodziny byli syn JOHANNA BERNOULLIEGO DANIEL (1700-1782), który jako matematyk, fizyk i lekarz dokonał wielu odkryć (krążenie krwi, inokulacja, statystyka medyczna, mechanika płynów) oraz bratanek MIKOŁAJ (1687-1759), który piastował kolejne profesury z matematyki, logiki i prawa.
JACOB BERNOULLI, którego pamięci szwajcarska poczta poświęciła w 1994 r. powyższy znaczek pocztowy (choć nie wymieniono jego nazwiska), zgodnie z życzeniem rodziców studiowal filozofię i teologię. Potajemnie jednak uczeszczał na wykłady z matematyki i astronomii.
Po ukończeniu studiów w wieku 21 lat podróżował po Europie jako prywatny nauczyciel, poznając najważniejszych matematyków i przyrodników swoich czasów. Siedem lat później wrócił do Bazylei i przyjął na uniwersytecie wykłady z fizyki doświadczalnej.


W wieku 32 lat JACOB BERNOULLI, chociaż z wykształcenia teolog, przyjął katedrę matematyki, której całkowicie się poświęcił. Zachęcał też młodszego o trzynaście lat brata JOHANNA, który na życzenie rodziców studiował medycynę, do zainteresowania się matematyką.
JACOB BERNOULLI zastosował zasadę indukcji jako metodę dowodu, a w swoich badaniach szeregów wykorzystał nierówność znaną dziś jako nierówność Bernoulliego:
( 1 + x ) n > 1 + n x ( 1 + x ) n > 1 + n x (1+x)^(n) > 1+n*x(1+x)^{n}>1+n \cdot x(1+x)n>1+nx
Studiował również szeregi nieskończone, udowadniając, że szeregi harmoniczne
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1+(1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(4)+dots1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots1+12+13+14+
rośnie bez ograniczeń i że suma odwrotności kwadratów liczb całkowitych jest ograniczona, spełniając nierówność
1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + < 2 ; 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + < 2 ; 1+(1)/(4)+(1)/(9)+(1)/(16)+dots < 2;1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots<2 ;1+14+19+116+<2;
czyli szereg jest zbieżny. Dopiero LEONHARD EULER (1707-1783), który zainteresował się matematyką dzięki wykładom wygłaszanym przez JOHANNA BERNOULLIEGO, jako pierwszy udowodnił, że
k = 1 1 k 2 = π 2 6 1 , 645 k = 1 1 k 2 = π 2 6 1 , 645 sum_(k=1)^(oo)(1)/(k^(2))=(pi^(2))/(6)~~1,645\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} \approx 1,645k=11k2=π261,645.

 

Chociaż początkowo miał pewne trudności z teorią GOTTFRIEDA WILHELMA LEIBNIZA (1646-1716), z powodzeniem zastosował rachunek różniczkowy i opublikował prace dotyczące obliczania stycznych i pól powierzchni.
W 1690 roku udało mu się rozwiązać problem postawiony przez LEIBNIZA za pomocą rachunku różniczkowego: jaka jest krzywa, po której spada ciało

 

ze stałą prędkością (tzw. izochrona)?
W swoim artykule jako pierwszy mówił o rachunku całkowym, po czym LEIBNIZ przyjął w swoich pismach termin ,całka”.
W fizyce często pojawiają się równania przedstawiające zależność między jedną lub kilkoma wielkościami a szybkością ich zmian, tak zwane równania różniczkowe. Niektóre z nich można rozwiązać metodą separacji zmiennych (pomysł zapoczątkowany przez JACOBA BERNOULLIEGO).
Na przykład związek y = x y y = x y y^(')=(x)/(y)y^{\prime}=\frac{x}{y}y=xy między zmiennymi x x xxx oraz y y yyy i pochodna tego ostatniego, staje się po przegrupowaniu i integracji, y y = x y d y = x d x y y = x y d y = x d x yy^(')=xintydy=int xdxyy' =x \operatorname \int y d y=\int x d xyy=xydy=xdx, to znaczy, 1 2 y 2 = 1 2 x 2 + C 1 2 y 2 = 1 2 x 2 + C (1)/(2)y^(2)=(1)/(2)x^(2)+C\frac{1}{2} y^{2}=\frac{1}{2} x^{2}+C12y2=12x2+C, lub y 2 x 2 = 2 C y 2 x 2 = 2 C y^(2)-x^(2)=2Cy^{2}-x^{2}=2 Cy2x2=2C,
co jest równaniem hiperboli; na rysunku widać skojarzone pole tangensów równania różniczkowego (pomysł zapoczątkowany przez JOHANNA BERNOULLIEGO):
W punktach sieciowych układu współrzędnych pokazane są styczne, których nachylenie można obliczyć z równania różniczkowego.

 

Bracia Bernoulli wspólnie studiowali powłoki promieni odbitych i w związku z tym wyprowadzili wzór na oscylujący okrąg krzywej; dla funkcji różniczkowalnej jej promień r r rrr można obliczyć w następujący sposób: r = ( 1 + f ( a ) 2 ) 3 / 2 f ( a ) r = 1 + f ( a ) 2 3 / 2 f ( a ) r=((1+f^(')(a)^(2))^(3//2))/(f^('')(a))r=\frac{\left(1+f^{\prime}(a)^{2}\right)^{3 / 2}}{f^{\prime \prime}(a)}r=(1+f(a)2)3/2f(a)

Inne dokumenty dowodzą, że JACOB BERNOULLI wiedział, jak zastosować nowy rachunek różniczkowy:

 

  • Jaka jest krzywa, która ma postać łańcucha zwisającego z dwóch punktów o równej wysokości? Rozwiązaniem jest tzw. sieć trakcyjna: f ( x ) = a 2 ( e x a + e x a ) f ( x ) = a 2 e x a + e x a f(x)=(a)/(2)*(e^((x)/(a))+e^(-(x)/(a)))f(x)=\frac{a}{2} \cdot\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)f(x)=a2(exa+exa)
  • Jaki jest zbiór geometryczny wszystkich punktów taki, że iloczyn ich odległości od dwóch stałych punktów jest stały?
Rozwiązaniem jest lemniskata: ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 a 2 ( x 2 y 2 ) x 2 + y 2 2 = 2 a 2 x 2 y 2 (x^(2)+y^(2))^(2)=2a^(2)(x^(2)-y^(2))\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)(x2+y2)2=2a2(x2y2)
  • Jaką krzywą należy połączyć dwa punkty na różnych wysokościach, aby ciało spadające bez tarcia przebyło drogę od górnego do dolnego punktu w jak najkrótszym czasie? Krzywa brachistochrony została znaleziona jako rozwiązanie przez NEWTONA, LEIBNIZA i L'HOSPITALA.
Razem bracia odegrali znaczącą rolę w rozpowszechnianiu i rozwoju rachunku różniczkowego. Jednak zaczynając od małych wrażliwości i małostkowych zazdrości, które utrudniały współpracę, z biegiem lat rozwinęła się nieprzejednana nienawiść, która nie pozostała ukryta przed innymi naukowcami. Ambitny JOHANN BERNOULL opuścił Bazylee, aby objąć katedrę matematyki w Groningen. Dopiero po śmierci brata wrócił do Bazylei, obejmując po nim katedrę na uniwersytecie.
W roku 1713 rozpoczął się spór o pierwszeństwo między LEIBNIZEM a NEWTONEM o to, kto "wynalazł" rachunek różniczkowy, a JOHANN BERNOULLI stanął po stronie LEIBNIZA.


Z korespondencji między JACOBEM BERNOULLIM a CHRISTIAANEM HUYGENSEM (1629-1695) na temat gier losowych powstała wszechstronna teoria prawdopodobieństwa. Książka JACOBA "Ars conjectandi" (Sztuka zgadywania) została wydana pośmiertnie przez jego siostrzeńca NICHOLASA w 1713 roku. Dzieło JACOBA BERNOULLIEGO uogólniło wyniki zebrane przez HUYGENSA w jego 1657 "De ratiociniis in ludo aleae" (O obliczeniach w grach losowych). W szczególności systematycznie badał problemy kombinatoryczne i pokazywał, w jaki sposób ich rozwiązanie można zastosować w grach losowych.
Ostatnia sekcja zawiera "złote twierdzenie", które od czasu SIMEONA DENISA POISSONA jest również znane jako prawo wielkich liczb BERNOULLIEGO:
Losowa próba jest powtarzana n n nnn razy w tych samych warunkach, przy czym wyniki każdej próby są niezależne od wyników poprzednich prób (tzw. próby BERNOULLIEGO). Prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia A A AAA ("sukces") wystąpi za każdym razem, gdy odbędzie się próba, oznaczony przez p p ppp
A następnie, jeśli X X XXX to liczba sukcesów, prawdopodobieństwo, że X = k X = k X=kX=kX=k jest podane przez: P ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 p ) n k P ( X = k ) = n k p k ( 1 p ) n k P(X=k)=([n],[k])*p^(k)*(1-p)^(n-k)P(X=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \cdot p^{k} \cdot(1-p)^{n-k}P(X=k)=(nk)pk(1p)nk
Wraz ze wzrostem liczby prób wzrasta względna częstotliwość X / n X / n X//nX / nX/n stochastycznie zbliża się do prawdopodobieństwa p p ppp wydarzenia; czyli dla każdego ε > 0 ε > 0 epsi > 0\varepsilon>0ε>0, lim n P ( | x n p | < ε ) = 1 lim n P x n p < ε = 1 lim_(n rarr oo)P(|(x)/(n)-p| < epsi)=1\operatorname{lim}_{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{x}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=1limnP(|xnp|<ε)=1
Prawo wielkich liczb BERNOULLIEGO jest pokazane na przedstawionym szwajcarskim znaczku pocztowym w bardziej ogólnej formie
1 n ( x 1 + + x n ) E ( X ) 1 n x 1 + + x n E ( X ) (1)/(n)*(x_(1)+dots+x_(n))rarr E(X)\frac{1}{n} \cdot\left(x_{1}+\ldots+x_{n}\right) \rightarrow E(X)1n(x1++xn)E(X)
i jest również reprezentowany graficznie: ciąg średnich arytmetycznych x 1 , , x n x 1 , , x n x_(1),dots,x_(n)x_{1}, \ldots, x_{n}x1,,xn wyników prób zbliża się do wartości oczekiwanej E ( X ) E ( X ) E(X)E(X)E(X) powiązanej zmiennej losowej. W swoich badaniach nad sumami potęg JACOB BERNOULLI napotkał pewne liczby, które dziś znane są jako liczby BERNOULLIEGO B n B n B_(n)B_{n}Bn. Pojawiają się one w rozwinięciu serii f ( x ) = x e x 1 f ( x ) = x e x 1 f(x)=(x)/(e^(x)-1)f(x)=\frac{x}{e^{x}-1}f(x)=xex1 wokół punktu 0. Funkcja i jej pochodne nie są więc zdefiniowane w punkcie 0 0 000 , ale f ( x ) f ( x ) f(x)f(x)f(x) można w sposób ciągły rozciągać do tego punktu i tak się stało f ( x ) = n = 0 B n x n n ! f ( x ) = n = 0 B n x n n ! f(x)=sum_(n=0)^(oo)B_(n)*(x^(n))/(n!)f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} B_{n} \cdot \frac{x^{n}}{n !}f(x)=n=0Bnxnn! z
B 0 = 1 ; B 1 = 1 2 ; B 2 = 1 6 ; B 3 = 0 ; B 4 = 1 30 ; B 5 = 0 ; B 6 = 1 42 ; B 7 = 0 ; B 8 = 1 30 ; B 9 = 0 ; B 10 = 5 66 ; B 0 = 1 ; B 1 = 1 2 ; B 2 = 1 6 ; B 3 = 0 ; B 4 = 1 30 ; B 5 = 0 ; B 6 = 1 42 ; B 7 = 0 ; B 8 = 1 30 ; B 9 = 0 ; B 10 = 5 66 ; B_(0)=1;B_(1)=-(1)/(2);B_(2)=(1)/(6);B_(3)=0;B_(4)=-(1)/(30);B_(5)=0;B_(6)=(1)/(42);B_(7)=0;B_(8)=-(1)/(30);B_(9)=0;B_(10)=(5)/(66);dotsB_{0}=1 ; B_{1}=-\frac{1}{2} ; B_{2}=\frac{1}{6} ; B_{3}=0 ; B_{4}=-\frac{1}{30} ; B_{5}=0 ; B_{6}=\frac{1}{42} ; B_{7}=0 ; B_{8}=-\frac{1}{30} ; B_{9}=0 ; B_{10}=\frac{5}{66} ; \ldotsB0=1;B1=12;B2=16;B3=0;B4=130;B5=0;B6=142;B7=0;B8=130;B9=0;B10=566;
Dla tych liczb BERNOULLIEGO istnieje następujący wzór dla n n nnn > 1 : k = 0 n 1 ( n k ) B k = 0 > 1 : k = 0 n 1 n k B k = 0 > 1:sum_(k=0)^(n-1)([n],[k])*B_(k)=0>1: \sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \cdot B_{k}=0>1:k=0n1(nk)Bk=0
Liczby te odgrywają również rolę w rozszerzeniach serii t a n ( x ) , ln ( sin ( x ) x ) oraz x cot ( x ) t a n ( x ) , ln sin ( x ) x oraz x cot ( x ) tan(x),ln((sin(x))/(x))oraz x*cot(x)tan(x), \ln \left(\frac{\sin (x)}{x}\right) \operatorname{oraz} x \cdot \cot (x)tan(x),ln(sin(x)x)orazxcot(x).


Rozwiązując pytanie, jaką krzywą przecinają pod tym samym kątem wszystkie promienie wychodzące z początku, JACOB BERNOULLI odkrył spiralę logarytmiczną.
Był tak zachwycony właściwościami tej spirali - nawet po centralnej dylatacji powstaje kolejna spirala tego samego typu - że poprosił o umieszczenie krzywej wraz z hasłem Resurgo eadem mutata (zmieniony, zwracam ten sam) na jego nagrobku. Jednak kamieniarz w swojej ignorancji wyrył spirale ARCHIMEDESA zamiast logarytmicznej.

 


PhD T.G. 2022

 

 

 

 

 

 

 

Related Articles

logo 2022 joomla footer

© 2022 Tomasz Grębski MATEMATYKA