Twierdzenie
Działania na pierwiastkach – zaawansowane przykłady (własności)
W rachunkach z pierwiastkami korzystamy z własności (dla odpowiednich dziedzin):
\[
\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab},
\qquad
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}
\quad (b\neq 0)
\]
Wyłączanie (lub włączanie) czynnika:
\[
\sqrt{a^2\cdot b}=|a|\sqrt{b}
\qquad (b\ge 0)
\]
\[
c\sqrt{b}=\sqrt{c^2\cdot b}
\qquad (c\in\mathbb{R},\ b\ge 0)
\]
Dodawanie i odejmowanie tylko „takich samych” pierwiastków:
\[
p\sqrt{k}+q\sqrt{k}=(p+q)\sqrt{k}
\]
W trudniejszych przykładach przydaje się też zapis potęgowy:
\[
\sqrt[n]{x}=x^{\frac1n}
\]
Przykłady
1Wyłączanie czynnika – liczba
\[
\sqrt{432}=\sqrt{144\cdot 3}=12\sqrt{3}
\]
2Wyłączanie czynnika – liczba
\[
\sqrt{245}=\sqrt{49\cdot 5}=7\sqrt{5}
\]
3Wyłączanie czynnika – z niewiadomą
\[
\sqrt{180x^2}=\sqrt{36\cdot 5\cdot x^2}=6|x|\sqrt{5}
\]
4Wyłączanie czynnika – kilka liter
\[
\sqrt{72a^2b}=\sqrt{36\cdot 2\cdot a^2\cdot b}=6|a|\sqrt{2b}
\quad (b\ge 0)
\]
5Włączanie czynnika pod pierwiastek
\[
7\sqrt{11}=\sqrt{49\cdot 11}=\sqrt{539}
\]
6Włączanie z niewiadomą
\[
3x\sqrt{2}=\sqrt{9x^2\cdot 2}=\sqrt{18x^2}
\quad (x\neq 0)
\]
7Mnożenie pierwiastków
\[
\sqrt{27}\cdot \sqrt{12}
=\sqrt{324}
=18
\]
8Mnożenie po uproszczeniu
\[
\sqrt{48}\cdot \sqrt{75}
=(4\sqrt{3})(5\sqrt{3})
=20\cdot 3
=60
\]
9Dzielenie pierwiastków
\[
\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}
=\sqrt{\frac{200}{8}}
=\sqrt{25}
=5
\]
10Dodawanie po sprowadzeniu do wspólnej postaci
\[
2\sqrt{18}-3\sqrt{8}+\sqrt{50}
=2\cdot 3\sqrt{2}-3\cdot 2\sqrt{2}+5\sqrt{2}
=6\sqrt{2}-6\sqrt{2}+5\sqrt{2}
=5\sqrt{2}
\]
11Różne stopnie – zapis potęgowy
\[
\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x^2}\cdot \sqrt[6]{x}
=x^{\frac12}\cdot x^{\frac23}\cdot x^{\frac16}
=x^{\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{1}{6}}
=x^{\frac{8}{6}}
=x^{\frac{4}{3}}
\]
12Pierwiastek zagnieżdżony
\[
\sqrt{10+6\sqrt{3}}
=\sqrt{(\sqrt{3}+3)^2}
=\sqrt{3}+3
\]
13Kwadrat wyrażenia z pierwiastkiem
\[
(2\sqrt{5}-\sqrt{20})^2
=(2\sqrt{5}-2\sqrt{5})^2
=0
\]
14Równanie z pierwiastkiem (dziedzina + sprawdzenie)
\[
\sqrt{3x-7}=4
\]
\[
3x-7\ge 0\ \Rightarrow\ x\ge \frac{7}{3},
\qquad
3x-7=16\ \Rightarrow\ 3x=23\ \Rightarrow\ x=\frac{23}{3}
\]
\[
\text{Sprawdzenie: }\sqrt{3\cdot \frac{23}{3}-7}=\sqrt{23-7}=\sqrt{16}=4
\]
15Pierwiastek 3. stopnia – wyłączanie
\[
\sqrt[3]{648x^5}
=\sqrt[3]{216\cdot 3\cdot x^3\cdot x^2}
=6x\sqrt[3]{3x^2}
\]
