Zadanie 1. [2021 Informator CKE, zad.43]
Dany jest prostopadłościan $$A B C D E F G H$$, w którym prostokąty $$A B C D$$ $$i E F G H$$ są jego postawami. Odcinek $$B H$$ jest przekątną tego prostopadłościanu.
Zadanie 1.1. [2021 Informator CKE, zad.43.1, 1 pkt]
Na którym rysunku prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt $$\alpha$$ pomiędzy przekątną $$\boldsymbol{B H}$$ prostopadłościanu a jego ścianą boczną $$A D H E$$ ? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
C
Zadanie 1.2. [2021 Informator CKE, zad.43.2, 4 pkt]
W prostopadłościanie $$A B C D E F G H$$ dane są:
$$
\operatorname{tg} \beta=\frac{9}{7} \quad|B G|=2 \cdot \sqrt{130} \quad|B H|=2 \cdot \sqrt{194}
$$
gdzie odcinek $$B H$$ jest przekątną prostopadłościanu, odcinek $$B G$$ jest przekątną ściany bocznej $$B C G F, \beta$$ jest miarą kąta $$\ G B C$$. Sytuację ilustruje rysunek poniżej.
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu $$A B C D E F G H$$.
Wprowadzimy oznaczenia dla odcinków (jak na rysunku obok) długości krawędzi prostopadłościanu oznaczymy przez $$a, b, c$$, a przekątną prostopadłościanu i przekątną ściany $$B C G F$$ oznaczymy przez $$d$$ oraz $$e$$. Warunki zadania zapiszemy jako:
$$
\operatorname{tg} \beta=\frac{9}{7} \quad e=2 \cdot \sqrt{130} \quad d=2 \cdot \sqrt{194}
$$
1. Wyznaczymy zależność między $$b$$ a $$c$$ w trójkącie $$B C G$$ :
$$
\operatorname{tg} \beta=\frac{c}{b}=\frac{9}{7} \quad \text { stąd } \quad c=\frac{9}{7} b
$$
2. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $$B C G$$, w celu obliczenia $$b$$ i $$c$$ :
$$
b^2+c^2=e^2
$$
Wykorzystamy związek z pkt. 1 :
$$
\begin{aligned}
&b^2+\left(\frac{9}{7} b\right)^2=(2 \cdot \sqrt{130})^2 \\
&\frac{130}{49} b^2=520 \\
&b^2=196
\end{aligned}
$$
zatem
$$
b=14 \quad \text { oraz } \quad c=\frac{9}{7} \cdot 14=18
$$
3. Zauważmy, że trójkąt $$B G H$$ jest prostokątny (kąt prosty jest przy wierzchołku $$G$$ ). Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego $$B G H$$, w celu obliczenia $$a$$.
$$
\begin{aligned}
&e^2+a^2=d^2 \\
&(2 \cdot \sqrt{130})^2+a^2=(2 \cdot \sqrt{194})^2 \\
&a^2=256 \\
&a=16
\end{aligned}
$$
4. Obliczymy pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
$$
\begin{aligned}
&P_c=2 a b+2 b c+2 a c \\
&P_c=2 \cdot 16 \cdot 14+2 \cdot 14 \cdot 18+2 \cdot 16 \cdot 18 \\
&P_c=1528
\end{aligned}
$$
Zadanie 2. [2021 Informator CKE, zad.44, 1 pkt]
Dane są dwa prostopadłościany podobne: $$\mathcal{B}_1$$ oraz $$\mathcal{B}_2$$. Objętość prostopadłościanu $$\mathcal{B}_1$$ jest równa $$V$$, a objętość prostopadłościanu $$\mathcal{B}_2$$ jest równa $$27 \mathrm{~V}$$. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu $$\mathcal{B}_1$$ jest równe $$P$$.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu $$\mathcal{B}_2$$ jest równe
B 3
Zadanie 3. [2021 Informator CKE, zad.45]
Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy $$d=20 \mathrm{~cm}$$, wysokości $$H=25 \mathrm{~cm}$$ i tworzącej $$l$$.
Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską $$A B S$$ o kształcie wycinka koła o promieniu $$l$$ i środku $$S$$ (zobacz rysunek 1.). Następnie wycięla tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek $$S B$$ z odcinkiem $$S A$$ (zobacz rysunek 2.).
Do obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.
Zadanie 3.1. [2021 Informator CKE, zad.45.1, 1 pkt]
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kąt rozwarcia stożka, którego powierzchnią boczną jest czapeczka, ma miarę (w zaokrągleniu do $$\left.1^{\circ}\right)$$
A. $$44^{\circ}$$
B. $$136^{\circ}$$
C. $$22^{\circ}$$
D. $$68^{\circ}$$
Wskazówka: skorzystaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.
A
Zadanie 3.2. [2021 Informator CKE, zad.45.2, 3 pkt]
Oblicz miarę kąta $$\angle B S A$$ wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka opisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta $$\angle B S A$$ podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.
Wprowadzimy oznaczenia:
$$S_{A B}$$ - długość łuku $$A B$$ wycinka koła $$A B S$$.
$$P_{A B S}$$ - pole wycinka koła $$A B S$$.
$$r=\frac{d}{2}$$ - promień okreegu w podstawie stożka.
$$\alpha=|\angle B S A|$$ - miara kąta $$\angle B S A$$ wycinka koła.
$$\beta$$ - połowa miary kąta rozwarcia stożka.
Sposób 1.
Wyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).
1. Zauważmy, że z łuku $$A B$$ wycinka koła powstał okrąg w podstawie stożkowej czapeczki. Zatem długość łuku $$A B$$ jest równa długości (obwodowi) okręgu w podstawie stożka. Zastosujemy wzór na długość łuku $$A B$$ oraz wzór na obwód okręgu:
$$
\begin{aligned}
&s_{A B}=\text { Obw }_{\text {podstawy }} \\
&\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi l=2 \pi r \\
&\alpha=\frac{r}{l} \cdot 360^{\circ}
\end{aligned}
$$
Uwaga
Zauważmy, że otrzymany wzór zadaje nadzwyczaj prostą relację między kątem wycinka koła i kątem rozwarcia stożka:
$$
\alpha=\sin \beta \cdot 360^{\circ}
$$
2. Wyrazimy $$l$$ poprzez $$H$$ i $$d$$ na podstawie twierdzenia Pitagorasa:
$$
\begin{aligned}
&l^2=H^2+r^2 \quad \text { zatem } \quad l^2=H^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2 \\
&l=\sqrt{H^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2}
\end{aligned}
$$
3. Zapiszemy wzór na miarę kąta $$\alpha$$ i ją obliczymy:
$$
\begin{aligned}
&\alpha=\frac{\frac{d}{2}}{\sqrt{H^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2}} \cdot 360^{\circ} \\
&\alpha=\frac{10}{\sqrt{25^2+10^2}} \cdot 360^{\circ} \\
&\alpha \approx 134^{\circ}
\end{aligned}
$$
Sposób 2.
Wyprowadzimy wzór końcowy na symbolach danych (pominiemy obliczenia pośrednie).
1. Zauważmy, że pole $$A B S$$ wycinka koła jest równe polu powierzchni bocznej stożka (polu powierzchni czapeczki). Zastosujemy wzór na pole $$A B S$$ wycinka koła oraz wzór na pole powierzchni bocznej stożka:
$$
\begin{aligned}
&P_{A B S}=P_b \\
&\frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi l^2=\pi r l \\
&\alpha=\frac{r}{l} \cdot 360^{\circ}
\end{aligned}
$$
Krok 2. i 3. Jak w sposobie 1.
Zadanie 4. [2022 marzec, zad.25, 1 pkt]
Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt $$A B C D$$, w którym bok $$B C$$ odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa).
Przekątna $$A C$$ tego prostokąta ma długość 16 i tworzy z bokiem $$B C$$ kąt o mierze $$30^{\circ}$$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
A. 8
B. $$8 \sqrt{3}$$
C. $$2 \sqrt{3}$$
D. 2
D
Zadanie 5. [2022 marzec, zad.26, 1 pkt]
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny $$A B C S$$ o podstawie $$A B C$$. Punkty $$D, E$$ i $$F$$ sa środkami - odpowiednio - krawędzi bocznych $$A S, B S$$ i $$C S$$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Stosunek objętości ostrosłupa DEFS do objętości ostrosłupa ABCS jest równy
A. $$3: 4$$
B. $$1: 4$$
C. $$1: 8$$
D. $$3: 8$$
C
Zadanie 6. [2022 marzec, zad.27, 1 pkt]
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny $$A B C D E F$$ (zobacz rysunek).
Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt $$\alpha$$ pomiędzy ścianą boczną $$A C F D$$ i przekątną $$A E$$ ściany bocznej $$A B E D$$ tego graniastosłupa? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A
Zadanie 7. [2022 wrzesień, zad.25, 3 pkt]
Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość $$10 \sqrt{3}$$, a każda jego krawędź boczna ma długość 15 .
Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku $$10 \sqrt{3}$$.
Ponieważ krawędzie boczne ostrosłupa mają taką samą długość, spodek wysokości ostrosłupa jest punktem jednakowo odległym od wierzchołków podstawy bryły, czyli jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.
Obliczamy promień $$R$$ okręgu opisanego na podstawie: $$R=\frac{10 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3}=10$$.
Oznaczmy przez $$A, B, C, S$$ wierzchołki ostrosłupa, przez $$S^{\prime}$$ - spodek wysokości $$H$$ opuszczonej z wierzchołka $$S$$ na podstawe $$A B C$$ (patrz rysunek). Stosujemy do trójkąta $$A S^{\prime} S$$ twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy kolejno
$$
\begin{gathered}
\left|A S^{\prime}\right|^2+\left|S^{\prime} S\right|^2=|S A|^2 \\
R^2+H^2=|S A|^2 \\
10^2+H^2=15^2 \\
H^2=225-100 \\
H=5 \sqrt{5}
\end{gathered}
$$
Wysokość ostrosłupa jest równa $$5 \sqrt{5}$$.
Zadanie 8. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.51, 2 pkt]
Krawędź czworościanu $$A B C S$$ ma długość $$a$$. Punkty $$D$$ i $$E$$ są środkami boków odpowiednio $$A C$$ i $$B C$$ (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta $$D E S$$. Zapisz obliczenia.
Trójkąt $$E C D$$ jest równoboczny, ponieważ jest równoramienny i kąt przy wierzchołku $$C$$ ma miarę $$60^{\circ}$$. Zatem $$|D E|=\frac{1}{2} a$$.
Odcinki $$S E$$ i $$S D$$ są wysokościami ścian bocznych, zatem $$|S E|=|S D|=\frac{a \sqrt{3}}{2}$$.
Trójkąt $$D E S$$ ma wówczas boki długości: $$\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}$$
Do obliczenia jego pola potrzebujemy wielkości $$p$$ - połowy jego obwodu:
$$
\begin{gathered}
p=\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{a}{2}+\frac{a \sqrt{3}}{2}+\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)=\frac{a(1+2 \sqrt{3})}{4} \\
P_{\Delta}=\sqrt{\frac{a(1+2 \sqrt{3})}{4}\left(\frac{a(1+2 \sqrt{3})}{4}-\frac{a}{2}\right)\left(\frac{a(1+2 \sqrt{3})}{4}-\frac{a \sqrt{3}}{2}\right)^2} \\
P_{\Delta}=\sqrt{\frac{a(1+2 \sqrt{3})}{4} \cdot \frac{a(2 \sqrt{3}-1)}{4} \cdot\left(\frac{a}{4}\right)^2} \\
P_{\Delta}=\frac{a^2 \sqrt{11}}{16}
\end{gathered}
$$
Zadanie 9. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.52, 2 pkt]
Dany jest sześcian $$A B C D E F G H$$ o krawędzi długości $$a$$. Punkty $$A, B, D$$ i $$E$$ są wierzchołkami ostrosłupa.
Oblicz pole powierzchni ostrosłupa $$A B D E$$.
Zapisz obliczenia.
Pole ostrosłupa $$A B D E$$ jest równe sumie pól trzech przystających trójkątów równoramiennych prostokątnych $$(A B D, A B E$$ i $$A D E)$$ oraz trójkąta równobocznego $$B D E$$
Trójkąt prostokątny stanowi połowę ściany sześcianu , zatem jego pole to $$\frac{1}{2} a^2$$. Bok trójkąta równobocznego jest przekątną ściany bocznej sześcianu, zatem ma długość $$a \sqrt{2}$$. Jego pole to $$\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}$$
Obliczamy pole powierzchni ostrosłupa $$A B D E$$, dodając pola trzech trójkątów prostokątnych i pole trójkąta równobocznego:
$$
P=3 \cdot \frac{1}{2} a^2+\frac{a^2 \sqrt{3}}{2}=\frac{a^2(3+\sqrt{3})}{2}
$$
Zadanie 10. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.53, 2 pkt]
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 2 i wysokości 8. Wpisano w niego sześcian w taki sposób, że dolna podstawa sześcianu zawiera się w podstawie ostrosłupa, a krawędzie jego górnej podstawy zawierają się w ścianach bocznych ostrosłupa (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
$$1 . P$$
$$2 . F$$
$$3 . P$$
Zadanie 11. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.54, 1 pkt]
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, o krawędzi podstawy a oraz wysokości $$h$$. Wpisano w niego ostrosłup prawidłowy czworokątny w taki sposób, że krawędzie podstawy ostrosłupa i graniastosłupa pokrywają się, zaś górny wierzchołek ostrosłupa jest środkiem podstawy górnej graniastosłupa (zobacz rysunek).
Niech $$F$$ będzie bryłą powstałą po wycięciu ostrosłupa z graniastosłupa.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Różnica objętości bryły $$F$$ i objętości ostrosłupa jest równa
A. $$\frac{1}{3} a^2 h$$
B. $$\frac{2}{3} a^2 h$$
C. $$\frac{1}{3} a h^2$$
D. $$\frac{2}{3} a h^2$$
A
Zadanie 12. [2022 Zbiór zadań CKE, zad.55, 1 pkt]
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym $$A B C S$$ zaznaczono środki krawędzi $$A B, A C$$ i $$A S$$
odpowiednio punktami $$D, E, F$$ (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz $$P$$, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
F P
Zadanie 13. [2022 grudzień, zad.30]
Dany jest sześcian $$A B C D E F G H$$ o krawędzi długości 9. Wierzchołki podstawy $$A B C D$$ sześcianu połączono odcinkami z punktem $$W$$, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy $$E F G H$$. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny $$A B C D W$$ (zobacz rysunek).
Zadanie 13.1. [2022 grudzień, zad.30.1., 1 pkt]
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość $$V$$ ostrosłupa $$A B C D W$$ jest równa
A. 243
B. 364,5
C. 489
D. 729
A
Zadanie 13.2. [2022 grudzień, zad.30.2., 2 pkt]
Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
Zapisz obliczenia.
Sposób I
Oznaczamy przez $$O$$ spodek wysokości ostrosłupa $$A B C D W$$. Wtedy wysokość ostrosłupa jest równa $$|O W|=9$$.
Odcinek $$A C$$ jest przekątną kwadratu o boku 9, zatem jego długość jest równa $$9 \sqrt{2}$$. Odcinek $$A O$$ stanowi jego połowę, więc $$|A O|=\frac{9 \sqrt{2}}{2}$$.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $$A O W$$ mamy:
$$
|A O|^2+|O W|^2=|A W|^2
$$
Podstawiamy długości odcinków:
$$
\begin{gathered}
\left(\frac{9 \sqrt{2}}{2}\right)^2+9^2=|A W|^2 \\
|A W|^2=9^2\left(\frac{2}{4}+1\right) \\
|A W|=\frac{9 \sqrt{6}}{2}
\end{gathered}
$$
Oznaczamy kąt WAO przez $$\alpha$$. Obliczamy cosinus kąta $$\alpha$$ :
$$
\cos \alpha=\frac{|A O|}{|A W|}=\frac{\frac{9 \sqrt{2}}{2}}{\frac{9 \sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}
$$
Sposób II
Oznaczamy przez $$O$$ spodek wysokości ostrosłupa $$A B C D W$$. Wtedy wysokość ostrosłupa jest równa $$|O W|=9$$.
Odcinek $$A C$$ jest przekątną kwadratu o boku 9, zatem jego długość jest równa $$9 \sqrt{2}$$. Odcinek $$A O$$ stanowi jego połowę, więc $$|A O|=\frac{9 \sqrt{2}}{2}$$.
Oznaczamy kąt $$W A O$$ przez $$\alpha$$.
$$
\operatorname{tg} \alpha=\frac{|O W|}{|A O|}=\frac{9}{\frac{9 \sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}
$$
$$\operatorname{tg} \alpha=\frac{|O W|}{|A O|}=\frac{9}{\frac{9 \sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$$
Korzystając z tożsamości trygonometrycznej $$\operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$, mamy
$$
\begin{gathered}
\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\sqrt{2} \\
\sin \alpha=\sqrt{2} \cos \alpha
\end{gathered}
$$
Stąd z tożsamości $$\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1$$ mamy
$$
\begin{gathered}
2 \cos ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1 \\
3 \cos ^2 \alpha=1 \\
\cos ^2 \alpha=\frac{1}{3}
\end{gathered}
$$
Ponieważ kąt $$\alpha$$ jest ostry, więc
$$
\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}
$$
Zadanie 14. [2022 grudzień, zad.31., 1 pkt]
Dany jest sześcian $$\mathcal{F}$$ o krawędzi długości $$a$$ i objętości $$V$$ oraz sześcian $$\mathcal{G}$$ o krawędzi długości $$3 a$$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość sześcianu $$\mathcal{G}$$ jest równa
A. $$3 \mathrm{~V}$$
B. $$9 \mathrm{~V}$$
C. $$18 \mathrm{~V}$$
D. $$27 \mathrm{~V}$$
D
Zadanie 15. [2023 maj, zad.25., 1 pkt]
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15 . Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $$\alpha$$ takim, że $$\cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}$$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A. $$15 \sqrt{2}$$
B. 45
C. $$5 \sqrt{2}$$
D. 10
B
Zadanie 16. [2023 maj, zad.26, 4 pkt]
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $$30^{\circ}$$ i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunkı $$a$$ - długość krawędzi podstawy, $$H$$ - wysokość ostrosłupa.
Zauważamy, że $$a>0$$ i $$H>0$$. Ponieważ $$O$$ jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, to $$|O E|=\frac{1}{2} a$$. W trójkącie prostokątnym $$S O E$$ mamy
$$
\sin 30^{\circ}=\frac{|S O|}{|S E|}=\frac{H}{6}
$$
Zatem
$$
H=6 \cdot \sin 30^{\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3
$$
Ponadto
$$
\cos 30^{\circ}=\frac{|O E|}{|S E|}=\frac{\frac{1}{2} a}{6}=\frac{a}{12}
$$
Stąd
$$
a=12 \cdot \cos 30^{\circ}=12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6 \sqrt{3}
$$
Obliczamy objętość $$V$$ ostrosłupa:
$$
V=\frac{1}{3} \cdot(6 \sqrt{3})^2 \cdot 3=108
$$
Obliczamy pole powierzchni całkowitej $$P_c$$ ostrosłupa:
$$
P_c=(6 \sqrt{3})^2+4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{3} \cdot 6=108+72 \sqrt{3}
$$
Zadanie 17. [2023 maj, zad.27, 1 pkt]
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby $$W$$ wszystkich wierzchołków do liczby $$K$$ wszystkich krawędzi jest równy $$\frac{W}{K}=\frac{3}{5}$$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Podstawą tego ostrosłupa jest
A. kwadrat.
B. pięciokąt foremny.
C. sześciokąt foremny.
D. siedmiokąt foremny.
B
Zadanie 18. [2023 czerwiec, zad.29]
Dany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6 . Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
Zadanie 18.1. [2023 czerwiec, zad.29.1, 1 pkt]
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu.
Objętość tego ostrosłupa jest równa ................
144
Zadanie 18.2. [2023 czerwiec, zad.29.2, 1 pkt]
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy
A. $$\sqrt{2}$$
B. $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$
C. $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$
D. $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
A
Zadanie 19. [2023 czerwiec, zad.30, 1 pkt]
Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny $$A B C D E F A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} E^{\prime} F^{\prime}$$, w którym krawędź podstawy ma długość 5 . Przekątna $$A D^{\prime}$$ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $$45^{\circ}$$ (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
A. 12,5
B. 25
C. 50
D. 100
C
Zadanie 20. [2023 sierpień, zad.29]
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.
Zadanie 20.1. [2023 sierpień, zad.29.1, 1 pkt]
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
A. \(216+18 \sqrt{3}\)
B. \(216+54 \sqrt{3}\)
C. \(216+216 \sqrt{3}\)
D. \(216+108 \sqrt{3}\)
D
Zadanie 20.2. [2023 sierpień, zad.29.2, 1 pkt]
Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
\(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
Zadanie 21. [2023 grudzień, zad.25, 1 pkt]
Dany jest sześcian \(A B C D E F G H\) o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt \(P\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma odległości punktu \(P\) od wszystkich ścian sześcianu \(A B C D E F G H\) jest równa
A. 15
B. 20
C. 25
D. 30
A
Zadanie 22. [2023 grudzień, zad.26, 3 pkt]
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg} \alpha=\frac{4}{3}\) (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Przyjmujemy oznaczenia:
\(\alpha\) - miara kąta pomiędzy wysokością ściany bocznej a podstawą.
\(a\) - długość krawędzi podstawy,
\(H\) - wysokość ostrosłupa,
\(h_{b}\) - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,
\(V\) - objętość ostrosłupa,
\(P_{p}\) - pole podstawy ostrosłupa.
Zauważamy, że \(\alpha \in\left(0^{\circ}, 90^{\circ}\right)\) oraz \(a>0, H>0\) i \(h_{b}>0\).
Ponieważ \(O\) jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, więc \(|O E|=\frac{1}{2} a\).
W trójkącie prostokątnym SOE mamy
\[\operatorname{tg} \alpha=\frac{|S O|}{|O E|}=\frac{H}{\frac{1}{2} a}=\frac{4}{3}\]
Zatem \(|S O|=4 x\) oraz \(|O E|=3 x\) (zobacz rysunek)
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:
\[\begin{gathered}
|S E|^{2}=|S O|^{2}+|O E|^{2} \\
\left(h_{b}\right)^{2}=H^{2}+\left(\frac{1}{2} a\right)^{2} \\
\left(h_{b}\right)^{2}=(4 x)^{2}+(3 x)^{2}=16 x^{2}+9 x^{2}=25 x^{2} \\
h_{b}=5 x
\end{gathered}\]
Ponadto
\[V=\frac{1}{3} \cdot P p \cdot H=\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot H=\frac{1}{3} \cdot(6 x)^{2} \cdot 4 x=\frac{1}{3} \cdot 36 x^{2} \cdot 4 x=48 x^{3}\]
Stąd, że \(V=384\), otrzymujemy
\[\begin{aligned}
48 x^{3} & =384 \\
x^{3} & =8 \\
x & =2
\end{aligned}\]
Obliczamy wysokość \(h_{b}\) ściany bocznej ostrosłupa:
\[h_{b}=5 x=10\]
Zadanie 23. [2024 maj, zad.25, 1+1 pkt]
Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek).
Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \(15 \sqrt{3}\).
Zadanie 25.1. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
A. \(36 \sqrt{10}\)
B. 60
C. \(6 \sqrt{10}\)
D. 360
Zadanie 25.2. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku
Zadanie 25.1.
C
Zadanie 25.2.
D
Zadanie 24. [2024 maj, zad.26, 1 pkt]
Ostrosłup \(F_{1}\) jest podobny do ostrosłupa \(F_{2}\).
Objętość ostrosłupa \(F_{1}\) jest równa 64.
Objętość ostrosłupa \(F_{2}\) jest równa 512 .
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.
Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_{2}\) do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_{1}\) jest równy \(\qquad\) ..........
4
Zadanie 25. [2024 czerwiec, zad.25, 1 pkt]
Ostrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
A. 2025
B. 2026
C. 4048
D. 4052
C
Zadanie 26. [2024 czerwiec, zad.26, 1 pkt]
Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2 \sqrt{2}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość tego sześcianu jest równa
A. 8
B. 24
C. \(\frac{16 \sqrt{6}}{9}\)
D. \(16 \sqrt{2}\)
A
Zadanie 27. [2024 czerwiec, zad.27, 1 pkt]
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4.
Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\operatorname{tg} \alpha=2\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wysokość tego graniastosłupa jest równa
A. 2
B. 8
C. \(8 \sqrt{2}\)
D. \(16 \sqrt{2}\)
C
