Logarytmy – definicje i twierdzenia
Definicje
Definicja logarytmu
Logarytmem liczby dodatniej \(b\) przy podstawie \(a\) nazywamy liczbę \(c\), do której należy podnieść \(a\), aby otrzymać \(b\).
\[
\log_a b = c \;\Longleftrightarrow\; a^c=b
\]
Warunki istnienia: \(a>0,\; a\neq 1,\; b>0\).
1
Logarytm dziesiętny i naturalny
Oznaczenia
\[
\log x=\log_{10}x
\]
\[
\ln x=\log_e x
\]
Twierdzenia
1
Wartości podstawowe
Logarytm liczby równej podstawie oraz logarytm jedynki
\[
\log_a a = 1,\qquad \log_a 1 = 0 \qquad (a>0,\;a\neq 1)
\]
2
Odwracalność logarytmu i potęgowania
Działania odwrotne
\[
\log_a(a^x)=x \qquad (a>0,\;a\neq 1,\; x\in\mathbb{R})
\]
\[
a^{\log_a b}=b \qquad (a>0,\;a\neq 1,\; b>0)
\]
3
Suma logarytmów
Logarytm iloczynu
Dla \(x>0\) i \(y>0\) logarytm iloczynu jest sumą logarytmów.
\[
\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y
\]
4
Różnica logarytmów
Logarytm ilorazu
Dla \(x>0\) i \(y>0\) logarytm ilorazu jest różnicą logarytmów.
\[
\log_a\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y
\]
5
Mnożenie logarytmu przez wykładnik
Logarytm potęgi liczby
Wykładnik potęgi przechodzi przed logarytm jako mnożnik.
\[
\log_a(x^r)=r\log_a x \qquad (x>0,\; r\in\mathbb{R})
\]
6
Zmiana podstawy logarytmu
Wzór na zmianę podstawy
\[
\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}
\qquad (a>0,\;a\neq 1,\;c>0,\;c\neq 1,\;b>0)
\]
\[
\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}
\qquad (a>0,\;a\neq 1,\;b>0)
\]
