Symbol \(n!\) (silnia)
Materiały z lekcji video: definicja, własności oraz sposoby upraszczania wyrażeń z silniami.
Na lekcji video
Definicja i podstawy
Silnia liczby naturalnej \(n\) to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(n\) włącznie:
\[n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n.\]
Ważne założenia i przykładowe wartości
Przyjmuje się, że:
\[0!=1.\]
Ponadto \(1!=1\), a kolejne wartości to:
\[2!=2,\quad 3!=6,\quad 4!=24,\quad 5!=120,\quad 6!=720.\]
Charakterystyka
Silnia jest ciągiem określonym na liczbach naturalnych, który bardzo szybko rośnie.
Własność „zawierania się” silni
W większej silni zawsze „siedzi” mniejsza silnia, np.:
\[10! = 9!\cdot 10 = 8!\cdot 9\cdot 10 = 7!\cdot 8\cdot 9\cdot 10.\]
Przy rozbijaniu silni wykrzyknik stawiamy tylko przy elemencie oznaczającym iloczyn od \(1\) do danej liczby,
a nie przy liczbach będących uzupełnieniem.
Działania na silniach i skracanie ułamków
Aby uprościć ułamek z silniami, rozbijamy większą silnię do postaci mniejszej, skracamy i mnożymy to, co zostaje.
Przykład:
\[\frac{20!}{18!}=\frac{18!\cdot 19\cdot 20}{18!}=19\cdot 20.\]
Podobnie dla wyrażeń z niewiadomą:
\[\frac{n!}{(n-2)!}=(n-1)\cdot n,\qquad \frac{(n+3)!}{(n+2)!}=n+3.\]
Istotność nawiasów
Warto podkreślić różnicę między:
\[2n!\quad\text{oraz}\quad (2n)!,\]
ponieważ są to dwa zupełnie różne działania: pierwsze oznacza \(2\cdot n!\), a drugie silnię z liczby \(2n\).
Trudniejsze przykłady: podstawienie i grupowanie
Przy bardziej złożonych wyrażeniach można stosować:
- zmienną pomocniczą, np. podstawienie \(2n=k\), aby wygodniej rozpisać i skrócić silnie,
- grupowanie elementów (np. oddzielnie te z samym \(n\) oraz te z wielokrotnością \(n\)), aby uprościć fragmenty niezależnie.
Podsumowanie praktyczne
Na lekcji jest dużo przykładów dotyczących rozpisywania silni, działań na silniach i skracania wyrażeń zawierających silnię.
