Równania i nierówności - matura od 2023 - poziom podstawowy

Zadania maturalne CKE (matura od 2023) - POZIOM PODSTAWOWY Odsłon: 57997

A

Sposób 1.
Rozwiązaniami równania postaci $$\frac{V(x)}{W(x)}=0$$ są takie liczby $$x_i$$ , dla których:
$$V\left(x_i\right)=0 \quad \text { oraz } \quad W\left(x_i\right) \neq 0$$
Mianownik ułamka $$\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}$$ musi być różny od zera, zatem:
$$(2 x-10)(x+3) \neq 0$$

lloczyn jest różny od zera, gdy każdy z czynników iloczynu jest różnym od zera:
$$\begin{array}{lll} 2 x-10 \neq 0 & \text { oraz } & x+3 \neq 0 \\ x \neq 5 & \text { oraz } & x \neq-3 \end{array}$$
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest równy zero, zatem:
$$(4 x+1)(x-5)=0$$
lloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero:
$$\begin{array}{lll} 4 x+1=0 & \text { lub } & x-5=0 \\ x=-\frac{1}{4} & \text { lub } & x=5 \end{array}$$
Ponieważ $$x \neq 5$$ , to rozwiązaniem równania jest liczba $$x=-\frac{1}{4}$$ .
Sposób 2.
Wyrażenie po lewej stronie równania $$\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0$$ ma sens liczbowy, gdy:
$$\begin{aligned} &(2 x-10)(x+3) \neq 0 \\ &x \neq 5 \quad \text { oraz } \quad x \neq-3 \end{aligned}$$
Zatem równanie $$\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0$$ jest określone dla $$x \in \mathbb{R} \backslash\{5,-3\}$$ . Przekształcimy równoważnie równanie:
$$\begin{aligned} &\frac{(4 x+1)(x-5)}{(2 x-10)(x+3)}=0 \\ &\frac{(4 x+1)(x-5)}{2(x-5)(x+3)}=0 \\ &\frac{4 x+1}{2(x+3)}=0 \end{aligned}$$
Gdy mianownik ułamka jest różny od zera, to ułamek jest wtedy równy zero, gdy licznik jest równy zero, zatem:
$$\begin{aligned} &4 x+1=0 \\ &x=-\frac{1}{4} \end{aligned}$$

Zauważmy, że równanie w tym zadaniu jest przykładem równania dwukwadratowego. Dlatego w równaniu $$(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0$$ podstawiamy $$z=(x-1)^2$$ , gdzie $$z \geq 0$$ , po czym otrzymujemy równanie kwadratowe $$z$$ niewiadomą $$z$$ :
$$z^2-5 z+6=0 \quad z=(x-1)^2 \quad \text { gdzie } \quad z \geq 0$$

Sposób 1, rozwiązania równania $$z^2-5 z+6=0$$
Rozwiążemy równanie kwadratowe wykorzystując metodę dopełnienia wyrażenia do pełnego kwadratu. Przekształcimy równoważnie trójmian kwadratowy po lewej stronie równania:
$$\begin{aligned} \left(z^2-5 z\right)+6 &=\left[z^2-2 \cdot \frac{5}{2} z+\left(\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]+6=\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+6=\\ &=\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4} \end{aligned}$$
Rozwiążemy równanie po przekształceniu równoważnym:
$$\left(z-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$$
$$\left|z-\frac{5}{2}\right|=\frac{1}{2}$$
$$z-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} \quad$$ lub $$\quad z-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$
$$z=3 \quad$$ lub $$\quad z=2$$
Sposób 2. rozwiązania równania $$z^2-5 z+6=0$$
Obliczymy tzw. wyróżnik równania kwadratowego (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych):
$$\Delta_z=b^2-4 a c=(-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6=1 .$$
Ponieważ $$\Delta_z>0$$ to możemy zastosować gotowe wzory (podane w Wybranych wzorach matematycznych) na rozwiązania równania kwadratowego:
$$z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta_z}}{2 a} \quad z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta_z}}{2 a}$$
Rozwiązania równania kwadratowego:
$$z_1=2 \quad \text { lub } \quad z_2=3$$
Powracamy do podstawienia $$z=(x-1)^2$$ i wyznaczamy rozwiązania równania podanego w zadaniu:
$$\begin{array}{lll}(x-1)^2=2 & \text { lub } & (x-1)^2=3 \\ |x-1|=\sqrt{2} & \text { lub } & |x-1|=\sqrt{3}\end{array}$$
Stąd: $$x_{11}=\sqrt{2}+1$$ lub $$x_{12}=-\sqrt{2}+1$$ lub $$\quad x_{21}=\sqrt{3}+1$$ lub $$x_{22}=-\sqrt{3}+1$$

A

A

Przekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynu:
$$\begin{gathered} 3 x^3-6 x^2-27 x+54=0 \\ 3 x^2(x-2)-27(x-2)=0 \\ (x-2)\left(3 x^2-27\right)=0 \\ 3(x-2)\left(x^2-9\right)=0 \end{gathered}$$
Stąd otrzymujemy kolejno
$$\begin{gathered} x-2=0 \text { lub } \quad x^2-9=0 \\ x-2=0 \text { lub }(x-3)(x+3)=0 \\ x-2=0 \text { lub } x-3=0 \text { lub } x+3=0 \\ x=2 \text { lub } x=3 \text { lub } x=-3 \end{gathered}$$

B
Komentarz
Wyznaczamy dziedzinę rówhania: $$D=R \backslash\{-1,1\}$$ .
Licznik ułamka jest równy 0 , gdy
$$\left(x^2+x\right)=0 \text { lub }(x+3)=0 \text { lub }(x-1)=0$$
Zaten
$$\begin{gathered} x(x+1)=0 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=1 \\ x=0 \text { lub } x=-1 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=1 \end{gathered}$$
Spośród tych czterech liczb do dziedziny należą tylko $$x=-3$$ oraz $$x=0$$ ,

C
Komentarz
Dany zbiór składa się z dwóch przedzialów, których końce są równo odległe od liczby (-2). Z własności wartości bezwzględnej mamy, że
$$|x-a| \geq r$$ wtedy i tylko wtedy, gdy $$x \leq a-r$$ lub $$x \geq a+r$$ .
Zatem uwzględniając interpretację geometryczną możemy stwierdzić, że rozwiązaniem jest $$\mathrm{C}$$

Nierówność $$2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6$$ przekształcamy równoważnie:
$$\begin{aligned} &2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6 \\ &2 x-\sqrt{5} \cdot x \geq 3 \sqrt{5}-6 \\ &(2-\sqrt{5}) \cdot x \geq 3 \sqrt{5}-6 \end{aligned}$$
Dzielimy obie strony nierówności przez $$(2-\sqrt{5})$$ . Ponieważ liczba ta jest ujemna, więc należy pamiętać o odpowiedniej zmianie zwrotu nierówności.
$$x \leq \frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}$$
Upraszczamy ułamek $$\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}$$
$$\begin{gathered} x \leq \frac{-3(2-\sqrt{5})}{2-\sqrt{5}} \\ x \leq-3 \end{gathered}$$

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $$2 x \geq \sqrt{5} \cdot x+3 \sqrt{5}-6$$ jest $$(-\infty,-3]$$ . Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność jest ( $$-3)$$ .
Uwaga
Ułamek $$\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}$$ możemy uprościć, usuwając niewymierność z mianownika:
$$\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{5}-6}{2-\sqrt{5}} \cdot \frac{2+\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=\frac{6 \sqrt{5}+15-12-6 \sqrt{5}}{2^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{3}{-1}=-3$$

Sposób I
Zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania wyrazów
$$-x^2(2 x-1)-9(2 x-1)=0 \text { lub } 2 x\left(-x^2+9\right)-1\left(-x^2+9\right)=0$$
Stąd
$$\begin{gathered} \left(-x^2+9\right)(2 x-1)=0 \\ (3-x)(3+x)(2 x-1)=0 \end{gathered}$$
Zatem rozwiązaniami równania są: $$x=-3$$ lub $$x=\frac{1}{2}$$ lub $$x=3$$ .

Sposób II
Korzystamy z definicji podzielności wielomianu $$\mathrm{W}(x)$$ przez dwumian $$(x-a)$$ . Obliczamy $$W(3)=0$$ i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu
$$W(x)=-2 x^3+x^2+18 x-9$$ . Po podzieleniu wielomianu $$W$$ przez dwumian $$(x-3)$$ otrzymujemy iloraz $$\left(-2 x^2-5 x+3\right)$$ .
Zapisujemy dane równanie w postaci
$$(x-3)\left(-2 x^2-5 x+3\right)=0$$
Stąd
$$x-3=0, \text { lub }-2 x^2-5 x+3=0$$
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
$$\begin{gathered} \Delta=(-5)^2-4 \cdot(-2) \cdot 3=25+24=49 \\ x_1=\frac{5-\sqrt{49}}{2 \cdot(-2)}=\frac{5-7}{-4}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \text { oraz } x_2=\frac{5+\sqrt{49}}{2 \cdot(-2)}=\frac{5+7}{-4}=\frac{12}{-4}=-3 \end{gathered}$$
Rozwiązując równanie $$x-3=0$$ , otrzymujemy: $$x=3$$ .
Rozwiązania równania to: $$x=\frac{1}{2}$$ lub $$x=-3$$ lub $$x=3$$ .

Sposób I
Przekształcamy lewą stronę równania $$-x^3+13 x-12=0$$ w sposób równoważny tak, aby otrzymać postać iloczynową wielomianu $$-x^3+13 x-12$$ :
$$\begin{gathered} -x^3+13 x-12=0 \\ -x^3+x+12 x-12=0 \\ -x\left(x^2-1\right)+12(x-1)=0 \\ -x(x-1)(x+1)+12(x-1)=0 \\ (x-1)[-x(x+1)+12]=0 \\ (x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0 \end{gathered}$$
Korzystamy z własności iloczynu i zapisujemy równanie $$(x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0$$ jako alternatywę równań:
$$x-1=0 \quad \text { lub } \quad-x^2-x+12=0$$
Rozwiązując równanie $$x-1=0$$ , otrzymujemy: $$x=1$$
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
$$\begin{gathered} \Delta=(-1)^2-4 \cdot(-1) \cdot 12=49 \\ x=\frac{1+7}{-2}=-4 \text { lub } x=\frac{1-7}{-2}=3 \end{gathered}$$
Zatem rozwiązaniami równania są liczby: $$(-4), 1$$ oraz 3.

Sposób II
Korzystamy z definicji podzielności wielomianu $$\mathrm{W}(x)$$ przez dwumian $$(x-a)$$ .
Obliczamy $$W(1)=0$$ i stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu
$$W(x)=-x^3+13 x-12=0$$
Po podzieleniu wielomianu $$W$$ przez dwumian $$(x-1)$$ otrzymujemy iloraz $$\left(-x^2-x+12\right)$$ .
Zapisujemy dane równanie w postaci
$$(x-1)\left(-x^2-x+12\right)=0$$
Stąd
$$x-1=0 \text { lub }-x^2-x+12=0$$
Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymamy:
$$\begin{aligned} &\Delta=(-1)^2-4 \cdot(-1) \cdot 12=49 \\ &x=\frac{1+7}{-2}=-4 \text { lub } x=\frac{1-7}{-2}=3 \end{aligned}$$
Rozwiązując równanie $$x-1=0$$ , otrzymujemy: $$x=1$$
Rozwiązania równania to: $$x=-4$$ lub $$x=1$$ lub $$x=3$$ .

C
Komentarz
Stosując wzory skróconego mnożenia na: $$(a+b)^2,(a-b)^2, a^2-b^2[\ldots]$$ , otrzymujemy:
$$\frac{3 x(x-2)(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)^2}=0$$
Stąd
$$3 x=0$$ lub $$x-2=0$$ lub $$x-3=0$$ lub $$x+3=0$$
Zatem $$x=0$$ lub $$x=2$$ lub $$x=3$$ lub $$x=-3$$ .
Ponieważ równanie ma sens, gdy $$x \neq 2$$ lub $$x \neq 3$$ , więc jego rozwiązaniami są liczby
$$x=0, x=-3 \text {. }$$

B

A

A

B

C

D

A

Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
$$\begin{gathered} 3 x^3-2 x^2-12 x+8=0 \\ x^2(3 x-2)-4(3 x-2)=0 \\ (3 x-2)\left(x^2-4\right)=0 \\ (3 x-2)(x-2)(x+2)=0 \\ 3 x-2=0 \text { lub } x-2=0 \text { lub } x+2=0 \\ x=\frac{2}{3} \text { lub } x=2 \text { lub } x=-2 \end{gathered}$$
Rozwiązaniami równania są liczby: $$(-2), \frac{2}{3}, 2$$ .
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
$$3 x^3-2 x^2-12 x+8=0$$

$$\begin{gathered} 3 x\left(x^2-4\right)-2\left(x^2-4\right)=0 \\ (3 x-2)\left(x^2-4\right)=0 \\ (3 x-2)(x-2)(x+2)=0 \\ 3 x-2=0 \text { lub } x-2=0 \text { lub } x+2=0 \\ x=\frac{2}{3} \text { lub } x=2 \text { lub } x=-2 \end{gathered}$$
Rozwiązaniami równania są liczby: $$(-2), \frac{2}{3}, 2$$ .
Sposób III
Obliczamy $$W(2)=0$$ i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu $$W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8$$ .
Zatem wielomian $$W$$ jest podzielny przez dwumian $$x-2$$ . Dzielimy wielomian $$W$$ przez dwumian $$x-2$$ i otrzymujemy
$$\left(3 x^3-2 x^2-12 x+8\right):(x-2)=3 x^2+4 x-4$$
Zatem $$W(x)=(x-2)\left(3 x^2+4 x-4\right)$$ .
Obliczamy pierwiastki trójmianu $$3 x^2+4 x-4$$ :
$$\begin{gathered} \Delta=4^2-4 \cdot 3 \cdot(-4)=64 \\ x=\frac{-4-8}{2 \cdot 3}=-2 \text { oraz } x=\frac{-4+8}{2 \cdot 3}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$
Rozwiązaniami równania są liczby: $$(-2), \frac{2}{3}, 2$$ .

Sposób IV
Obliczamy $$W(2)=0$$ i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu $$W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8$$
Obliczamy $$W(-2)=0$$ i stwierdzamy, że liczba $$(-2)$$ jest pierwiastkiem wielomianu $$W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8$$ .
Obliczamy $$W\left(\frac{2}{3}\right)=0$$ i stwierdzamy, że liczba $$\frac{2}{3}$$ jest pierwiastkiem wielomianu $$W(x)=3 x^3-2 x^2-12 x+8$$ .
Ponieważ $$W$$ jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania $$3 x^3-2 x^2-12 x+8=0$$ są liczby: $$(-2), \frac{2}{3}, 2$$ .

A

Przekształcamy nierówność równoważnie:
$$\begin{gathered} x(2 x-1)<2 x \\ 2 x^2-x-2 x<0 \\ 2 x^2-3 x<0 \\ 2 x\left(x-\frac{3}{2}\right)<0 \end{gathered}$$
Odczytujemy i zapisujemy pierwiastki trójmianu $$2 x\left(x-\frac{3}{2}\right): x=0$$ lub $$x=\frac{3}{2}$$ . Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: $$\left(0, \frac{3}{2}\right)$$ lub $$x \in\left(0, \frac{3}{2}\right)$$ , lub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi liczbowej
Inny sposób realizacji obliczenia pierwiastków trójmianu:
Przekształcamy równoważnie nierówność do postaci $$2 x^2-3 x<0$$ , obliczamy wyróżnik $$\Delta$$ trójmianu $$2 x^2-3 x$$ , a następnie pierwiastki tego trójmianu:
$$\begin{gathered} \Delta=(-3)^2-4 \cdot 2 \cdot 0=9 \\ x=\frac{-(-3)-3}{2 \cdot 2}=0 \text { lub } x=\frac{-(-3)+3}{2 \cdot 2}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
$$\begin{gathered} x^3+4 x^2-9 x-36=0 \\ x^2(x+4)-9(x+4)=0 \\ (x+4)\left(x^2-9\right)=0 \\ (x+4)(x+3)(x-3)=0 \\ x+4=0 \text { lub } x+3=0 \text { lub } x-3=0 \\ x=-4 \text { lub } x=-3 \text { lub } x=3 \end{gathered}$$
Rozwiązaniami równania są liczby: $$(-4),(-3), 3$$ .

B

D

B

Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:

$$\begin{gathered} 3 x^{3}-2 x^{2}-3 x+2=0 \\ x^{2}(3 x-2)-(3 x-2)=0 \\ (3 x-2)\left(x^{2}-1\right)=0 \\ (3 x-2)(x-1)(x+1)=0 \\ 3 x-2=0 \quad \text { lub } x-1=0 \quad \text { lub } x+1=0 \\ x=\frac{2}{3} \quad \text { lub } x=1 \text { lub } x=-1 \end{gathered}$$

Rozwiązaniami równania są liczby: $(-1), \frac{2}{3}, 1$.

A

Przekształcamy równanie równoważnie, stosując metodę grupowania wyrazów:

$$\begin{gathered} 2 x^{3}+3 x^{2}=10 x+15 \\ 2 x^{3}+3 x^{2}-10 x-15=0 \\ x^{2}(2 x+3)-5(2 x+3)=0 \\ (2 x+3)\left(x^{2}-5\right)=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (2 x+3)(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0 \\ 2 x+3=0 \quad \text { lub } \quad x-\sqrt{5}=0 \quad \text { lub } \quad x+\sqrt{5}=0 \\ x=-\frac{3}{2} \quad \text { lub } \quad x=\sqrt{5} \quad \text { lub } \quad x=-\sqrt{5} \end{gathered}$$

Rozwiązaniami równania są liczby: $(-\sqrt{5}),\left(-\frac{3}{2}\right), \sqrt{5}$.

B

A

Przeksztalcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
$$\begin{gathered} 4 x^3-12 x^2-x+3=0 \\ 4 x^2(x-3)-(x-3)=0 \\ (x-3)\left(4 x^2-1\right)=0 \\ (x-3)(2 x-1)(2 x+1)=0 \\ x-3=0 \text { lub } 2 x-1=0 \text { lub } 2 x+1=0 \\ x=3 \text { lub } x=\frac{1}{2} \text { lub } x=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Rozwiązaniami równania są liczby: $\left(-\frac{1}{2}\right), \frac{1}{2}, 3$.

Sposób I

Każde z wyrażeń: $\frac{x+3}{x-1}, \frac{x}{2 x-2}$ ma sens liczbowy dla $x \neq 1$.
Przekształcamy równanie równoważnie:
$$\begin{gathered} \frac{x+3}{x-1}=\frac{x}{2 x-2} / \cdot 2(x-1), \text { gdzie } x \neq 1 \\ 2(x+3)=x, \text { gdzie } x \neq 1 \end{gathered}$$

Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe:
$$\begin{gathered} 2 x+6=x \\ x=-6 \end{gathered}$$

Rozwiązaniem równania $\frac{x+3}{x-1}=\frac{x}{2 x-2}$ jest liczba (-6).

Sposób II

Każde z wyrażeń: $\frac{x+3}{x-1}, \frac{x}{2 x-2}$ ma sens liczbowy dla $x \neq 1$.
Przekształcamy równanie równoważnie:
$$\begin{gathered} \frac{x+3}{x-1}=\frac{x}{2 x-2} \\ (x+3)(2 x-2)=x(x-1), \text { gdzie } x \neq 1 \end{gathered}$$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:
$$\begin{gathered} 2 x^{2}-2 x+6 x-6=x^{2}-x \\ x^{2}+5 x-6=0 \end{gathered}$$

Obliczamy wyróżnik trójmianu $x^{2}+5 x-6$ :
$$\Delta=5^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-6)=49$$

Stąd
$$\begin{aligned} & x_{1}=\frac{-5-\sqrt{49}}{2 \cdot 1}=-6 \\ & x_{2}=\frac{-5+\sqrt{49}}{2 \cdot 1}=1 \end{aligned}$$

Wobec założenia $x \neq 1$ jedynym rozwiązaniem równania $\frac{x+3}{x-1}=\frac{x}{2 x-2}$ jest liczba ( -6 ).

Zapisujemy nierówność w postaci $x^{2}-6 x-7 \leq 0$ i obliczamy miejsca zerowe funkcji $y=x^{2}-6 x-7$.

Obliczamy wyróżnik trójmianu $x^{2}-6 x-7$ :
$$\Delta=(-6)^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-7)=64$$

Stąd
$$\begin{aligned} & x_{1}=\frac{-(-6)-\sqrt{64}}{2 \cdot 1}=-1 \\ & x_{2}=\frac{-(-6)+\sqrt{64}}{2 \cdot 1}=7 \end{aligned}$$

Szkicujemy wykres funkcji $y=x^{2}-6 x-7$.
Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie.

Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział [-1, 7].