Definicje
Potęga o wykładniku całkowitym dodatnim
Niech \(n\) będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\) definiujemy \(n\)-tą potęgę:
\[
a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\ \text{razy}}
\]
Pierwiastek arytmetyczny stopnia \(n\)
Pierwiastkiem arytmetycznym \(\sqrt[n]{a}\) stopnia \(n\) z liczby \(a\ge 0\) nazywamy liczbę \(b\ge 0\) taką, że
\(b^n=a\).
\[
b^n=a \quad\Longleftrightarrow\quad b=\sqrt[n]{a}
\]
W szczególności, dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) prawdziwa jest równość:
\[
\sqrt{a^2}=|a|
\]
Pierwiastki z liczb ujemnych
Jeżeli \(a<0\) oraz liczba \(n\) jest nieparzysta, to \(\sqrt[n]{a}\) oznacza liczbę \(b<0\) taką, że \(b^n=a\).
W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.
Rozszerzenia definicji potęgi
Wykładnik zerowy i ujemny
Niech \(m,n\) będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:
\(\;a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\;\) dla \(\;a\neq 0\)
\(\;a^0=1\;\) dla \(\;a\neq 0\)
Wykładnik wymierny
Dla \(a\ge 0\) oraz \(m,n\in\mathbb{Z}\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n>1\), przyjmujemy:
\(\;a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\;\) dla \(\;a\ge 0\)
\(\;a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\;\) dla \(\;a>0\)
Prawa działań na potęgach
Wzory dla wykładników rzeczywistych
Niech \(r,s\) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli \(a>0\) i \(b>0\), to:
Iloczyn potęg o tej samej podstawie
\[a^r\cdot a^s=a^{r+s}\]
Iloraz potęg o tej samej podstawie
\[\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\]
Potęga potęgi
\[(a^r)^s=a^{r\cdot s}\]
Potęga iloczynu
\[(a\cdot b)^r=a^r\cdot b^r\]
Potęga ilorazu
\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^r=\dfrac{a^r}{b^r}\]
Jeżeli wykładniki \(r,s\) są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb \(a\neq 0\) i \(b\neq 0\).
