Przykłady – obliczanie logarytmów
1. Oblicz
1
Oblicz \(\log_2 128\)
Zadanie 1
\[\log_2 128\]
Rozwiązanie
- \(128=2^7\).
- \(\log_2 128=\log_2(2^7)=7\).
2
Oblicz \(\log_2 \frac{1}{32}\)
Zadanie 2
\[\log_2 \frac{1}{32}\]
Rozwiązanie
- \(\frac{1}{32}=2^{-5}\).
- \(\log_2(2^{-5})=-5\).
3
Oblicz \(\log_2 0{,}0625\)
Zadanie 3
\[\log_2 0{,}0625\]
Rozwiązanie
- \(0{,}0625=\frac{1}{16}=2^{-4}\).
- \(\log_2(2^{-4})=-4\).
4
Oblicz \(\log_4 256\)
Zadanie 4
\[\log_4 256\]
Rozwiązanie
- \(256=2^8\), a \(4=2^2\).
- Szukamy \(c\): \((2^2)^c=2^8 \Rightarrow 2^{2c}=2^8\Rightarrow 2c=8\Rightarrow c=4\).
- \(\log_4 256=4\).
5
Oblicz \(\log_4 \frac{1}{64}\)
Zadanie 5
\[\log_4 \frac{1}{64}\]
Rozwiązanie
- \(\frac{1}{64}=2^{-6}\), a \(4=2^2\).
- \((2^2)^c=2^{-6}\Rightarrow 2^{2c}=2^{-6}\Rightarrow 2c=-6\Rightarrow c=-3\).
- \(\log_4\frac{1}{64}=-3\).
6
Oblicz \(\log_3 \sqrt{27}\)
Zadanie 6
\[\log_3 \sqrt{27}\]
Rozwiązanie
- \(27=3^3\), więc \(\sqrt{27}=27^{1/2}=(3^3)^{1/2}=3^{3/2}\).
- \(\log_3(3^{3/2})=\frac{3}{2}\).
7
Oblicz \(\log_5 0{,}008\)
Zadanie 7
\[\log_5 0{,}008\]
Rozwiązanie
- \(0{,}008=\frac{1}{125}=5^{-3}\).
- \(\log_5(5^{-3})=-3\).
8
Oblicz \(\log_5 250\)
Zadanie 8
\[\log_5 250\]
Rozwiązanie
- \(250=25\cdot 10=5^2\cdot 10\) — nie jest potęgą \(5\).
- Najprościej: \(\log_5 250=\log_5(5^3\cdot 2)=3+\log_5 2\).
- To jest forma dokładna bez kalkulatora: \(\boxed{3+\log_5 2}\).
2. Oblicz (podstawa mniejsza od 1)
9
Oblicz \(\log_{1/2} 32\)
Zadanie 9
\[\log_{1/2} 32\]
Rozwiązanie
- Szukamy \(c\): \(\left(\frac12\right)^c=32=2^5\).
- \(\left(\frac12\right)^c=2^{-c}\), więc \(2^{-c}=2^5\Rightarrow -c=5\Rightarrow c=-5\).
- \(\log_{1/2}32=-5\).
10
Oblicz \(\log_{0{,}25} 16\)
Zadanie 10
\[\log_{0{,}25} 16\]
Rozwiązanie
- \(0{,}25=\frac14=2^{-2}\), a \(16=2^4\).
- \((2^{-2})^c=2^4\Rightarrow 2^{-2c}=2^4\Rightarrow -2c=4\Rightarrow c=-2\).
- \(\log_{0{,}25}16=-2\).
11
Oblicz \(\log_{0{,}2} 0{,}008\)
Zadanie 11
\[\log_{0{,}2} 0{,}008\]
Rozwiązanie
- \(0{,}2=\frac15=5^{-1}\).
- \(0{,}008=\frac{1}{125}=5^{-3}\).
- \((5^{-1})^c=5^{-3}\Rightarrow 5^{-c}=5^{-3}\Rightarrow c=3\).
- \(\log_{0{,}2}0{,}008=3\).
12
Oblicz \(\log_{1/3} \sqrt{3}\)
Zadanie 12
\[\log_{1/3} \sqrt{3}\]
Rozwiązanie
- \(\sqrt{3}=3^{1/2}\), a \(\frac13=3^{-1}\).
- \((3^{-1})^c=3^{1/2}\Rightarrow 3^{-c}=3^{1/2}\Rightarrow -c=\frac12\Rightarrow c=-\frac12.\)
- \(\log_{1/3}\sqrt{3}=-\frac12\).
3. Oblicz (logarytm w wykładniku)
13
Oblicz \(2^{\log_2 7}\)
Zadanie 13
\[2^{\log_2 7}\]
Rozwiązanie
- Korzystamy z własności \(a^{\log_a b}=b\).
- \(2^{\log_2 7}=7\).
14
Oblicz \(\left(\frac13\right)^{\log_{1/3} 5}\)
Zadanie 14
\[\left(\frac13\right)^{\log_{1/3} 5}\]
Rozwiązanie
- Znów \(a^{\log_a b}=b\).
- \(\left(\frac13\right)^{\log_{1/3} 5}=5\).
15
Oblicz \(4^{\log_2 9}\)
Zadanie 15
\[4^{\log_2 9}\]
Rozwiązanie
- \(4=2^2\), więc \(4^{\log_2 9}=(2^2)^{\log_2 9}=2^{2\log_2 9}\).
- \(2^{2\log_2 9}=\left(2^{\log_2 9}\right)^2=9^2=81\).
- \(4^{\log_2 9}=81\).
16
Oblicz \(81^{\log_3 2}\)
Zadanie 16
\[81^{\log_3 2}\]
Rozwiązanie
- \(81=3^4\).
- \((3^4)^{\log_3 2}=3^{4\log_3 2}=\left(3^{\log_3 2}\right)^4=2^4=16\).
- \(81^{\log_3 2}=16\).
4. Oblicz (logarytmy dziesiętne)
17
Oblicz \(\log 10000\)
Zadanie 17
\[\log 10000\]
Rozwiązanie
- \(10000=10^4\).
- \(\log 10000=\log(10^4)=4\).
18
Oblicz \(\log 0{,}00001\)
Zadanie 18
\[\log 0{,}00001\]
Rozwiązanie
- \(0{,}00001=10^{-5}\).
- \(\log(10^{-5})=-5\).
19
Oblicz \(\log \sqrt{10}\)
Zadanie 19
\[\log \sqrt{10}\]
Rozwiązanie
- \(\sqrt{10}=10^{1/2}\).
- \(\log(10^{1/2})=\frac12\).
20
Oblicz \(\log\big(10\sqrt{10}\big)\)
Zadanie 20
\[\log\big(10\sqrt{10}\big)\]
Rozwiązanie
- \(10\sqrt{10}=10\cdot 10^{1/2}=10^{3/2}\).
- \(\log(10^{3/2})=\frac{3}{2}\).
