Twierdzenie
Działania na potęgach i pierwiastkach – poziom zaawansowany (ściąga)
Definicja potęgi o wykładniku wymiernym:
\[
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},
\qquad
a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^{k}},
\qquad
a^{-\frac{k}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{k}{n}}}
\]
Własności potęg:
\[
a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad
\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\ne 0),\quad
(a^m)^n=a^{mn}
\]
\[
(ab)^n=a^n b^n,\quad
\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\ (b\ne 0)
\]
Przejścia między pierwiastkami i potęgami:
\[
\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}},
\qquad
\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},
\qquad
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\ (b\ne 0)
\]
Wskazówka: w zadaniach zaawansowanych często najlepiej zamienić wszystko na potęgi,
uporządkować wykładniki (wspólny mianownik), a na końcu ewentualnie wrócić do pierwiastków.
Zadania (ok. 40) – przykłady i rozwiązania
1Oblicz: \(49^{\frac12}\)
Rozwiązanie
\[
49^{\frac12}=\sqrt{49}=7
\]
2Oblicz: \(0{,}0016^{\frac14}\)
Rozwiązanie
\[
0{,}0016=16\cdot 10^{-4}
\]
\[
0{,}0016^{\frac14}=(16\cdot 10^{-4})^{\frac14}=16^{\frac14}\cdot 10^{-1}=2\cdot 0{,}1=0{,}2
\]
3Oblicz: \(64^{\frac{4}{3}}\)
Rozwiązanie
\[
64^{\frac{4}{3}}=\left(\sqrt[3]{64}\right)^4=4^4=256
\]
4Oblicz: \((0{,}25)^{-\frac12}\)
Rozwiązanie
\[
(0{,}25)^{-\frac12}=\left(\frac14\right)^{-\frac12}
=\frac{1}{\sqrt{\frac14}}=\frac{1}{\frac12}=2
\]
5Oblicz: \(32^{\frac45}\)
Rozwiązanie
\[
32=2^5\ \Rightarrow\ 32^{\frac45}=(2^5)^{\frac45}=2^4=16
\]
6Oblicz: \(243^{\frac35}\)
Rozwiązanie
\[
243=3^5\ \Rightarrow\ 243^{\frac35}=(3^5)^{\frac35}=3^3=27
\]
7Oblicz: \((0{,}125)^{-\frac23}\)
Rozwiązanie
\[
0{,}125=\frac18=2^{-3}
\]
\[
\left(2^{-3}\right)^{-\frac23}=2^{(-3)\cdot\left(-\frac23\right)}=2^2=4
\]
8Oblicz: \(\left(3\frac{3}{8}\right)^{-\frac23}\)
Rozwiązanie
\[
3\frac{3}{8}=\frac{27}{8}
\]
\[
\left(\frac{27}{8}\right)^{-\frac23}=\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac23}
=\left(\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\right)^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}
\]
9Oblicz: \(16^{\frac34}\)
Rozwiązanie
\[
16^{\frac34}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8
\]
10Oblicz: \(81^{-\frac34}\)
Rozwiązanie
\[
81^{-\frac34}=\left(\frac{1}{81}\right)^{\frac34}
=\left(\sqrt[4]{\frac{1}{81}}\right)^3=\left(\frac13\right)^3=\frac{1}{27}
\]
11Oblicz: \(\left(\frac18\right)^{\frac53}\)
Rozwiązanie
\[
\left(\frac18\right)^{\frac53}=\left[\left(\frac18\right)^{\frac13}\right]^5
=\left(\frac12\right)^5=\frac{1}{32}
\]
12Oblicz: \(\left(\frac{2\sqrt2}{3\sqrt3}\right)^{\frac23}\)
Rozwiązanie
\[
\left(\frac{2\sqrt2}{3\sqrt3}\right)^{\frac23}
=\sqrt[3]{\left(\frac{2\sqrt2}{3\sqrt3}\right)^2}
=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}
=\frac{2}{3}
\]
13Oblicz: \(2^{\frac12}\cdot 32^{\frac12}+72^{\frac13}:9^{\frac13}\)
Rozwiązanie
\[
2^{\frac12}\cdot 32^{\frac12}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{32}=\sqrt{64}=8
\]
\[
72^{\frac13}:9^{\frac13}=\sqrt[3]{72}:\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{\frac{72}{9}}=\sqrt[3]{8}=2
\]
\[
8+2=10
\]
14Oblicz: \(48^{\frac12}\cdot 3^{\frac12}+25^{\frac13}\cdot 5^{\frac13}\)
Rozwiązanie
\[
\sqrt{48}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{144}=12
\]
\[
\sqrt[3]{25}\cdot \sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{125}=5
\]
\[
12+5=17
\]
15Oblicz: \(108^{\frac12}:3^{\frac12}-3^{\frac14}\cdot 27^{\frac14}\)
Rozwiązanie
\[
108^{\frac12}:3^{\frac12}=\sqrt{\frac{108}{3}}=\sqrt{36}=6
\]
\[
3^{\frac14}\cdot 27^{\frac14}=(81)^{\frac14}=3
\]
\[
6-3=3
\]
16Oblicz: \(\sqrt{2}\cdot \sqrt{50}-2^{\frac15}\cdot 16^{\frac15}\)
Rozwiązanie
\[
\sqrt{2}\cdot \sqrt{50}=\sqrt{100}=10
\]
\[
2^{\frac15}\cdot 16^{\frac15}=(32)^{\frac15}=2
\]
\[
10-2=8
\]
17Oblicz: \(\left(27^{\frac16}\right)^{-2}\)
Rozwiązanie
\[
\left(27^{\frac16}\right)^{-2}=27^{-\frac{2}{6}}=27^{-\frac13}=\frac{1}{\sqrt[3]{27}}=\frac{1}{3}
\]
18Oblicz: \(\left(49^{\frac15}\right)^{\frac52}\)
Rozwiązanie
\[
\left(49^{\frac15}\right)^{\frac52}=49^{\frac15\cdot \frac52}=49^{\frac12}=\sqrt{49}=7
\]
19Oblicz: \(3\cdot 3^2\cdot 3^0\)
Rozwiązanie
\[
3\cdot 3^2\cdot 3^0=3^1\cdot 3^2\cdot 3^0=3^{1+2+0}=3^3=27
\]
20Oblicz: \(0{,}7^9:0{,}7^7\)
Rozwiązanie
\[
0{,}7^9:0{,}7^7=0{,}7^{9-7}=0{,}7^2=0{,}49
\]
21Oblicz: \((10^2)^3\)
Rozwiązanie
\[
(10^2)^3=10^{2\cdot 3}=10^6=1\,000\,000
\]
22Oblicz: \(\left((\sqrt5)^3\right)^2\)
Rozwiązanie
\[
\left((\sqrt5)^3\right)^2=(5^{\frac12\cdot 3})^2=(5^{\frac32})^2=5^3=125
\]
23Uprość: \(\left(3^{\frac12}\cdot 3^{-\frac54}:3^{\frac34}\right)^{\frac43}\)
Rozwiązanie
\[
3^{\frac12}\cdot 3^{-\frac54}=3^{\frac12-\frac54}=3^{-\frac34}
\]
\[
3^{-\frac34}:3^{\frac34}=3^{-\frac34-\frac34}=3^{-\frac32}
\]
\[
\left(3^{-\frac32}\right)^{\frac43}=3^{-\frac32\cdot \frac43}=3^{-2}=\frac{1}{9}
\]
24Uprość: \(\left(7^{-0{,}7}:7^{\frac25}\cdot 7^{-0{,}9}\right)^{\frac12}\)
Rozwiązanie
\[
-0{,}7=-\frac{7}{10},\quad -0{,}9=-\frac{9}{10},\quad \frac25=\frac{4}{10}
\]
\[
7^{-\frac{7}{10}}:7^{\frac{4}{10}}=7^{-\frac{11}{10}}
\]
\[
7^{-\frac{11}{10}}\cdot 7^{-\frac{9}{10}}=7^{-2}
\]
\[
\left(7^{-2}\right)^{\frac12}=7^{-1}=\frac{1}{7}
\]
25Uprość i oblicz: \(5^{-\frac43}:25^{-\frac32}\cdot (0{,}2)^{\frac23}\)
Rozwiązanie
\[
25^{-\frac32}=(5^2)^{-\frac32}=5^{-3}
\]
\[
5^{-\frac43}:5^{-3}=5^{-\frac43-(-3)}=5^{3-\frac43}=5^{\frac53}
\]
\[
(0{,}2)^{\frac23}=\left(\frac15\right)^{\frac23}=5^{-\frac23}
\]
\[
5^{\frac53}\cdot 5^{-\frac23}=5^{1}=5
\]
26Oblicz: \((0{,}5)^{-1}\cdot 4^{0{,}7}\cdot (0{,}25)^{-0{,}3}\)
Rozwiązanie
\[
(0{,}5)^{-1}=2
\]
\[
4^{0{,}7}=(2^2)^{\frac{7}{10}}=2^{\frac{14}{10}}=2^{\frac75}
\]
\[
(0{,}25)^{-0{,}3}=\left(2^{-2}\right)^{-\frac{3}{10}}=2^{\frac{6}{10}}=2^{\frac35}
\]
\[
2\cdot 2^{\frac75}\cdot 2^{\frac35}=2^{1+\frac{7}{5}+\frac{3}{5}}=2^{1+2}=2^3=8
\]
27Oblicz: \(\left[4^{\frac13}\cdot (0{,}5)^{-\frac13}\right]^{-2}\)
Rozwiązanie
\[
4^{\frac13}=(2^2)^{\frac13}=2^{\frac23},\qquad
(0{,}5)^{-\frac13}=(2^{-1})^{-\frac13}=2^{\frac13}
\]
\[
2^{\frac23}\cdot 2^{\frac13}=2^1=2
\]
\[
(2)^{-2}=\frac{1}{4}
\]
28Oblicz: \(\left[\left(6^{\frac13}\right)^2:6^{-\frac13}\right]^2:4^{0{,}5}\)
Rozwiązanie
\[
(6^{\frac13})^2=6^{\frac23}
\]
\[
6^{\frac23}:6^{-\frac13}=6^{\frac23+\frac13}=6
\]
\[
6^2:4^{0{,}5}=36:\sqrt{4}=36:2=18
\]
29Uprość (dla \(a\ne 0,\ b\ne 0\)): \(\dfrac{a^5 b^{-2}\cdot (ab^3)^2}{a^3 b}\)
Rozwiązanie
\[
a^5 b^{-2}\cdot (ab^3)^2=a^5 b^{-2}\cdot a^2 b^6=a^7 b^4
\]
\[
\frac{a^7 b^4}{a^3 b}=a^{7-3}b^{4-1}=a^4 b^3
\]
30Uprość (dla \(a\ne 0,\ b\ne 0\)): \(\dfrac{a^4 b^2+(a^2)^2 b^2}{0{,}5\, b a^3}\)
Rozwiązanie
\[
(a^2)^2=a^4\ \Rightarrow\ a^4 b^2+(a^2)^2 b^2=a^4 b^2+a^4 b^2=2a^4 b^2
\]
\[
\frac{2a^4 b^2}{0{,}5\, b a^3}=\frac{2a^4 b^2}{\frac12 a^3 b}=4ab
\]
31Zapisz jako jedną potęgę: \(3\sqrt{3}\)
Rozwiązanie
\[
3\sqrt{3}=3^1\cdot 3^{\frac12}=3^{\frac32}
\]
32Zapisz jako jedną potęgę: \(4^3\cdot \left(\sqrt[3]{4}\right)^2\)
Rozwiązanie
\[
4^3\cdot \left(\sqrt[3]{4}\right)^2
=4^3\cdot \left(4^{\frac13}\right)^2
=4^3\cdot 4^{\frac23}
=4^{\frac{11}{3}}
\]
33Zapisz jako jedną potęgę: \(\sqrt{6^3}\cdot \sqrt[3]{6^2}\)
Rozwiązanie
\[
\sqrt{6^3}=(6^3)^{\frac12}=6^{\frac32},
\qquad
\sqrt[3]{6^2}=(6^2)^{\frac13}=6^{\frac23}
\]
\[
6^{\frac32}\cdot 6^{\frac23}=6^{\frac{9}{6}+\frac{4}{6}}=6^{\frac{13}{6}}
\]
34Zapisz jako jedną potęgę: \(\sqrt{2\sqrt2}\)
Rozwiązanie
\[
2\sqrt2=2^1\cdot 2^{\frac12}=2^{\frac32}
\]
\[
\sqrt{2\sqrt2}=(2^{\frac32})^{\frac12}=2^{\frac34}
\]
35Zapisz jako jedną potęgę: \(\sqrt[3]{7^4\sqrt7}\)
Rozwiązanie
\[
7^4\sqrt7=7^4\cdot 7^{\frac12}=7^{\frac{9}{2}}
\]
\[
\sqrt[3]{7^{\frac{9}{2}}}=\left(7^{\frac{9}{2}}\right)^{\frac13}=7^{\frac{9}{6}}=7^{\frac32}
\]
36Zapisz jako jedną potęgę: \(\sqrt[3]{125\sqrt5}\)
Rozwiązanie
\[
125\sqrt5=5^3\cdot 5^{\frac12}=5^{\frac{7}{2}}
\]
\[
\sqrt[3]{5^{\frac{7}{2}}}=5^{\frac{7}{6}}
\]
37Porównaj bez kalkulatora: \(\sqrt3+\sqrt2\) i \(\sqrt7\)
Rozwiązanie
Obie liczby są dodatnie, więc porównamy kwadraty:
\[
(\sqrt3+\sqrt2)^2=3+2+2\sqrt6=5+2\sqrt6
\]
\[
(\sqrt7)^2=7
\]
\[
5+2\sqrt6>7\ \Leftrightarrow\ 2\sqrt6>2\ \Leftrightarrow\ \sqrt6>1
\]
To prawda, więc
\[
\sqrt3+\sqrt2>\sqrt7.
\]
38Porównaj bez kalkulatora: \(\sqrt[3]{\sqrt5}\) i \(5^{0{,}5}:5^{\frac13}\)
Rozwiązanie
\[
\sqrt[3]{\sqrt5}=(5^{\frac12})^{\frac13}=5^{\frac16}
\]
\[
5^{0{,}5}:5^{\frac13}=5^{\frac12-\frac13}=5^{\frac16}
\]
\[
\text{Liczby są równe.}
\]
39Porównaj: \(2^{0{,}4}\) i \(\sqrt[5]{4}\)
Rozwiązanie
\[
\sqrt[5]{4}=4^{\frac15}=(2^2)^{\frac15}=2^{\frac{2}{5}}=2^{0{,}4}
\]
\[
\text{Liczby są równe.}
\]
40Porównaj bez kalkulatora: \(\sqrt7\) i \(49^{0{,}49}\)
Rozwiązanie
\[
\sqrt7=7^{\frac12}
\]
\[
49^{0{,}49}=(7^2)^{0{,}49}=7^{0{,}98}
\]
Ponieważ \(7>1\) i \(0{,}98>0{,}5\), to
\[
7^{0{,}98}>7^{0{,}5}\ \Rightarrow\ 49^{0{,}49}>\sqrt7.
\]
