Jacob Bernouli - opowieści ze znaczkami

Matematycy - znaczki - historie Odsłon: 2159

Poniższy artykuł po raz pierwszy opublikowano w 2010 r. przez Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft Heidelberg [https://www.spektrum.de/wissen/jakob-bernoulli-1655-1705/1039591] przetłumaczone przez Davida Kramera.
Wersja angielska opublikowana została po raz pierwszy przez Europejskie Towarzystwo Matematyczne w 2013 r.

Wersję polską opracował Tomasz Grębski na podstawie tekstu HEINZA KLAUSA STRICKA, Germany [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/]

 

JACOB BERNOULLI (06 stycznia 1655 - 16 sierpnia 1705)

Kiedy w 1567 roku FERNANDO ÁLVAREZ DE TOLEDO, TRZECI KSIĄŻĘ ALBA, namiestnik Niderlandów Hiszpańskich za KRÓLA FILIPA II, rozpoczął krwawe tłumienie powstania protestanckiego, wielu obywateli uciekło ze swojej ojczyzny, w tym rodzina BERNOULLI z Antwerpii. NICHOLAS BERNOULLI (1623-1708) szybko zbudował nowe życie w Bazylei i jako

wpływowy obywatel został wybrany do administracji miejskiej. Jego małżeństwo z córką bankiera zrodziło liczne dzieci, w tym dwóch synów - JACOB (1655-1705) i JOHANN (1667-1748), którzy zasłynęli w dziedzinie matematyki i fizyki.

Innymi ważnymi naukowcami tej rodziny byli syn JOHANNA BERNOULLIEGO DANIEL (1700-1782), który jako matematyk, fizyk i lekarz dokonał wielu odkryć (krążenie krwi, inokulacja, statystyka medyczna, mechanika płynów) oraz bratanek MIKOŁAJ (1687-1759), który piastował kolejne profesury z matematyki, logiki i prawa.

JACOB BERNOULLI, którego pamięci szwajcarska poczta poświęciła w 1994 r. powyższy znaczek pocztowy (choć nie wymieniono jego nazwiska), zgodnie z życzeniem rodziców studiowal filozofię i teologię. Potajemnie jednak uczeszczał na wykłady z matematyki i astronomii.

Po ukończeniu studiów w wieku 21 lat podróżował po Europie jako prywatny nauczyciel, poznając najważniejszych matematyków i przyrodników swoich czasów. Siedem lat później wrócił do Bazylei i przyjął na uniwersytecie wykłady z fizyki doświadczalnej.

W wieku 32 lat JACOB BERNOULLI, chociaż z wykształcenia teolog, przyjął katedrę matematyki, której całkowicie się poświęcił. Zachęcał też młodszego o trzynaście lat brata JOHANNA, który na życzenie rodziców studiował medycynę, do zainteresowania się matematyką.

JACOB BERNOULLI zastosował zasadę indukcji jako metodę dowodu, a w swoich badaniach szeregów wykorzystał nierówność znaną dziś jako nierówność Bernoulliego:
$(1+x{)}^n>1+n\cdot x$$(1+x{)}^n>1+n\cdot x$(1+x)^(n) > 1+n*x(1+x)^{n}>1+n \cdot x$(1+x{)}^n>1+n\cdot x$

Studiował również szeregi nieskończone, udowadniając, że szeregi harmoniczne
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$1+(1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(4)+dots1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$
rośnie bez ograniczeń i że suma odwrotności kwadratów liczb całkowitych jest ograniczona, spełniając nierówność
$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots <2;$$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots <2;$1+(1)/(4)+(1)/(9)+(1)/(16)+dots < 2;1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots<2 ;$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots <2;$
czyli szereg jest zbieżny. Dopiero LEONHARD EULER (1707-1783), który zainteresował się matematyką dzięki wykładom wygłaszanym przez JOHANNA BERNOULLIEGO, jako pierwszy udowodnił, że
$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1,645$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }} \frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1,645$sum_(k=1)^(oo)(1)/(k^(2))=(pi^(2))/(6)~~1,645\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} \approx 1,645$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1,645$.

 

Chociaż początkowo miał pewne trudności z teorią GOTTFRIEDA WILHELMA LEIBNIZA (1646-1716), z powodzeniem zastosował rachunek różniczkowy i opublikował prace dotyczące obliczania stycznych i pól powierzchni.

W 1690 roku udało mu się rozwiązać problem postawiony przez LEIBNIZA za pomocą rachunku różniczkowego: jaka jest krzywa, po której spada ciało

 

ze stałą prędkością (tzw. izochrona)?

W swoim artykule jako pierwszy mówił o rachunku całkowym, po czym LEIBNIZ przyjął w swoich pismach termin ,całka”.

W fizyce często pojawiają się równania przedstawiające zależność między jedną lub kilkoma wielkościami a szybkością ich zmian, tak zwane równania różniczkowe. Niektóre z nich można rozwiązać metodą separacji zmiennych (pomysł zapoczątkowany przez JACOBA BERNOULLIEGO).

Na przykład związek $y^{\mathrm{\prime }}=\frac{x}{y}$$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{x}{y}$y^(')=(x)/(y)y^{\prime}=\frac{x}{y}$y^{\mathrm{\prime }}=\frac{x}{y}$ między zmiennymi $x$$x$xx$x$ oraz $y$$y$yy$y$ i pochodna tego ostatniego, staje się po przegrupowaniu i integracji, $y{y}^{\prime }=x\int ydy=\int xdx$$y{y}^{\prime }=x\int ydy=\int xdx$yy^(')=xintydy=int xdxyy' =x \operatorname \int y d y=\int x d x$y{y}^{\prime }=x\int ydy=\int xdx$, to znaczy, $\frac{1}{2}{y}^2=\frac{1}{2}{x}^2+C$$\frac{1}{2}{y}^2=\frac{1}{2}{x}^2+C$(1)/(2)y^(2)=(1)/(2)x^(2)+C\frac{1}{2} y^{2}=\frac{1}{2} x^{2}+C$\frac{1}{2}{y}^2=\frac{1}{2}{x}^2+C$, lub $y^2-x^2=2C$$y^2-x^2=2C$y^(2)-x^(2)=2Cy^{2}-x^{2}=2 C$y^2-x^2=2C$,

co jest równaniem hiperboli; na rysunku widać skojarzone pole tangensów równania różniczkowego (pomysł zapoczątkowany przez JOHANNA BERNOULLIEGO):

W punktach sieciowych układu współrzędnych pokazane są styczne, których nachylenie można obliczyć z równania różniczkowego.

 

Bracia Bernoulli wspólnie studiowali powłoki promieni odbitych i w związku z tym wyprowadzili wzór na oscylujący okrąg krzywej; dla funkcji różniczkowalnej jej promień $r$$r$rr$r$ można obliczyć w następujący sposób: $r=\frac{{(1+f^{\mathrm{\prime }}(a{)}^2)}^{3/2}}{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)}$$r=\frac{{\left(1+f^{\mathrm{\prime }}(a{)}^2\right)}^{3/2}}{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)}$r=((1+f^(')(a)^(2))^(3//2))/(f^('')(a))r=\frac{\left(1+f^{\prime}(a)^{2}\right)^{3 / 2}}{f^{\prime \prime}(a)}$r=\frac{{(1+f^{\mathrm{\prime }}(a{)}^2)}^{3/2}}{f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)}$

Inne dokumenty dowodzą, że JACOB BERNOULLI wiedział, jak zastosować nowy rachunek różniczkowy:

 

Rozwiązaniem jest lemniskata: ${(x^2+y^2)}^2=2a^2(x^2-y^2)$${\left(x^2+y^2\right)}^2=2a^2\left(x^2-y^2\right)$(x^(2)+y^(2))^(2)=2a^(2)(x^(2)-y^(2))\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)${(x^2+y^2)}^2=2a^2(x^2-y^2)$

Razem bracia odegrali znaczącą rolę w rozpowszechnianiu i rozwoju rachunku różniczkowego. Jednak zaczynając od małych wrażliwości i małostkowych zazdrości, które utrudniały współpracę, z biegiem lat rozwinęła się nieprzejednana nienawiść, która nie pozostała ukryta przed innymi naukowcami. Ambitny JOHANN BERNOULL opuścił Bazylee, aby objąć katedrę matematyki w Groningen. Dopiero po śmierci brata wrócił do Bazylei, obejmując po nim katedrę na uniwersytecie.

W roku 1713 rozpoczął się spór o pierwszeństwo między LEIBNIZEM a NEWTONEM o to, kto "wynalazł" rachunek różniczkowy, a JOHANN BERNOULLI stanął po stronie LEIBNIZA.

Z korespondencji między JACOBEM BERNOULLIM a CHRISTIAANEM HUYGENSEM (1629-1695) na temat gier losowych powstała wszechstronna teoria prawdopodobieństwa. Książka JACOBA "Ars conjectandi" (Sztuka zgadywania) została wydana pośmiertnie przez jego siostrzeńca NICHOLASA w 1713 roku. Dzieło JACOBA BERNOULLIEGO uogólniło wyniki zebrane przez HUYGENSA w jego 1657 "De ratiociniis in ludo aleae" (O obliczeniach w grach losowych). W szczególności systematycznie badał problemy kombinatoryczne i pokazywał, w jaki sposób ich rozwiązanie można zastosować w grach losowych.

Ostatnia sekcja zawiera "złote twierdzenie", które od czasu SIMEONA DENISA POISSONA jest również znane jako prawo wielkich liczb BERNOULLIEGO:

Losowa próba jest powtarzana $n$$n$nn$n$ razy w tych samych warunkach, przy czym wyniki każdej próby są niezależne od wyników poprzednich prób (tzw. próby BERNOULLIEGO). Prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia $A$$A$AA$A$ ("sukces") wystąpi za każdym razem, gdy odbędzie się próba, oznaczony przez $p$$p$pp$p$

A następnie, jeśli $X$$X$XX$X$ to liczba sukcesów, prawdopodobieństwo, że $X=k$$X=k$X=kX=k$X=k$ jest podane przez: $P(X=k)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$P(X=k)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$P(X=k)=([n],[k])*p^(k)*(1-p)^(n-k)P(X=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \cdot p^{k} \cdot(1-p)^{n-k}$P(X=k)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$

Wraz ze wzrostem liczby prób wzrasta względna częstotliwość $X/n$$X/n$X//nX / n$X/n$ stochastycznie zbliża się do prawdopodobieństwa $p$$p$pp$p$ wydarzenia; czyli dla każdego $\epsilon >0$$\epsilon >0$epsi > 0\varepsilon>0$\epsilon >0$, ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}P(|\frac{x}{n}-p|<\epsilon )=1$${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}P\left(\left|\frac{x}{n}-p\right|<\epsilon \right)=1$lim_(n rarr oo)P(|(x)/(n)-p| < epsi)=1\operatorname{lim}_{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{x}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=1${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}P(|\frac{x}{n}-p|<\epsilon )=1$
Prawo wielkich liczb BERNOULLIEGO jest pokazane na przedstawionym szwajcarskim znaczku pocztowym w bardziej ogólnej formie
$\frac{1}{n}\cdot (x_1+\dots +x_n)\to E(X)$$\frac{1}{n}\cdot \left(x_1+\dots +x_n\right)\to E(X)$(1)/(n)*(x_(1)+dots+x_(n))rarr E(X)\frac{1}{n} \cdot\left(x_{1}+\ldots+x_{n}\right) \rightarrow E(X)$\frac{1}{n}\cdot (x_1+\dots +x_n)\to E(X)$
i jest również reprezentowany graficznie: ciąg średnich arytmetycznych $x_1,\dots ,x_n$$x_1,\dots ,x_n$x_(1),dots,x_(n)x_{1}, \ldots, x_{n}$x_1,\dots ,x_n$ wyników prób zbliża się do wartości oczekiwanej $E(X)$$E(X)$E(X)E(X)$E(X)$ powiązanej zmiennej losowej. W swoich badaniach nad sumami potęg JACOB BERNOULLI napotkał pewne liczby, które dziś znane są jako liczby BERNOULLIEGO $B_n$$B_n$B_(n)B_{n}$B_n$. Pojawiają się one w rozwinięciu serii $f(x)=\frac{x}{e^x-1}$$f(x)=\frac{x}{e^x-1}$f(x)=(x)/(e^(x)-1)f(x)=\frac{x}{e^{x}-1}$f(x)=\frac{x}{e^x-1}$ wokół punktu 0. Funkcja i jej pochodne nie są więc zdefiniowane w punkcie $0$$0$00$0$ , ale $f(x)$$f(x)$f(x)f(x)$f(x)$ można w sposób ciągły rozciągać do tego punktu i tak się stało $f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\cdot \frac{x^n}{n!}$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }} B_n\cdot \frac{x^n}{n!}$f(x)=sum_(n=0)^(oo)B_(n)*(x^(n))/(n!)f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} B_{n} \cdot \frac{x^{n}}{n !}$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n\cdot \frac{x^n}{n!}$ z

Dla tych liczb BERNOULLIEGO istnieje następujący wzór dla $n$$n$nn$n$ $>1:\sum _{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)\cdot B_k=0$$>1:\sum _{k=0}^{n-1} \left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)\cdot B_k=0$> 1:sum_(k=0)^(n-1)([n],[k])*B_(k)=0>1: \sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \cdot B_{k}=0$>1:\sum _{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)\cdot B_k=0$

Liczby te odgrywają również rolę w rozszerzeniach serii $tan(x),\ln \left(\frac{\sin (x)}{x}\right)\mathrm{oraz}x\cdot \cot (x)$$tan(x),\ln \left(\frac{\sin (x)}{x}\right)\mathrm{oraz}x\cdot \cot (x)$tan(x),ln((sin(x))/(x))oraz x*cot(x)tan(x), \ln \left(\frac{\sin (x)}{x}\right) \operatorname{oraz} x \cdot \cot (x)$tan(x),\ln \left(\frac{\sin (x)}{x}\right)\mathrm{oraz}x\cdot \cot (x)$.

Rozwiązując pytanie, jaką krzywą przecinają pod tym samym kątem wszystkie promienie wychodzące z początku, JACOB BERNOULLI odkrył spiralę logarytmiczną.

Był tak zachwycony właściwościami tej spirali - nawet po centralnej dylatacji powstaje kolejna spirala tego samego typu - że poprosił o umieszczenie krzywej wraz z hasłem Resurgo eadem mutata (zmieniony, zwracam ten sam) na jego nagrobku. Jednak kamieniarz w swojej ignorancji wyrył spirale ARCHIMEDESA zamiast logarytmicznej.

 

---

PhD T.G. 2022