Twierdzenie
Potęga potęgi (mnożymy wykładniki)
Gdy potęgę podnosimy do potęgi, to mnożymy wykładniki:
\[
\left(a^m\right)^n = a^{m\cdot n}
\qquad (a\neq 0 \text{ przy wykładnikach ułamkowych})
\]
\[
\begin{split}
\left(5^2\right)^3
&= (5\cdot 5)^3 \\
&= (5\cdot 5)(5\cdot 5)(5\cdot 5) \\
&= 5^6
\end{split}
\]
A krócej ze wzoru:
\[
\left(5^2\right)^3 = 5^{2\cdot 3}=5^6
\]
Przykłady
1Przykład
\[
\left(3^4\right)^2 = 3^{4\cdot 2}=3^8
\]
2Przykład
\[
\left(10^3\right)^5 = 10^{3\cdot 5}=10^{15}
\]
3Przykład
\[
\left(6^7\right)^2 = 6^{7\cdot 2}=6^{14}
\]
4Przykład
\[
\left(a^5\right)^4 = a^{5\cdot 4}=a^{20}
\]
5Przykład
\[
\left(7^{\tfrac{1}{3}}\right)^9
=7^{\tfrac{1}{3}\cdot 9}
=7^3
\]
6Przykład
\[
\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{12}}
=2^{\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}}
=2^{\sqrt{36}}
=2^6
\]
7Przykład
\[
\left(x^2\right)^7 = x^{2\cdot 7}=x^{14}
\]
8Przykład
\[
\left((2x)^3\right)^4=(2x)^{12}
\quad\text{czyli}\quad
(2x)^{12}=2^{12}x^{12}
\]
9Przykład
\[
\left(\left(\frac{3}{5}\right)^2\right)^6
=\left(\frac{3}{5}\right)^{12}
\]
10Przykład
\[
\left((\sqrt{2})^5\right)^4
=(\sqrt{2})^{20}
=\left(2^{\tfrac12}\right)^{20}
=2^{10}
\]
