Symbol \(n!\) (silnia)
Materiały z lekcji video: definicja, własności oraz sposoby upraszczania wyrażeń z silniami.
Na lekcji video
Definicja i podstawy
Silnia liczby naturalnej \(n\) to iloczyn kolejnych liczb naturalnych
od \(1\) do \(n\) włącznie:
\[
n!=1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n.
\]
Ważne założenia i przykładowe wartości
Przyjmuje się, że:
\[
0!=1.
\]
Ponadto \(1!=1\), a kolejne wartości to:
\[
2!=2,\quad 3!=6,\quad 4!=24,\quad 5!=120,\quad 6!=720.
\]
Charakterystyka
Silnia jest ciągiem określonym na liczbach naturalnych,
który bardzo szybko rośnie.
Własność „zawierania się” silni
W większej silni zawsze „siedzi” mniejsza silnia, np.:
\[
10!=9!\cdot10=8!\cdot9\cdot10=7!\cdot8\cdot9\cdot10.
\]
Przy rozbijaniu silni wykrzyknik stawiamy tylko przy elemencie oznaczającym
iloczyn od \(1\) do danej liczby, a nie przy liczbach będących uzupełnieniem.
Działania na silniach i skracanie ułamków
Aby uprościć ułamek z silniami, rozbijamy większą silnię do postaci mniejszej,
skracamy i mnożymy to, co zostaje.
\[
\frac{20!}{18!}
=
\frac{18!\cdot19\cdot20}{18!}
=
19\cdot20.
\]
Podobnie dla wyrażeń z niewiadomą:
\[
\frac{n!}{(n-2)!}=(n-1)\cdot n,
\qquad
\frac{(n+3)!}{(n+2)!}=n+3.
\]
Istotność nawiasów
Warto podkreślić różnicę między:
\[
2n!
\qquad\text{oraz}\qquad
(2n)!,
\]
ponieważ są to dwa zupełnie różne działania:
pierwsze oznacza \(2\cdot n!\), a drugie silnię z liczby \(2n\).
Trudniejsze przykłady: podstawienie i grupowanie
Przy bardziej złożonych wyrażeniach można stosować:
- zmienną pomocniczą, np. podstawienie \(2n=k\), aby wygodniej rozpisać i skrócić silnie,
- grupowanie elementów, np. oddzielnie tych z samym \(n\) oraz tych z wielokrotnością \(n\), aby uprościć fragmenty niezależnie.
Podsumowanie praktyczne
Na lekcji jest dużo przykładów dotyczących rozpisywania silni,
działań na silniach i skracania wyrażeń zawierających silnię.
