Zastosowanie twierdzeń o logarytmach - przykłady
Logarytmy Odsłon: 168

Zastosowanie twierdzeń o logarytmach

\[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\quad \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y,\quad \log_a(x^r)=r\log_a x \]
\[ \frac{\log_a b}{\log_a c}=\log_c b,\qquad a^{\log_a b}=b,\qquad \log_a(a^x)=x \]

Poziom 1 – proste użycie iloczynu i ilorazu

1
Oblicz: \(\log_5 2+\log_5 125\)
Suma logarytmów → logarytm iloczynu
\[\log_5 2+\log_5 125\]
Rozwiązanie
  1. \(\log_5 2+\log_5 125=\log_5(2\cdot 125)=\log_5 250\).
  2. \(250=5^3\cdot 2\), więc \(\log_5 250=\log_5(5^3\cdot 2)=3+\log_5 2\).
  3. Wynik dokładny: \(\boxed{3+\log_5 2}\).
2
Oblicz: \(\log_3 54-\log_3 2\)
Różnica logarytmów → logarytm ilorazu
\[\log_3 54-\log_3 2\]
Rozwiązanie
  1. \(\log_3 54-\log_3 2=\log_3\!\left(\frac{54}{2}\right)=\log_3 27\).
  2. \(27=3^3\Rightarrow \log_3 27=3\).
  3. \(\boxed{3}\).
3
Oblicz: \(\log_6 4+\log_6 9\)
Suma → iloczyn, potem uproszczenie
\[\log_6 4+\log_6 9\]
Rozwiązanie
  1. \(\log_6 4+\log_6 9=\log_6(36)\).
  2. \(36=6^2\Rightarrow \log_6 36=2\).
  3. \(\boxed{2}\).
4
Oblicz: \(\log_5 0{,}04-\log_5 0{,}008\)
Ułamki dziesiętne jako ułamki zwykłe
\[\log_5 0{,}04-\log_5 0{,}008\]
Rozwiązanie
  1. \(\log_5 0{,}04-\log_5 0{,}008=\log_5\!\left(\frac{0{,}04}{0{,}008}\right)=\log_5 5\).
  2. \(\log_5 5=1\).
  3. \(\boxed{1}\).
5
Oblicz: \(\log 0{,}02+\log 500\)
Log dziesiętny – „sklejanie” w iloczyn
\[\log 0{,}02+\log 500\]
Rozwiązanie
  1. \(\log 0{,}02+\log 500=\log(0{,}02\cdot 500)=\log 10\).
  2. \(\log 10=1\).
  3. \(\boxed{1}\).

Poziom 2 – potęgi, pierwiastki i sprytne przekształcenia

6
Uprość: \(\log_2(8x)-\log_2(2)\) (dla \(x>0\))
Różnica logarytmów → iloraz
\[\log_2(8x)-\log_2(2)\]
Rozwiązanie
  1. \(\log_2(8x)-\log_2 2=\log_2\!\left(\frac{8x}{2}\right)=\log_2(4x)\).
  2. \(\log_2(4x)=\log_2 4+\log_2 x=2+\log_2 x\).
  3. \(\boxed{2+\log_2 x}\).
7
Oblicz: \(\log_3 243-2\log_3 9\)
Wykorzystanie \(\log_a(x^r)=r\log_a x\)
\[\log_3 243-2\log_3 9\]
Rozwiązanie
  1. \(243=3^5\Rightarrow \log_3 243=5\).
  2. \(9=3^2\Rightarrow \log_3 9=2\).
  3. \(5-2\cdot 2=1\).
  4. \(\boxed{1}\).
8
Oblicz: \(\log_{\sqrt{2}} 16\)
Podstawa jako potęga: \(\sqrt{2}=2^{1/2}\)
\[\log_{\sqrt{2}} 16\]
Rozwiązanie
  1. \(\sqrt{2}=2^{1/2}\), a \(16=2^4\).
  2. \((2^{1/2})^c=2^4 \Rightarrow 2^{c/2}=2^4 \Rightarrow \frac{c}{2}=4 \Rightarrow c=8\).
  3. \(\boxed{8}\).
9
Oblicz: \(\log_{1/4}\frac{1}{64}\)
Podstawa mniejsza od 1 – ujemne wykładniki
\[\log_{1/4}\frac{1}{64}\]
Rozwiązanie
  1. \(\frac{1}{4}=4^{-1}\), a \(\frac{1}{64}=4^{-3}\).
  2. \((4^{-1})^c=4^{-3}\Rightarrow 4^{-c}=4^{-3}\Rightarrow c=3\).
  3. \(\boxed{3}\).
10
Oblicz: \(\log_7 49+\log_7 \frac{1}{7}\)
Suma + liczby jako potęgi \(7\)
\[\log_7 49+\log_7 \frac{1}{7}\]
Rozwiązanie
  1. \(\log_7 49=\log_7(7^2)=2\).
  2. \(\log_7\frac{1}{7}=\log_7(7^{-1})=-1\).
  3. \(2+(-1)=1\).
  4. \(\boxed{1}\).

Poziom 3 – wykaż tożsamość (dla \(x,y,z>0\))

W tych zadaniach przekształcamy jedną stronę, używając twierdzeń o logarytmach.
11
Wykaż: \(\log(x^2y)=2\log x+\log y\)
Połączenie: iloczyn + potęga
\[\log(x^2y)=2\log x+\log y\]
Rozwiązanie
  1. \(\log(x^2y)=\log(x^2)+\log y\).
  2. \(\log(x^2)=2\log x\).
  3. Zatem \(\log(x^2y)=2\log x+\log y\).
12
Wykaż: \(\log\frac{x}{y^3}=\log x-3\log y\)
Iloraz + potęga w mianowniku
\[\log\frac{x}{y^3}=\log x-3\log y\]
Rozwiązanie
  1. \(\log\frac{x}{y^3}=\log x-\log(y^3)\).
  2. \(\log(y^3)=3\log y\).
  3. Stąd \(\log\frac{x}{y^3}=\log x-3\log y\).
13
Wykaż: \(\log(xyz)=\log\frac{x}{y}+\log(y^2z)\)
Spryt: rozbij na iloczyn i iloraz
\[\log(xyz)=\log\frac{x}{y}+\log(y^2z)\]
Rozwiązanie
  1. \(\log\frac{x}{y}+\log(y^2z)=\log\!\left(\frac{x}{y}\cdot y^2z\right)\).
  2. \(\frac{x}{y}\cdot y^2z=xyz\).
  3. Zatem prawa strona to \(\log(xyz)\), czyli równość jest prawdziwa.

Poziom 4 – dziedzina i zapis jako jeden logarytm

14
Podaj dziedzinę i zapisz jako \(\log(\dots)\): \(\log(x^2)+\log x\)
Łączenie w jeden logarytm
\[\log(x^2)+\log x\]
Rozwiązanie
  1. Dziedzina: \(\log(x^2)\) wymaga \(x\neq 0\), a \(\log x\) wymaga \(x>0\). Razem: \(x>0\).
  2. \(\log(x^2)+\log x=\log(x^2\cdot x)=\log(x^3)\).
  3. Odp.: \(D=(0,\infty)\), a wyrażenie \(\boxed{\log(x^3)}\).
15
Podaj dziedzinę i zapisz jako \(\log(\dots)\): \(2\log x-\log(5x)\)
Potęga + iloraz
\[2\log x-\log(5x)\]
Rozwiązanie
  1. Dziedzina: \(x>0\) (bo \(\log x\) i \(\log(5x)\)).
  2. \(2\log x=\log(x^2)\).
  3. \(\log(x^2)-\log(5x)=\log\!\left(\frac{x^2}{5x}\right)=\log\!\left(\frac{x}{5}\right)\).
  4. Odp.: \(D=(0,\infty)\), a wyrażenie \(\boxed{\log\left(\frac{x}{5}\right)}\).
16
Podaj dziedzinę i zapisz jako \(\log(\dots)\): \(\frac12\log(16x^4)-2\)
Stała jako logarytm i potęga
\[\frac12\log(16x^4)-2\]
Rozwiązanie
  1. Dziedzina: \(16x^4>0\Rightarrow x\neq 0\) (bo \(x^4>0\) dla \(x\neq 0\)).
  2. \(\frac12\log(16x^4)=\log\big((16x^4)^{1/2}\big)=\log(4x^2)\).
  3. \(2=\log 100\).
  4. \(\log(4x^2)-\log 100=\log\!\left(\frac{4x^2}{100}\right)=\log\!\left(\frac{x^2}{25}\right)\).
  5. Odp.: \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), a \(\boxed{\log\left(\frac{x^2}{25}\right)}\).

Poziom 5 – zadania złożone (mieszane własności)

17
Oblicz: \(\big(2\log_4 8+\log_4 16-1\big)^{\log_2 8}\)
Najpierw uprość nawias, potem wykładnik
\[\big(2\log_4 8+\log_4 16-1\big)^{\log_2 8}\]
Rozwiązanie
  1. \(\log_4 8=\frac{\log 8}{\log 4}=\frac{3}{2}\) (bo \(8=2^3,\;4=2^2\)).
  2. \(\log_4 16=2\) (bo \(16=4^2\)).
  3. Nawias: \(2\cdot\frac{3}{2}+2-1=3\).
  4. \(\log_2 8=3\).
  5. Całość: \(3^{3}=27\).
  6. \(\boxed{27}\).
18
Oblicz: \(6^{0{,}5\log_6 36-2\log_6 6}\)
Użyj \(\;a^{\alpha\log_a b}=b^\alpha\)
\[6^{0{,}5\log_6 36-2\log_6 6}\]
Rozwiązanie
  1. \(\log_6 36=2\), \(\log_6 6=1\).
  2. Wykładnik: \(0{,}5\cdot 2-2\cdot 1=1-2=-1\).
  3. \(6^{-1}=\frac{1}{6}\).
  4. \(\boxed{\frac{1}{6}}\).
19
Oblicz: \(9^{\log_3 4+\frac12\log_3 9}\)
Zamień \(9\) na \(3^2\) i zredukuj
\[9^{\log_3 4+\frac12\log_3 9}\]
Rozwiązanie
  1. \(9=3^2\Rightarrow 9^{A}=(3^2)^A=3^{2A}\).
  2. \(A=\log_3 4+\frac12\log_3 9=\log_3 4+\frac12\cdot 2=\log_3 4+1\).
  3. \(2A=2\log_3 4+2\).
  4. \(3^{2\log_3 4+2}=3^2\cdot 3^{2\log_3 4}=9\cdot(3^{\log_3 4})^2=9\cdot 4^2\).
  5. \(9\cdot 16=144\).
  6. \(\boxed{144}\).

Poziom 6 – wyrażenia przez \(p\) i \(q\)

20
Niech \(p=\log 2\). Wyraź \(\log 320\) przez \(p\).
Rozkład liczby i własności logarytmów
\[\text{Dane: }p=\log 2.\quad \text{Wyznacz: }\log 320\]
Rozwiązanie
  1. \(320=32\cdot 10=2^5\cdot 10\).
  2. \(\log 320=\log(2^5)+\log 10=5\log 2+1\).
  3. \(\log 2=p\Rightarrow \log 320=5p+1\).
  4. \(\boxed{5p+1}\).
21
Niech \(p=\log_3 2\) i \(q=\log_3 5\). Wyraź \(\log_3 200\) przez \(p,q\).
Rozkład na czynniki: \(200=2^3\cdot 5^2\)
\[\text{Dane: }p=\log_3 2,\;q=\log_3 5.\quad \text{Wyznacz: }\log_3 200\]
Rozwiązanie
  1. \(200=2^3\cdot 5^2\).
  2. \(\log_3 200=\log_3(2^3)+\log_3(5^2)=3\log_3 2+2\log_3 5\).
  3. \(=3p+2q\).
  4. \(\boxed{3p+2q}\).

Related Articles

Zamiana podstawy logarytmu

Obliczanie logarytmów

Logarytmy - definicje i twierdzenia

logo 2022 joomla footer