Średnia ważona
Średnia ważona pozwala obliczyć średnią z danych, w których poszczególne wartości mają różną ważność (wagę).
Definicja
Średnia ważona liczb \[ x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n \] z wagami \[ w_1,w_2,w_3,\ldots,w_n \] wyraża się wzorem \[ x_w= \frac{x_1w_1+x_2w_2+x_3w_3+\ldots+x_nw_n} {w_1+w_2+w_3+\ldots+w_n} \]Wagi \(w_1,w_2,\ldots,w_n\) powinny być liczbami nieujemnymi.
Przykłady
Przykład 1
Średnia ważona liczb
\[6,3,5,2\]
z wagami odpowiednio
\[2,1,3,4\]
wynosi
\[
x_w=
\frac{6\cdot2+3\cdot1+5\cdot3+2\cdot4}{2+1+3+4}
\]
\[
x_w=\frac{12+3+15+8}{10}
\]
\[
x_w=\frac{38}{10}=3{,}8
\]
Przykład 2
Średnia ważona liczb
\[\frac12,\;2,\;4\]
z wagami
\[3,2,1\]
wynosi
\[
x_w=
\frac{\frac12\cdot3+2\cdot2+4\cdot1}{3+2+1}
\]
\[
x_w=
\frac{\frac32+4+4}{6}
\]
\[
x_w=\frac{19}{12}
\]
Zadania
Zadanie 1
Oblicz średnią ważoną liczb
\[5,7,4\]
z wagami
\[2,3,1\]
Rozwiązanie
\[ x_w= \frac{5\cdot2+7\cdot3+4\cdot1}{2+3+1} \] \[ x_w=\frac{10+21+4}{6} \] \[ x_w=\frac{35}{6} \]
Zadanie 2
Oblicz średnią ważoną liczb
\[8,3,6,2\]
z wagami
\[1,2,2,3\]
Rozwiązanie
\[ x_w= \frac{8\cdot1+3\cdot2+6\cdot2+2\cdot3}{1+2+2+3} \] \[ x_w=\frac{8+6+12+6}{8} \] \[ x_w=\frac{32}{8}=4 \]
Zadanie 3
Oblicz średnią ważoną liczb
\[1,4,7\]
z wagami
\[2,5,3\]
Rozwiązanie
\[ x_w= \frac{1\cdot2+4\cdot5+7\cdot3}{2+5+3} \] \[ x_w=\frac{2+20+21}{10} \] \[ x_w=\frac{43}{10}=4{,}3 \]
Zadanie 4
Oblicz średnią ważoną liczb
\[3,5,9\]
z wagami
\[4,2,1\]
Rozwiązanie
\[ x_w= \frac{3\cdot4+5\cdot2+9\cdot1}{4+2+1} \] \[ x_w=\frac{12+10+9}{7} \] \[ x_w=\frac{31}{7} \]
Zadanie 5
Oblicz średnią ważoną liczb
\[2,6,10,4\]
z wagami
\[1,3,2,2\]
Rozwiązanie
\[ x_w= \frac{2\cdot1+6\cdot3+10\cdot2+4\cdot2}{1+3+2+2} \] \[ x_w=\frac{2+18+20+8}{8} \] \[ x_w=\frac{48}{8}=6 \]