Twierdzenie
Pierwiastek kwadratowy – znaczenie i własności
Pierwiastkiem kwadratowym liczby nieujemnej \(a\) nazywamy liczbę nieujemną,
której kwadrat jest równy \(a\):
\[
\sqrt{a}=b
\quad\Longleftrightarrow\quad
b^2=a \ \text{oraz}\ b\ge 0
\qquad (a\ge 0)
\]
Zawsze pamiętaj:
\[
(\sqrt{a})^2=a
\qquad\text{oraz}\qquad
\sqrt{a^2}=|a|
\]
Dla liczb nieujemnych \(a,b\) zachodzą własności:
\[
\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b},
\qquad
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
\quad (b>0)
\]
Najważniejsze: pierwiastek kwadratowy zawsze daje wynik nieujemny.
Przykłady
1Przykład
\[
\sqrt{64}=8
\]
2Przykład
\[
\sqrt{0{,}36}=0{,}6
\]
3Przykład
\[
\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}
\]
4Przykład
\[
\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}
\]
5Przykład
\[
\sqrt{9x^2}=3|x|
\]
6Przykład
\[
\sqrt{16a^2b}=4|a|\sqrt{b}
\quad (b\ge 0)
\]
7Przykład
\[
\sqrt{\frac{81}{49}}=\frac{9}{7}
\]
8Przykład
\[
\sqrt{8}\cdot\sqrt{18}
=\sqrt{144}
=12
\]
9Przykład
\[
\sqrt{(5x-10)^2}
=|5x-10|
=5|x-2|
\]
10Przykład
\[
\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}
\]
11Przykład
\[
\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}
\]
12Przykład
\[
\sqrt{2}\cdot \sqrt{50}
=\sqrt{100}
=10
\]
