Równania i nierówności - matura od 2023 - poziom podstawowy

Zadania maturalne CKE (matura od 2023) - POZIOM PODSTAWOWY Odsłon: 32242

A

Sposób 1.
Rozwiązaniami równania postaci $$\frac{V(x)}{W(x)}=0$$ są takie liczby $$x_i$$, dla których:
$$
V\left(x_i\right)=0 \quad \text { oraz } \quad W\left(x_i\right) \neq 0
$$
Mianownik ułamka $$\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}$$ musi być różny od zera, zatem:
$$
(2 x-10)(x+3) \neq 0
$$

lloczyn jest różny od zera, gdy każdy z czynników iloczynu jest różnym od zera:
$$
\begin{array}{lll}
2 x-10 \neq 0 & \text { oraz } & x+3 \neq 0 \\
x \neq 5 & \text { oraz } & x \neq-3
\end{array}
$$
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest równy zero, zatem:
$$
(4 x+1)(x-5)=0
$$
lloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero:
$$
\begin{array}{lll}
4 x+1=0 & \text { lub } & x-5=0 \\
x=-\frac{1}{4} & \text { lub } & x=5
\end{array}
$$
Ponieważ $$x \neq 5$$, to rozwiązaniem równania jest liczba $$x=-\frac{1}{4}$$.
Sposób 2.
Wyrażenie po lewej stronie równania $$\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0$$ ma sens liczbowy, gdy:
$$
\begin{aligned}
&(2 x-10)(x+3) \neq 0 \\
&x \neq 5 \quad \text { oraz } \quad x \neq-3
\end{aligned}
$$
Zatem równanie $$\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0$$ jest określone dla $$x \in \mathbb{R} \backslash\{5,-3\}$$. Przekształcimy równoważnie równanie:
$$
\begin{aligned}
&\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0 \\
&\frac{(4 x+1)(x-5)}{2(x-5)(x+3)}=0 \\
&\frac{4 x+1}{2(x+3)}=0
\end{aligned}
$$
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest równy zero, zatem:
$$
\begin{aligned}
&4 x+1=0 \\
&x=-\frac{1}{4}
\end{aligned}
$$

Zauważmy, że równanie w tym zadaniu jest przykładem równania dwukwadratowego. Dlatego w równaniu $$(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0$$ podstawiamy $$z=(x-1)^2$$, gdzie $$z \geq 0$$, po czym otrzymujemy równanie kwadratowe $$z$$ niewiadomą $$z$$ :
$$
z^2-5 z+6=0 \quad z=(x-1)^2 \quad \text { gdzie } \quad z \geq 0
$$

Sposób 1, rozwiązania równania $$z^2-5 z+6=0$$
Rozwiążemy równanie kwadratowe wykorzystując metodę dopełnienia wyrażenia do pełnego kwadratu. Przekształcimy równoważnie trójmian kwadratowy po lewej stronie równania:
$$
\begin{aligned}
\left(z^2-5 z\right)+6 &=\left[z^2-2 \cdot \frac{5}{2} z+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]+6=\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+6=\\
&=\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}
\end{aligned}
$$
Rozwiążemy równanie po przekształceniu równoważnym:
$$\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$
$$\left|z-\frac{5}{2}\right|=\frac{1}{2}$$
$$z-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} \quad$$ lub $$\quad z-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$
$$z=3 \quad$$ lub $$\quad z=2$$
Sposób 2. rozwiązania równania $$z^2-5 z+6=0$$
Obliczymy tzw. wyróżnik równania kwadratowego (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych):
$$
\Delta_z=b^2-4 a c=(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6=1 .
$$
Ponieważ $$\Delta_z>0$$ to możemy zastosować gotowe wzory (podane w Wybranych wzorach matematycznych) na rozwiązania równania kwadratowego:
$$
z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_z}}{2 a} \quad z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_z}}{2 a}
$$
Rozwiązania równania kwadratowego:
$$
z_1=2 \quad \text { lub } \quad z_2=3
$$
Powracamy do podstawienia $$z=(x-1)^2$$ i wyznaczamy rozwiązania równania podanego w zadaniu:
$$\begin{array}{lll}(x-1)^2=2 & \text { lub } & (x-1)^2=3 \\ |x-1|=\sqrt{2} & \text { lub } & |x-1|=\sqrt{3}\end{array}$$
Stąd: $$x_{11}=\sqrt{2}+1$$ lub $$x_{12}=-\sqrt{2}+1$$ lub $$\quad x_{21}=\sqrt{3}+1$$ lub $$x_{22}=-\sqrt{3}+1$$

A

A

Przekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynu:
$$
\begin{gathered}
3 x^3-6 x^2-27 x+54=0 \\
3 x^2(x-2)-27(x-2)=0 \\
(x-2)\left(3 x^2-27\right)=0 \\
3(x-2)\left(x^2-9\right)=0
\end{gathered}
$$
Stąd otrzymujemy kolejno
$$
\begin{gathered}
x-2=0 \text { lub } \quad x^2-9=0 \\
x-2=0 \text { lub }(x-3)(x+3)=0 \\
x-2=0 \text { lub } x-3=0 \text { lub } x+3=0 \\
x=2 \text { lub } x=3 \text { lub } x=-3
\end{gathered}
$$

B
Komentarz
Wyznaczamy dziedzinę rówhania: $$D=R \backslash\{-1,1\}$$.
Licznik ułamka jest równy 0 , gdy
$$
\left(x^2+x\right)=0 \text { lub }(x+3)=0 \text { lub }(x-1)=0
$$
Zaten
$$
\begin{gathered}
x(x+1)=0 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=1 \\
x=0 \text { lub } x=-1 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=1
\end{gathered}
$$
Spośród tych czterech liczb do dziedziny należą tylko $$x=-3$$ oraz $$x=0$$,

C
Komentarz
Dany zbiór składa się z dwóch przedzialów, których końce są równo odległe od liczby (-2). Z własności wartości bezwzględnej mamy, że
$$|x-a| \geq r$$ wtedy i tylko wtedy, gdy $$x \leq a-r$$ lub $$x \geq a+r$$.
Zatem uwzględniając interpretację geometryczną możemy stwierdzić, że rozwiązaniem jest $$\mathrm{C}$$

Nierówność $$2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6$$ przekształcamy równoważnie:
$$
\begin{aligned}
&2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6 \\
&2 x-\sqrt{5} \cdot x \geq 3 \sqrt{5}-6 \\
&(2-\sqrt{5}) \cdot x \geq 3 \sqrt{5}-6
\end{aligned}
$$
Dzielimy obie strony nierówności przez $$(2-\sqrt{5})$$. Ponieważ liczba ta jest ujemna, więc należy pamiętać o odpowiedniej zmianie zwrotu nierówności.
$$
x \leq \frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}
$$
Upraszczamy ułamek $$\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}$$
$$
\begin{gathered}
x \leq \frac{-3(2-\sqrt{5})}{2-\sqrt{5}} \\
x \leq-3
\end{gathered}
$$

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $$2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6$$ jest $$(-\infty,-3]$$. Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność jest ( $$-3)$$.
Uwaga
Ułamek $$\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}$$ możemy uprościć, usuwając niewymierność z mianownika:
$$
\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}} \cdot \frac{2+\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=\frac{6 \sqrt{5}+15-12-6 \sqrt{5}}{2^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{3}{-1}=-3
$$

Sposób I
Zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania wyrazów
$$
-x^2(2 x-1)-9(2 x-1)=0 \text { lub } 2 x\left(-x^2+9\right)-1\left(-x^2+9\right)=0
$$
Stąd
$$
\begin{gathered}
\left(-x^2+9\right)(2 x-1)=0 \\
(3-x)(3+x)(2 x-1)=0
\end{gathered}
$$
Zatem rozwiązaniami równania są: $$x=-3$$ lub $$x=\frac{1}{2}$$ lub $$x=3$$.

Sposób II
Korzystamy z definicji podzielności wielomianu $$\mathrm{W}(x)$$ przez dwumian $$(x-a)$$. Obliczamy $$W(3)=0$$ i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu
$$W(x)=-2 x^3+x^2+18 x-9$$. Po podzieleniu wielomianu $$W$$ przez dwumian $$(x-3)$$ otrzymujemy iloraz $$\left(-2 x^2-5 x+3\right)$$.
Zapisujemy dane równanie w postaci
$$
(x-3)\left(-2 x^2-5 x+3\right)=0
$$
Stąd
$$
x-3=0, \text { lub }-2 x^2-5 x+3=0
$$
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
$$
\begin{gathered}
\Delta=(-5)^2-4 \cdot(-2) \cdot 3=25+24=49 \\
x_1=\frac{5-\sqrt{49}}{2 \cdot(-2)}=\frac{5-7}{-4}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \text { oraz } x_2=\frac{5+\sqrt{49}}{2 \cdot(-2)}=\frac{5+7}{-4}=\frac{12}{-4}=-3
\end{gathered}
$$
Rozwiązując równanie $$x-3=0$$, otrzymujemy: $$x=3$$.
Rozwiązania równania to: $$x=\frac{1}{2}$$ lub $$x=-3$$ lub $$x=3$$.

Sposób I
Przekształcamy lewą stronę równania $$-x^3+13 x-12=0$$ w sposób równoważny tak, aby otrzymać postać iloczynową wielomianu $$-x^3+13 x-12$$ :
$$
\begin{gathered}
-x^3+13 x-12=0 \\
-x^3+x+12 x-12=0 \\
-x\left(x^2-1\right)+12(x-1)=0 \\
-x(x-1)(x+1)+12(x-1)=0 \\
(x-1)[-x(x+1)+12]=0 \\
(x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0
\end{gathered}
$$
Korzystamy z własności iloczynu i zapisujemy równanie $$(x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0$$ jako alternatywę równań:
$$
x-1=0 \quad \text { lub } \quad-x^2-x+12=0
$$
Rozwiązując równanie $$x-1=0$$, otrzymujemy: $$x=1$$
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
$$
\begin{gathered}
\Delta=(-1)^2-4 \cdot(-1) \cdot 12=49 \\
x=\frac{1+7}{-2}=-4 \text { lub } x=\frac{1-7}{-2}=3
\end{gathered}
$$
Zatem rozwiązaniami równania są liczby: $$(-4), 1$$ oraz 3.

Sposób II
Korzystamy z definicji podzielności wielomianu $$\mathrm{W}(x)$$ przez dwumian $$(x-a)$$.
Obliczamy $$W(1)=0$$ i stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu
$$
W(x)=-x^3+13 x-12=0
$$
Po podzieleniu wielomianu $$W$$ przez dwumian $$(x-1)$$ otrzymujemy iloraz $$\left(-x^2-x+12\right)$$.
Zapisujemy dane równanie w postaci
$$
(x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0
$$
Stąd
$$
x-1=0 \text { lub }-x^2-x+12=0
$$
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
$$
\begin{aligned}
&\Delta=(-1)^2-4 \cdot(-1) \cdot 12=49 \\
&x=\frac{1+7}{-2}=-4 \text { lub } x=\frac{1-7}{-2}=3
\end{aligned}
$$
Rozwiązując równanie $$x-1=0$$, otrzymujemy: $$x=1$$
Rozwiązania równania to: $$x=-4$$ lub $$x=1$$ lub $$x=3$$.

C
Komentarz
Stosując wzory skróconego mnożenia na: $$(a+b)^2,(a-b)^2, a^2-b^2[\ldots]$$, otrzymujemy:
$$
\frac{3 x(x-2)(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)^2}=0
$$
Stąd
$$3 x=0$$ lub $$x-2=0$$ lub $$x-3=0$$ lub $$x+3=0$$
Zatem $$x=0$$ lub $$x=2$$ lub $$x=3$$ lub $$x=-3$$.
Ponieważ równanie ma sens, gdy $$x \neq 2$$ lub $$x \neq 3$$, więc jego rozwiązaniami są liczby
$$
x=0, x=-3 \text {. }
$$

B

A

A

B

C

D

A

Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
$$
\begin{gathered}
3 x^3-2 x^2-12 x+8=0 \\
x^2(3 x-2)-4(3 x-2)=0 \\
(3 x-2)\left(x^2-4\right)=0 \\
(3 x-2)(x-2)(x+2)=0 \\
3 x-2=0 \text { lub } x-2=0 \text { lub } x+2=0 \\
x=\frac{2}{3} \text { lub } x=2 \text { lub } x=-2
\end{gathered}
$$
Rozwiązaniami równania są liczby: $$(-2), \frac{2}{3}, 2$$.
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
$$
3 x^3-2 x^2-12 x+8=0
$$

$$
\begin{gathered}
3 x\left(x^2-4\right)-2\left(x^2-4\right)=0 \\
(3 x-2)\left(x^2-4\right)=0 \\
(3 x-2)(x-2)(x+2)=0 \\
3 x-2=0 \text { lub } x-2=0 \text { lub } x+2=0 \\
x=\frac{2}{3} \text { lub } x=2 \text { lub } x=-2
\end{gathered}
$$
Rozwiązaniami równania są liczby: $$(-2), \frac{2}{3}, 2$$.
Sposób III
Obliczamy $$W(2)=0$$ i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu $$W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8$$.
Zatem wielomian $$W$$ jest podzielny przez dwumian $$x-2$$. Dzielimy wielomian $$W$$ przez dwumian $$x-2$$ i otrzymujemy
$$
\left(3 x^3-2 x^2-12 x+8\right):(x-2)=3 x^2+4 x-4
$$
Zatem $$W(x)=(x-2)\left(3 x^2+4 x-4\right)$$.
Obliczamy pierwiastki trójmianu $$3 x^2+4 x-4$$ :
$$
\begin{gathered}
\Delta=4^2-4 \cdot 3 \cdot(-4)=64 \\
x=\frac{-4-8}{2 \cdot 3}=-2 \text { oraz } x=\frac{-4+8}{2 \cdot 3}=\frac{2}{3}
\end{gathered}
$$
Rozwiązaniami równania są liczby: $$(-2), \frac{2}{3}, 2$$.

Sposób IV
Obliczamy $$W(2)=0$$ i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu $$W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8$$
Obliczamy $$W(-2)=0$$ i stwierdzamy, że liczba $$(-2)$$ jest pierwiastkiem wielomianu $$W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8$$.
Obliczamy $$W\left(\frac{2}{3}\right)=0$$ i stwierdzamy, że liczba $$\frac{2}{3}$$ jest pierwiastkiem wielomianu $$W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8$$.
Ponieważ $$W$$ jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania $$3 x^3-2 x^2-12 x+8=0$$ są liczby: $$(-2), \frac{2}{3}, 2$$.

A

Przekształcamy nierówność równoważnie:
$$
\begin{gathered}
x(2 x-1)<2 x \\
2 x^2-x-2 x<0 \\
2 x^2-3 x<0 \\
2 x\left(x-\frac{3}{2}\right)<0
\end{gathered}
$$
Odczytujemy i zapisujemy pierwiastki trójmianu $$2 x\left(x-\frac{3}{2}\right): x=0$$ lub $$x=\frac{3}{2}$$. Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: $$\left(0, \frac{3}{2}\right)$$ lub $$x \in\left(0, \frac{3}{2}\right)$$, lub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi liczbowej
Inny sposób realizacji obliczenia pierwiastków trójmianu:
Przekształcamy równoważnie nierówność do postaci $$2 x^2-3 x<0$$, obliczamy wyróżnik $$\Delta$$ trójmianu $$2 x^2-3 x$$, a następnie pierwiastki tego trójmianu:
$$
\begin{gathered}
\Delta=(-3)^2-4 \cdot 2 \cdot 0=9 \\
x=\frac{-(-3)-3}{2 \cdot 2}=0 \text { lub } x=\frac{-(-3)+3}{2 \cdot 2}=\frac{3}{2}
\end{gathered}
$$

Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
$$
\begin{gathered}
x^3+4 x^2-9 x-36=0 \\
x^2(x+4)-9(x+4)=0 \\
(x+4)\left(x^2-9\right)=0 \\
(x+4)(x+3)(x-3)=0 \\
x+4=0 \text { lub } x+3=0 \text { lub } x-3=0 \\
x=-4 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=3
\end{gathered}
$$
Rozwiązaniami równania są liczby: $$(-4),(-3), 3$$.

B