Twierdzenie
Iloczyn potęg o tej samej podstawie
Jeśli potęgi mają tę samą podstawę, to przy ich mnożeniu dodajemy wykładniki:
\[
a^m \cdot a^n = a^{m+n}
\]
Przykłady
1Przykład
\[
7^3 \cdot 7^5 = 7^{3+5} = 7^8
\]
2Przykład
\[
2^9 \cdot 2^4 = 2^{9+4} = 2^{13}
\]
3Przykład
\[
10^{-2} \cdot 10^7 = 10^{-2+7} = 10^5
\]
4Przykład
\[
\left(\frac{1}{3}\right)^6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2
= \left(\frac{1}{3}\right)^{6+2}
= \left(\frac{1}{3}\right)^8
\]
5Przykład
\[
(\sqrt{5})^9 \cdot (\sqrt{5})^3
= (\sqrt{5})^{9+3}
= (\sqrt{5})^{12}
\]
6Przykład
\[
\pi^4 \cdot \pi^{-9}
= \pi^{4-9}
= \pi^{-5}
= \frac{1}{\pi^5}
\]
7Przykład
\[
(3x-1)^5 \cdot (3x-1)^2
= (3x-1)^{5+2}
= (3x-1)^7
\]
8Przykład
\[
a^4 \cdot a^{-7}
= a^{4-7}
= a^{-3}
= \frac{1}{a^3}
\]
9Przykład
\[
\left(\frac{2x-3}{5}\right)^6 \cdot \left(\frac{2x-3}{5}\right)^{-2}
= \left(\frac{2x-3}{5}\right)^{6-2}
= \left(\frac{2x-3}{5}\right)^4
\]
10Przykład
\[
9^{\frac12} \cdot 9^{\frac32}
= 9^{\frac12+\frac32}
= 9^2
= 81
\]
11Przykład
\[
\left(\frac{3a-2}{2a+1}\right)^{5}\cdot \left(\frac{3a-2}{2a+1}\right)^{-12}\cdot \left(\frac{3a-2}{2a+1}\right)^{4}
= \left(\frac{3a-2}{2a+1}\right)^{5-12+4}
= \left(\frac{3a-2}{2a+1}\right)^{-3}
= \left(\frac{2a+1}{3a-2}\right)^3
\]
