Twierdzenie
Iloczyn potęg o tym samym wykładniku
Jeśli potęgi mają ten sam wykładnik, to przy ich mnożeniu mnożymy podstawy:
\[
a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n
\]
Przykłady
1Przykład
\[
4^2\cdot 7^2=(4\cdot 7)^2=28^2
\]
2Przykład
\[
3^5\cdot 2^5=(3\cdot 2)^5=6^5
\]
3Przykład
\[
8^6\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6
=\left(8\cdot \frac{1}{2}\right)^6
=4^6
\]
4Przykład
\[
\left(\frac{2}{3}\right)^4\cdot \left(\frac{9}{5}\right)^4
=\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{5}\right)^4
=\left(\frac{18}{15}\right)^4
=\left(\frac{6}{5}\right)^4
\]
5Przykład
\[
\pi^9\cdot 3^9=(\pi\cdot 3)^9=(3\pi)^9
\]
6Przykład
\[
(\sqrt{2})^8\cdot (\sqrt{8})^8
=(\sqrt{2}\cdot \sqrt{8})^8
=(\sqrt{16})^8
=4^8
\]
7Przykład
\[
(a-1)^3\cdot (2a+5)^3
=\big((a-1)(2a+5)\big)^3
\]
8Przykład
\[
(-2)^{11}\cdot 5^{11}
=((-2)\cdot 5)^{11}
=(-10)^{11}
\]
9Przykład
\[
(0.1)^5\cdot 30^5
=(0.1\cdot 30)^5
=3^5
\]
10Przykład
\[
\left(\frac{x}{4}\right)^7\cdot \left(\frac{8}{x}\right)^7
=\left(\frac{x}{4}\cdot \frac{8}{x}\right)^7
=2^7
=128
\quad (x\neq 0)
\]
11Przykład
\[
(\sqrt{5})^7\cdot (\sqrt{20})^7
=(\sqrt{5}\cdot \sqrt{20})^7
=(\sqrt{100})^7
=10^7
\]
