Twierdzenie
Notacja wykładnicza (naukowa) – definicja i zasady
Notacja wykładnicza (naukowa) to zapis liczby w postaci:
\[
a\cdot 10^n
\qquad\text{gdzie}\qquad
1\le a<10,\ \ n\in\mathbb{Z}
\]
Jak przechodzić między zapisem „zwykłym” a naukowym?
\[
4\,580\,000=4{,}58\cdot 10^6
\quad(\text{przecinek przesuwamy o }6\text{ miejsc w lewo})
\]
\[
0{,}000072=7{,}2\cdot 10^{-5}
\quad(\text{przecinek przesuwamy o }5\text{ miejsc w prawo})
\]
Działania na notacji wykładniczej:
\[
(a\cdot 10^m)\cdot (b\cdot 10^n)=(ab)\cdot 10^{m+n}
\]
\[
\frac{a\cdot 10^m}{b\cdot 10^n}=\frac{a}{b}\cdot 10^{m-n}\quad (b\ne 0)
\]
\[
(a\cdot 10^m)+(b\cdot 10^m)=(a+b)\cdot 10^m
\]
Wskazówka: przy dodawaniu/odejmowaniu najpierw sprowadź liczby do
tej samej potęgi \(10^n\).
Zadania – notacja wykładnicza (zmienione) z rozwiązaniami
1Zapisz w notacji wykładniczej: \(7\,200\,000\)
Rozwiązanie
\[
7\,200\,000=7{,}2\cdot 10^6
\]
2Zapisz w notacji wykładniczej: \(0{,}0000485\)
Rozwiązanie
\[
0{,}0000485=4{,}85\cdot 10^{-5}
\]
3Zapisz w notacji wykładniczej: \(905\,000\,000\,000\)
Rozwiązanie
\[
905\,000\,000\,000=9{,}05\cdot 10^{11}
\]
4Zapisz w notacji wykładniczej: \(0{,}00000032\)
Rozwiązanie
\[
0{,}00000032=3{,}2\cdot 10^{-7}
\]
5Zapisz liczbę w postaci zwykłej: \(6{,}7\cdot 10^5\)
Rozwiązanie
\[
6{,}7\cdot 10^5=670\,000
\]
6Zapisz liczbę w postaci zwykłej: \(4{,}03\cdot 10^{-4}\)
Rozwiązanie
\[
4{,}03\cdot 10^{-4}=0{,}000403
\]
7Uporządkuj: \(0{,}00000091\) w notacji wykładniczej
Rozwiązanie
\[
0{,}00000091=9{,}1\cdot 10^{-7}
\]
8Czy to jest poprawna notacja naukowa? \(0{,}38\cdot 10^7\)
Rozwiązanie
W notacji naukowej ma być \(1\le a<10\). Tu \(a=0{,}38\), więc poprawiamy:
\[
0{,}38\cdot 10^7=3{,}8\cdot 10^6
\]
9Czy to jest poprawna notacja naukowa? \(12{,}4\cdot 10^{-3}\)
Rozwiązanie
Tu \(a=12{,}4\) (za duże). Poprawiamy:
\[
12{,}4\cdot 10^{-3}=1{,}24\cdot 10^{-2}
\]
10Oblicz: \((3{,}2\cdot 10^5)\cdot (4\cdot 10^{-2})\)
Rozwiązanie
\[
(3{,}2\cdot 10^5)(4\cdot 10^{-2})=(12{,}8)\cdot 10^{3}=1{,}28\cdot 10^4
\]
11Oblicz: \((7{,}5\cdot 10^{-6})\cdot (2\cdot 10^4)\)
Rozwiązanie
\[
7{,}5\cdot 2=15
\quad\Rightarrow\quad
15\cdot 10^{-2}=1{,}5\cdot 10^{-1}
\]
12Oblicz: \(\dfrac{6{,}3\cdot 10^8}{2{,}1\cdot 10^3}\)
Rozwiązanie
\[
\frac{6{,}3}{2{,}1}=3
\quad\Rightarrow\quad
3\cdot 10^{8-3}=3\cdot 10^5
\]
13Oblicz: \(\dfrac{9{,}6\cdot 10^{-4}}{3{,}2\cdot 10^{-6}}\)
Rozwiązanie
\[
\frac{9{,}6}{3{,}2}=3
\quad\Rightarrow\quad
3\cdot 10^{-4-(-6)}=3\cdot 10^{2}
\]
14Dodaj: \(5{,}6\cdot 10^7+2{,}1\cdot 10^7\)
Rozwiązanie
\[
(5{,}6+2{,}1)\cdot 10^7=7{,}7\cdot 10^7
\]
15Dodaj: \(3{,}2\cdot 10^5+7{,}5\cdot 10^4\)
Rozwiązanie
Sprowadzamy do tej samej potęgi \(10^4\):
\[
3{,}2\cdot 10^5=32\cdot 10^4
\]
\[
32\cdot 10^4+7{,}5\cdot 10^4=39{,}5\cdot 10^4=3{,}95\cdot 10^5
\]
16Odejmij: \(8{,}05\cdot 10^{-3}-3{,}2\cdot 10^{-4}\)
Rozwiązanie
Sprowadzamy do \(10^{-4}\):
\[
8{,}05\cdot 10^{-3}=80{,}5\cdot 10^{-4}
\]
\[
80{,}5\cdot 10^{-4}-3{,}2\cdot 10^{-4}=77{,}3\cdot 10^{-4}=7{,}73\cdot 10^{-3}
\]
17Uporządkuj rosnąco: \(4{,}2\cdot 10^3,\ 3{,}9\cdot 10^4,\ 8{,}1\cdot 10^2\)
Rozwiązanie
Porównujemy wykładniki:
\[
8{,}1\cdot 10^2 < 4{,}2\cdot 10^3 < 3{,}9\cdot 10^4
\]
18Uporządkuj malejąco: \(6{,}5\cdot 10^{-6},\ 2{,}1\cdot 10^{-5},\ 9{,}9\cdot 10^{-7}\)
Rozwiązanie
Największa ma „najmniej ujemny” wykładnik:
\[
2{,}1\cdot 10^{-5} > 6{,}5\cdot 10^{-6} > 9{,}9\cdot 10^{-7}
\]
19Porównaj: \(3{,}2\cdot 10^8\) i \(4{,}9\cdot 10^7\)
Rozwiązanie
\[
3{,}2\cdot 10^8 = 32\cdot 10^7
\quad\Rightarrow\quad
32\cdot 10^7 > 4{,}9\cdot 10^7
\]
\[
3{,}2\cdot 10^8 > 4{,}9\cdot 10^7
\]
20Porównaj: \(7{,}8\cdot 10^{-4}\) i \(6{,}1\cdot 10^{-3}\)
Rozwiązanie
\[
7{,}8\cdot 10^{-4}=0{,}78\cdot 10^{-3}
\]
\[
0{,}78\cdot 10^{-3} < 6{,}1\cdot 10^{-3}
\]
\[
7{,}8\cdot 10^{-4} < 6{,}1\cdot 10^{-3}
\]
21Zaokrąglij do 3 cyfr znaczących: \(5{,}478\cdot 10^6\)
Rozwiązanie
\[
5{,}478\cdot 10^6 \approx 5{,}48\cdot 10^6
\]
22Zaokrąglij do 2 cyfr znaczących: \(9{,}96\cdot 10^{-5}\)
Rozwiązanie
\[
9{,}96\cdot 10^{-5} \approx 1{,}0\cdot 10^{-4}
\]
23Oblicz i zapisz w notacji naukowej: \( (2{,}4\cdot 10^3)^2 \)
Rozwiązanie
\[
(2{,}4\cdot 10^3)^2=2{,}4^2\cdot 10^{6}=5{,}76\cdot 10^6
\]
24Oblicz i zapisz w notacji naukowej: \((6\cdot 10^{-2})^3\)
Rozwiązanie
\[
(6\cdot 10^{-2})^3=6^3\cdot 10^{-6}=216\cdot 10^{-6}=2{,}16\cdot 10^{-4}
\]
25Zapisz jako jedną potęgę 10: \( \dfrac{10^7\cdot 10^{-3}}{10^2} \)
Rozwiązanie
\[
\frac{10^7\cdot 10^{-3}}{10^2}=10^{7-3-2}=10^2
\]
26Wykonaj działanie: \( (4{,}5\cdot 10^9) - (3{,}8\cdot 10^8) \)
Rozwiązanie
Sprowadzamy do \(10^8\):
\[
4{,}5\cdot 10^9=45\cdot 10^8
\]
\[
45\cdot 10^8-3{,}8\cdot 10^8=41{,}2\cdot 10^8=4{,}12\cdot 10^9
\]
27Wykonaj działanie: \( (7{,}2\cdot 10^{-5}) + (3{,}6\cdot 10^{-6}) \)
Rozwiązanie
Do \(10^{-6}\):
\[
7{,}2\cdot 10^{-5}=72\cdot 10^{-6}
\]
\[
72\cdot 10^{-6}+3{,}6\cdot 10^{-6}=75{,}6\cdot 10^{-6}=7{,}56\cdot 10^{-5}
\]
28Oblicz: \((1{,}2\cdot 10^{11}) : (4\cdot 10^3)\)
Rozwiązanie
\[
\frac{1{,}2}{4}=0{,}3
\quad\Rightarrow\quad
0{,}3\cdot 10^{8}=3\cdot 10^{7}
\]
29Wybierz większą liczbę: \(9{,}99\cdot 10^4\) czy \(1{,}01\cdot 10^5\)?
Rozwiązanie
\[
1{,}01\cdot 10^5=10{,}1\cdot 10^4
\]
\[
10{,}1\cdot 10^4 > 9{,}99\cdot 10^4
\]
Zatem większa jest \(1{,}01\cdot 10^5\).
30Zadanie praktyczne: Masa towaru \(=3{,}6\cdot 10^3\ \text{g}\). Ile to kilogramów? Zapisz też w notacji.
Rozwiązanie
\[
1\ \text{kg}=10^3\ \text{g}
\quad\Rightarrow\quad
3{,}6\cdot 10^3\ \text{g}=3{,}6\ \text{kg}
\]
W notacji naukowej:
\[
3{,}6\ \text{kg}=3{,}6\cdot 10^0\ \text{kg}
\]
31Zadanie praktyczne: Prędkość światła \(=3{,}0\cdot 10^8\ \text{m/s}\). Ile to km/s?
Rozwiązanie
\[
1\ \text{km}=10^3\ \text{m}
\quad\Rightarrow\quad
3{,}0\cdot 10^8\ \text{m/s}=3{,}0\cdot 10^5\ \text{km/s}
\]
32Oblicz i zapisz w notacji naukowej: \((9{,}2\cdot 10^{-3})\cdot (5{,}0\cdot 10^{-4})\)
Rozwiązanie
\[
9{,}2\cdot 5{,}0=46
\quad\Rightarrow\quad
46\cdot 10^{-7}=4{,}6\cdot 10^{-6}
\]
33Oblicz i zapisz w notacji naukowej: \((3{,}6\cdot 10^4)\cdot (2{,}5\cdot 10^6)\)
Rozwiązanie
\[
3{,}6\cdot 2{,}5=9
\quad\Rightarrow\quad
9\cdot 10^{10}
\]
34Oblicz: \(\dfrac{7{,}2\cdot 10^{12}}{9\cdot 10^5}\)
Rozwiązanie
\[
\frac{7{,}2}{9}=0{,}8
\quad\Rightarrow\quad
0{,}8\cdot 10^7=8\cdot 10^6
\]
35Dodaj i zapisz w notacji naukowej: \(1{,}9\cdot 10^{-2}+7{,}5\cdot 10^{-3}\)
Rozwiązanie
\[
1{,}9\cdot 10^{-2}=19\cdot 10^{-3}
\]
\[
19\cdot 10^{-3}+7{,}5\cdot 10^{-3}=26{,}5\cdot 10^{-3}=2{,}65\cdot 10^{-2}
\]
36Odejmij i zapisz w notacji naukowej: \(5{,}0\cdot 10^6-3{,}25\cdot 10^5\)
Rozwiązanie
\[
3{,}25\cdot 10^5=0{,}325\cdot 10^6
\]
\[
5{,}0\cdot 10^6-0{,}325\cdot 10^6=4{,}675\cdot 10^6
\]
37Wstaw znak \(<,>,=\): \(2{,}5\cdot 10^{-8}\ \square\ 25\cdot 10^{-9}\)
Rozwiązanie
\[
25\cdot 10^{-9}=2{,}5\cdot 10^{-8}
\]
\[
\Rightarrow\quad =
\]
38Wstaw znak \(<,>,=\): \(9{,}1\cdot 10^2\ \square\ 0{,}91\cdot 10^3\)
Rozwiązanie
\[
0{,}91\cdot 10^3=9{,}1\cdot 10^2
\]
\[
\Rightarrow\quad =
\]
39Uzupełnij \(n\): \(4{,}8\cdot 10^n=48\,000\)
Rozwiązanie
\[
48\,000=4{,}8\cdot 10^4
\quad\Rightarrow\quad
n=4
\]
40Uzupełnij \(a\): \(a\cdot 10^{-6}=0{,}0000037\) (notacja naukowa)
Rozwiązanie
\[
0{,}0000037=3{,}7\cdot 10^{-6}
\quad\Rightarrow\quad
a=3{,}7
\]
