Liczby rzeczywiste
potęgi, logarytmy, procenty, wzory skróconego mnożenia, wartość bezwzględna, błąd względny i bezwzględny, itp.
Poziom podstawowy
Zadania otwarte z matur i informatorów maturalnych Centralnej Komisji Egzaminacyjnej od roku 2001 do chwili obecnej.
(opis zadań: przy każdym zadaniu podany jest rok, miesiąc, nr zadania, liczba punktów oraz oznaczenie dla arkuszy od roku 2015: NF - nowa formuła, SF - stara formuła)
Poziom podstawowy CKE
Zadanie 1. [2001 wrzesień, zad. 3. (3 pkt)]
Cena pewnego towaru wraz z \(7\%\) stawką podatku VAT była równa \(64,20\) złotych. Oblicz cenę tego towaru gdyby stawka podatku VAT była równa \(22 \%\) zamiast \(7 \%\).
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Zapisanie warunku opisującego cenę towaru wraz z \(7 \%\)
VAT- em, np. \(x+0,07 x=64,20\)
Obliczenie ceny towaru bez VAT-u: \(60\) złotych
Obliczenie ceny towaru ze zwiększoną stawką podatku VAT: \(73,20\) złotych
Zadanie 2. [2001 wrzesień, zad. 4. (3 pkt)]
Aby obliczyć odsetki od kapitału bankowcy stosują następujący wzór:
odsetki \(=\) liczba dni lokaty \(\quad \frac{\text { kapital } \text { oprocentowanie }}{\text { liczba dni w roku }}\)
\(\underline{\text { UWAGA: }}\) W zależnoścı od banku przyjmuje się,
że liczba dni w roku równa się \(360\) albo \(365\) . Notuje się wówczas
odsetki \(360\) albo odsetki \(365\) .
Dysponujesz kapitałem \(10000\) złotych, który chciałbyś ulokować na \(60\) dni. W dwóch bankach oprocentowanie jest takie samo i równa się \(15 \%\), zaś liczbę dni w roku jeden bank przyjmuje jako
\(360\), drugi jako \(365\) .
Stosując powyższy wzór oblicz odsetki od podanego kapitału w każdym z tych banków.
Która lokata jest korzystniejsza i o ile złotych?
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Obliczenie odsetek w banku, w którym liczba dni w roku przyjmowana jest jako \(360: \quad 250\) złotych
Obliczenie odsetek w banku, w którym liczba dni w roku przyjmowana jest jako
\(365: 246,58\) złotych
Podanie odpowiedzi: korzystniejsza o \(3,42\) zł jest lokata w banku, w którym liczba dni w roku jest przyjmowana jako
\(360\)
Zadanie 3. [2003 styczeń, zad. 3. (3 pkt)]
Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby \(27+10 \sqrt{2}\), zapiszemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco:
\[
\sqrt{27+10 \sqrt{2}}=\sqrt{25+10 \sqrt{2}+2}=\sqrt{(5)^{2}+2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{(5+\sqrt{2})^{2}}=5+\sqrt{2}
\]
Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość \(\sqrt{11+6 \sqrt{2}}\).
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Zapisanie liczby \(\sqrt{11+6 \sqrt{2}}\) w postaci \(\sqrt{9+6 \sqrt{2}+2}\).
Zapisanie liczby \(\sqrt{9+6 \sqrt{2}+2}\) w postaci \(\sqrt{(3)^{2}+2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}\).
Zapisanie liczby \(\sqrt{(3)^{2}+2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}\) w postaci \(\sqrt{(3+\sqrt{2})^{2}}\), a w konsekwencji w postaci uproszczonej: \(3+\sqrt{2}\).
Zadanie 4. [2005 grudzień, zad. 9. (7 pkt)]
Liczbę naturalną \(t_{n}\) nazywamy \(n\)-tą liczbą trójkątną, jeżeli jest ona sumą \(n\) kolejnych, początkowych liczb naturalnych. Liczbami trójkątnymi są zatem: \(t_{1}=1, t_{2}=1+2=3\), \(t_{3}=1+2+3=6, t_{4}=1+2+3+4=10, t_{5}=1+2+3+4+5=15\). Stosując tę definicję:
a) wyznacz liczbę \(t_{17}\).
b) ułóż odpowiednie równanie i zbadaj, czy liczba \(7626\) jest liczbą trójkątną.
c) wyznacz największą czterocyfrową liczbę trójkątną.
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Obliczenie sumy \(17\) kolejnych początkowych liczb naturalnych: \(153\) .
Zapisanie równania równoważnego równaniu:
\(7626=\frac{n \cdot(n+1)}{2}, n \in N^{+}\).
Rozwiązanie równania \(7626=\frac{n \cdot(n+1)}{2}\) i zapisanie, że liczba \(7626\) jest liczbą trójkątną \(\left(7626=t_{123}\right)\).
Zapisanie odpowiedniej nierówności, np.: \(\frac{n \cdot(n+1)}{2} \leq 9999, n \in N^{+}\).
Rozwiązanie nierówności \(n^{2}+n-19998 \leq 0: n \in\left\langle n_{1} ; n_{2}\right\rangle\), gdzie \(n_{1}=\frac{-1-\sqrt{79993}}{2}, n_{2}=\frac{-1+\sqrt{79993}}{2} .\)
Zapisanie, że największą liczbą naturalną spełniającą nierówność \(n^{2}+n-19998 \leq 0\) jest liczba \(n=140\).
Obliczenie największej czterocyfrowej liczby trójkątnej:
\[
t_{140}=\frac{140 \cdot 141}{2}=9870 \text {. }
\]
Zadanie 5. [2006 styczeń, zad. 1. (3 pkt)]
Dane są liczby: \(a=\frac{3 \sqrt{3}-4}{1+2 \sqrt{3}}\) i \(b=\sqrt{27} \cdot \frac{\left(\frac{1}{9}\right)^{3}}{3^{-5}}\).
a) Przedstaw liczbę \(a\) w postaci \(x+y \sqrt{3}\), gdzie \(x\) i \(y\) są liczbami wymiernymi.
b) Zapisz liczbę \(b\) w postaci potegi liczby \(3\) o wykładniku ułamkowym.
c) Suma liczb \(a\) i \(b\) stanowi \(80 \%\) pewnej liczby \(c\). Wyznacz liczbę \(c\).
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Przedstawienie liczby \(a\) w postaci \(x+y \sqrt{3}: \quad a=2-\sqrt{3}\).
Zapisanie liczby \(b\) w postaci potegi liczby \(3: b=3^{0,5}\).
Wyznaczenie liczby \(c\), której \(80 \%\) jest równe sumie liczb \(a\) i \(b: c=2,5\).
Zadanie 6. [2010 Informator CKE, zad. 3]
Przedstaw \(\frac{4^{-1}-3 \cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}}{5-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}}\) w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
\(\frac{-13}{6}\)
Zadanie 7. [2010 Informator CKE, zad. 7]
Na osi liczbowej zaznaczono przedział \(A\) złożony z tych liczb rzeczywistych, których odległość od punktu \(1\) jest niewiększa od \(4,5\). Przedział \(A\) przesunięto wzdłuż osi o \(2\) jednostki w kierunku dodatnim, otrzymując przedział \(B\). Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należa jednocześnie do \(A\) i do \(B\).
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Zaznaczamy na osi przedziały \(A\) i \(B\)
\(A=\left\langle-3 \frac{1}{2} ; 5 \frac{1}{2}\right\rangle\) oraz \(B=\left\langle-1 \frac{1}{2} ; 7 \frac{1}{2}\right\rangle .\)
W takim razie
\[
A \cap B=\left\langle-1 \frac{1}{2} ; 5 \frac{1}{2}\right\rangle \text {. }
\]
W przedziale tym jest \(7\) liczb całkowitych: \(-1,0,1,2,3,4,5\).
Odpowiedź: \(-1,0,1,2,3,4,5\)
Zadanie 8. [2010 Informator CKE, zad. 24]
Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich \(a\) i \(b\), spełniających nierówność \(\frac{5}{7}<\frac{a}{b}<\frac{6}{7}\).
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Ponieważ
\[
\begin{aligned}
&\frac{5}{7}=0,7143 \ldots \\
&\frac{6}{7}=0,8571 \ldots
\end{aligned}
\]
możemy wziąć \(\frac{a}{b}=0,8=\frac{4}{5}\).
Zadanie 9. [2010 Informator CKE, zad. 25]
Stosując wzory skróconego mnożenia rozłóż na czynniki wyrażenie \(1-a^{2}+2 a b-b^{2}\).
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Bẹdziemy korzystać ze wzorów
\[
\begin{aligned}
&(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2} \\
&x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)
\end{aligned}
\]
Liczymy
\[
\begin{aligned}
&1-a^{2}+2 a b-b^{2}=1-\left(a^{2}-2 a b+b^{2}\right)=1^{2}-(a-b)^{2}= \\
&=(1-a+b)(1+a-b)
\end{aligned}
\]
Odpowiedź: \((1-a+b)(1+a-b)\)
Zadanie 10. [2010 Informator CKE, zad. 27]
Liczby dodatnie \(a, b, c\) spełniają warunek: \(\log _{4} c=\log _{3} b=\log _{2} a=2\). Oblicz \(\sqrt{a b c}\).
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Z podanego warunku i definicji logarytmu mamy
\[
\begin{aligned}
&c=4^{2} \\
&b=3^{2} \\
&a=2^{2}
\end{aligned}
\]
Zatem
\[
\sqrt{a b c}=\sqrt{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 4^{2}}=2 \cdot 3 \cdot 4=24
\]
Zadanie 11. [2010 Informator CKE, zad. 35]
Wiadomo, że \(1,5849\) jest przybliżeniem liczby \(10^{0,2}\) z zaokragleniem do \(4\) miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie liczby \(10^{-\frac{4}{5}}\) z zaokrągleniem do \(3\) miejsc po przecinku oraz przybliżenie liczby \(10^{\frac{11}{5}}\) z zaokr agleniem do \(1\) miejsca po przecinku.
pokaż związanieukryj
rozwiązanie
Wiemy, że
\[
10^{0,2}=10^{\frac{1}{5}} \approx 1,5849
\]
Zatem
\[
\begin{aligned}
&10^{-\frac{4}{5}}=10^{\frac{1}{5}-1}=\frac{10^{\frac{1}{5}}}{10} \approx 0,15849 \approx 0,158 \\
&10^{\frac{11}{5}}=10^{2+\frac{1}{5}}=100 \cdot 10^{\frac{1}{5}} \approx 158,49 \approx 158,5 .
\end{aligned}
\]
Odpowiedź: \(10^{-\frac{4}{5}} \approx 0,158,10^{\frac{11}{5}} \approx 158,5\)
Zadanie 12. [2019 maj NF, zad. 33 (4 pkt)]
Liczby rzeczywiste \(x\) i \(z\) spełniają warunek \(2 x+z=1\). Wyznacz takie wartości \(x\) i \(z\), dla których wyrażenie \(x^{2}+z^{2}+7 x z\) przyjmuje najwiẹkszą wartość. Podaj tẹ największą wartość.
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Z równości \(2 x+z=1\) wyznaczamy jedną ze zmiennych w zależności od drugiej, np.: \(z=1-2 x\).
Wtedy wyrażenie \(x^{2}+z^{2}+7 x z\) możemy zapisać w postaci
\[
x^{2}+(1-2 x)^{2}+7 x(1-2 x) .
\]
Po otwarciu nawiasów i wykonaniu redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy
\[
x^{2}+1-4 x+4 x^{2}+7 x-14 x^{2}=-9 x^{2}+3 x+1 .
\]
Rozważmy funkcję kwadratową \(f\) określoną dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem
\[ f(x)=-9 x^{2}+3 x+1
\]
Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych do dołu.
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa \(p=\frac{-3}{-18}=\frac{1}{6}\), natomiast druga, \(q=\frac{5}{4}\).
Oznacza to, że dla \(x=\frac{1}{6}\) funkcja \(f\) osiąga największą wartość równą \(\frac{5}{4}\).
Gdy \(x=\frac{1}{6}\), to \(z=\frac{2}{3}\).
Zatem dla \(x=\frac{1}{6}\) i \(z=\frac{2}{3}\) wyrażenie \(x^{2}+z^{2}+7 x z\) osiąga największą wartość równą \(\frac{5}{4}\).
Zadanie 13. [2020 lipiec, zad. 27 (2 pkt)]
Dane są liczby \(a=3 \log _{2} 12-\log _{2} 27\) i \(b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3 \sqrt{6}+3 \sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Korzystając z własności działań na logarytmach otrzymujemy
\(a=3 \log _{2} 12-\log _{2} 27=3 \log _{2} 12-3 \log _{2} 3=3\left(\log _{2} 12-\log _{2} 3\right)=3 \log _{2} 4=6\)
Wykorzystując wzór skróconego mnożenia obliczamy liczbę \(b\)
\[
b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3 \sqrt{6}+3 \sqrt{7})=3(\sqrt{6}-\sqrt{7})(\sqrt{6}+\sqrt{7})=3 \cdot(-1)=-3 \text {. }
\]
A zatem liczba \(a\) jest większa od liczby \(b\) o \(9\) .
Zadanie 14.
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
Zadanie 15.
pokaż rozwiązanieukryj
rozwiązanie
