Twierdzenie
Iloraz potęg o tym samym wykładniku
Jeśli potęgi mają ten sam wykładnik, to przy ich dzieleniu dzielimy podstawy:
\[
\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n
\qquad\text{oraz}\qquad
a^n : b^n=\left(\frac{a}{b}\right)^n
\]
Przykłady
1Przykład
\[
\frac{12^2}{3^2}=\left(\frac{12}{3}\right)^2=4^2
\]
2Przykład
\[
25^3 : 5^3=\left(\frac{25}{5}\right)^3=5^3
\]
3Przykład
\[
\frac{8^7}{2^7}=\left(\frac{8}{2}\right)^7=4^7
\]
4Przykład
\[
\left(\frac{3}{5}\right)^6 : \left(\frac{9}{25}\right)^6
=\left(\frac{\frac{3}{5}}{\frac{9}{25}}\right)^6
=\left(\frac{3}{5}\cdot\frac{25}{9}\right)^6
=\left(\frac{5}{3}\right)^6
\]
5Przykład
\[
\frac{(\sqrt{50})^4}{(\sqrt{2})^4}
=\left(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\right)^4
=(\sqrt{25})^4
=5^4
\]
\end{equation}
6Przykład
\[
\pi^9 : (2\pi)^9
=\left(\frac{\pi}{2\pi}\right)^9
=\left(\frac{1}{2}\right)^9
\]
7Przykład
\[
\frac{(x-4)^5}{(2x-8)^5}
=\left(\frac{x-4}{2x-8}\right)^5
=\left(\frac{x-4}{2(x-4)}\right)^5
=\left(\frac{1}{2}\right)^5
\quad (x\neq 4)
\]
8Przykład
\[
(-15)^4 : 3^4
=\left(\frac{-15}{3}\right)^4
=(-5)^4
\]
9Przykład
\[
\left(\frac{2x-3}{5}\right)^8
:
\left(\frac{2x-3}{10}\right)^8
=
\left(
\frac{\frac{2x-3}{5}}{\frac{2x-3}{10}}
\right)^8
=
\left(
\frac{2x-3}{5}\cdot\frac{10}{2x-3}
\right)^8
=2^8
\quad (x\neq \tfrac{3}{2})
\]
10Przykład
\[
\frac{16^{\frac{7}{2}}}{4^{\frac{7}{2}}}
=\left(\frac{16}{4}\right)^{\frac{7}{2}}
=4^{\frac{7}{2}}
\]
11Przykład
\[
\frac{\left(\frac{3a-2}{2a+1}\right)^{9}}{\left(\frac{6a-4}{2a+1}\right)^{9}}
=
\left(
\frac{\frac{3a-2}{2a+1}}{\frac{6a-4}{2a+1}}
\right)^{9}
=
\left(
\frac{3a-2}{6a-4}
\right)^{9}
=
\left(\frac{1}{2}\right)^9
\quad (a\neq -\tfrac{1}{2},\ a\neq \tfrac{2}{3})
\]
