Twierdzenie o zamianie podstawy
Jeżeli \(a, b \in (0, 1) \cup (1, +\infty)\) oraz \(c > 0\), to prawdziwe są wzory:
\[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \qquad \text{oraz} \qquad \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \]
Dowód twierdzenia
Aby udowodnić wzór \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \), przyjmijmy oznaczenie:
- Niech \( \log_a b = x \). Z definicji logarytmu wynika, że \( a^x = b \).
- Logarytmujemy obie strony równania logarytmem o nowej podstawie \( c \): \[ \log_c(a^x) = \log_c b \]
- Korzystamy z twierdzenia o logarytmie potęgi: \[ x \cdot \log_c a = \log_c b \]
- Wyznaczamy \( x \), dzieląc obustronnie przez \( \log_c a \) (pamiętając, że \( \log_c a \neq 0 \), bo \( a \neq 1 \)): \[ x = \frac{\log_c b}{\log_c a} \]
- Wracając do podstawienia, otrzymujemy tezę: \[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \]
Zadania treningowe
1 Iloraz logarytmów
Oblicz wartość: \[ \frac{\log_5 64}{\log_5 4} \]
🔍 Zobacz rozwiązanie
Stosujemy wzór na zamianę podstawy w drugą stronę: \( \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b \).
\[ \frac{\log_5 64}{\log_5 4} = \log_4 64 = \mathbf{3} \]
\[ \frac{\log_5 64}{\log_5 4} = \log_4 64 = \mathbf{3} \]
2 Iloczyn logarytmów
Oblicz wartość: \[ \log_2 7 \cdot \log_7 16 \]
🔍 Zobacz rozwiązanie
Zamieniamy podstawę drugiego logarytmu na \( 2 \):
\[ \log_2 7 \cdot \frac{\log_2 16}{\log_2 7} = \log_2 16 = \mathbf{4} \]
3 Suma wielu odwrotności
Oblicz: \[ \frac{1}{\log_2 30} + \frac{1}{\log_3 30} + \frac{1}{\log_5 30} \]
🔍 Zobacz rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na odwrotność \( \frac{1}{\log_a b} = \log_b a \):
\[ \log_{30} 2 + \log_{30} 3 + \log_{30} 5 = \log_{30} (2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_{30} 30 = \mathbf{1} \]
4 Mieszane podstawy
Oblicz: \[ \log_4 5 \cdot \log_{25} 64 \]
🔍 Zobacz rozwiązanie
Sprowadzamy wszystko do wspólnej podstawy \( 2 \):
\[ \frac{\log_2 5}{\log_2 4} \cdot \frac{\log_2 64}{\log_2 25} = \frac{\log_2 5}{2} \cdot \frac{6}{2\log_2 5} = \frac{6}{4} = \mathbf{1,5} \]
5 Zadanie z parametrem
Wiadomo, że \( \log_3 2 = p \). Wyznacz \( \log_{16} 27 \).
🔍 Zobacz rozwiązanie
Zamieniamy podstawę na \( 3 \):
\[ \log_{16} 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 16} = \frac{3}{\log_3 2^4} = \frac{3}{4\log_3 2} \]
Podstawiając \( p \):
\[ \text{Wynik: } \mathbf{\frac{3}{4p}} \]
6 Odwrotność podstawowa
Oblicz: \[ \log_2 3 \cdot \log_3 2 \]
🔍 Zobacz rozwiązanie
Zauważamy, że logarytmy są swoimi odwrotnościami:
\[ \log_2 3 \cdot \frac{1}{\log_2 3} = \mathbf{1} \]
7 Logarytm dziesiętny
Oblicz: \[ \frac{\log 125}{\log 5} \]
🔍 Zobacz rozwiązanie
\[ \frac{\log_{10} 125}{\log_{10} 5} = \log_5 125 = \mathbf{3} \]
8 Pierwiastek w liczbie logarytmowanej
Oblicz wartość wyrażenia: \[ \frac{1}{\log_9 \sqrt{3}} \]
🔍 Zobacz rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na odwrotność:
\[ \frac{1}{\log_9 \sqrt{3}} = \log_{\sqrt{3}} 9 \]
Szukamy potęgi \( x \), takiej że \( (\sqrt{3})^x = 9 \):
\[ (3^{1/2})^x = 3^2 \implies \frac{1}{2}x = 2 \implies \mathbf{x = 4} \]
9 Logarytm z potęgą
Oblicz: \[ \log_7 2 \cdot \log_2 49 \]
🔍 Zobacz rozwiązanie
\[ \log_7 2 \cdot \frac{\log_7 49}{\log_7 2} = \log_7 49 = \mathbf{2} \]
10 Uproszczenie wyrażenia
Uprość: \[ \log_a \sqrt{b} \cdot \log_b a^2 \]
🔍 Zobacz rozwiązanie
Wyprowadzamy wykładniki przed logarytm:
\[ \frac{1}{2} \log_a b \cdot 2 \log_b a \]
Ponieważ \( \log_a b \cdot \log_b a = 1 \), otrzymujemy:
\[ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = \mathbf{1} \]
