Odchylenie standardowe
Definicja
Odchylenie standardowe liczb \[x_1,x_2,\ldots,x_n\] jest równe \[ \sigma= \sqrt{ \frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n} } \] gdzie \[\bar{x}\] oznacza średnią arytmetyczną danych liczb.Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji:
\[ \sigma=\sqrt{\sigma^2} \]Przykłady
Przykład 1
Oblicz odchylenie standardowe liczb
\[2,6,4\]
Rozwiązanie
Średnia: \[ \bar{x}=\frac{2+6+4}{3}=4 \] Wariancja: \[ \sigma^2= \frac{(2-4)^2+(6-4)^2+(4-4)^2}{3} = \frac{4+4+0}{3} = \frac{8}{3} \] Odchylenie standardowe: \[ \sigma=\sqrt{\frac{8}{3}} \]Przykład 2
Oblicz odchylenie standardowe liczb
\[3,5,7\]
Rozwiązanie
Średnia: \[ \bar{x}=\frac{3+5+7}{3}=5 \] Wariancja: \[ \sigma^2= \frac{(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3} \] Odchylenie standardowe: \[ \sigma=\sqrt{\frac{8}{3}} \]Zadania
Zadanie 1
Oblicz odchylenie standardowe liczb
\[1,3,5\]
Rozwiązanie
\[\bar{x}=3\] \[ \sigma^2= \frac{(1-3)^2+(3-3)^2+(5-3)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3} \] \[ \sigma=\sqrt{\frac{8}{3}} \]Zadanie 2
Oblicz odchylenie standardowe liczb
\[4,6,8\]
Rozwiązanie
\[\bar{x}=6\] \[ \sigma^2= \frac{(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3} \] \[ \sigma=\sqrt{\frac{8}{3}} \]Zadanie 3
Oblicz odchylenie standardowe liczb
\[2,5,8\]
Rozwiązanie
\[\bar{x}=5\] \[ \sigma^2= \frac{(2-5)^2+(5-5)^2+(8-5)^2}{3} = \frac{9+0+9}{3} = 6 \] \[ \sigma=\sqrt6 \]Zadanie 4
Tabela przedstawia wyniki sprawdzianu.
Oblicz średnią ocen oraz odchylenie standardowe.
| Oceny | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Liczba uczniów | 2 | 4 | 7 | 5 | 2 |
Rozwiązanie
Liczba uczniów: \[n=20\] Średnia: \[ \bar{x}= \frac{6\cdot2+5\cdot4+4\cdot7+3\cdot5+2\cdot2}{20} = \frac{79}{20} = 3{,}95 \] Teraz wariancja: \[ \sigma^2= \frac{ 2(6-3.95)^2+ 4(5-3.95)^2+ 7(4-3.95)^2+ 5(3-3.95)^2+ 2(2-3.95)^2 }{20} \] Po obliczeniu: \[ \sigma^2 \approx 1.35 \] Odchylenie standardowe: \[ \sigma \approx \sqrt{1.35} \approx 1.16 \]