1990 woj. bielsko-podlaskie - licea ogólnokształcące o profilu podstawowym, bilogiczno-chemicznym, pedagogicznym oraz technika 5-letnie młodzieżowe
Zadanie 1.
Zbadaj, dla jakiej wartości $$\alpha$$, pierwiastki równania
$$x^2+2 x \sin \alpha-\cos ^2 \alpha=0$$
spelniają równanie $$x_1^2+x_2^2=3$$.
Zadanie 2.
Prosta o równaniu $$y=2 x+3$$ przecina parabole $$y=2 x^2-4 x+3$$ odpowiednio w punktach $$A$$ i $$B$$.
Wyznacz:
a) pole trójkata $$A S B$$, gdzie $$S$$ jest wierzcholkiem paraboli,
b) równanie stycznej do tej paraboli, równoleglej do prostej $$y=2 x+3$$.
Zadanie 3.
Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Udowodnij, że jego różnicą jest długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zadanie 4.
Wyznacz długość promienia podstawy i wysokości walca wpisanego w kulę o danym promieniu $$R$$ tak, aby jego objętość byla największa.
Zadanie 5.
Turysta chce rozpalić ognisko mając dwie zapalki i wiedząc, że w danych warunkach prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska jedną zapalka jest równe 0,6; natomiast prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska dwiema zlączonymi zapałkami wynosi 0,85. Przy którym z tych sposobów turysta ma większe szanse na rozpalenie ogniska?
