Twierdzenie
Potęga o wykładniku ujemnym (zamiana na ułamek)
Jeśli wykładnik jest ujemny, to potęga oznacza odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim:
\[
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}
\qquad (a\neq 0,\; n\in\mathbb{N})
\]
\[
\begin{split}
5^{-2} &= \frac{1}{5^2}=\frac{1}{25},\\[2pt]
\left(\frac{3}{7}\right)^{-1} &= \frac{7}{3}.
\end{split}
\]
Najważniejsze: znak „–” w wykładniku nie robi z podstawy potęgi liczby ujemnej — tylko przenosi podstawę do mianownika.
Przykłady
1Przykład
\[
2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}
\]
2Przykład
\[
10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}
\]
3Przykład
\[
(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}
\]
4Przykład
\[
\left(\frac{5}{2}\right)^{-1}=\frac{2}{5}
\]
5Przykład
\[
\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}
=\left(\frac{4}{3}\right)^2
=\frac{16}{9}
\]
6Przykład
\[
(7a)^{-3}=\frac{1}{(7a)^3}=\frac{1}{343a^3}
\quad (a\neq 0)
\]
7Przykład
\[
(2x^2)^{-1}=\frac{1}{2x^2}
\quad (x\neq 0)
\]
8Przykład
\[
\left(\frac{6x}{5}\right)^{-2}
=\left(\frac{5}{6x}\right)^2
=\frac{25}{36x^2}
\quad (x\neq 0)
\]
9Przykład
\[
\frac{3^{-2}}{5^{-2}}
=\frac{\frac{1}{3^2}}{\frac{1}{5^2}}
=\frac{1}{9}\cdot 25
=\frac{25}{9}
\]
10Przykład
\[
\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{5}
=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}
=\frac{4}{9}
\]
11Przykład
\[
(x-4)^{-2}=\frac{1}{(x-4)^2}
\quad (x\neq 4)
\]
12Przykład
\[
\left(\sqrt{5}\right)^{-4}
=\frac{1}{(\sqrt{5})^{4}}
=\frac{1}{5^{2}}
=\frac{1}{25}
\]
