Wzór ogólny i zastosowania
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
W tym materiale skupiamy się wyłącznie na zastosowaniach wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego w różnych typach zadań.
1) Wzór podstawowy
\[ a_n = a_1 + (n-1)\,r \]
- \(a_1\) – pierwszy wyraz,
- \(r\) – różnica ciągu.
2) Wersja „od dowolnego wyrazu”
Gdy znasz \(a_k\) i \(r\), to wygodnie użyć:
\[ a_n = a_k + (n-k)\,r \]
3) Dwie szybkie wskazówki do zadań
- „Którym wyrazem jest liczba \(x\)?” – rozwiązujesz równanie \(a_n=x\) względem \(n\).
- „Ile jest wyrazów, jeśli znamy \(a_1, a_n, r\)?” – z równania \(a_n=a_1+(n-1)r\) wyznaczasz \(n\).
Zadania i rozwiązania
Zastosowanie wzoru \(a_n\) – pakiet zadań
Kategoria I: Zapisz wzór ogólny (znasz \(a_1\) i \(r\)) + policz konkretny wyraz
1 Zapisz wzór ogólny i oblicz \(a_{12}\), gdy \(a_1=9\), \(r=3\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_n=9+(n-1)\cdot3=9+3n-3=3n+6 \] \[ a_{12}=3\cdot12+6=36+6=\mathbf{42} \]
2 Zapisz wzór ogólny i oblicz \(a_{12}\), gdy \(a_1=14\), \(r=-4\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_n=14+(n-1)(-4)=14-4n+4=-4n+18 \] \[ a_{12}=-4\cdot12+18=-48+18=\mathbf{-30} \]
3 Zapisz wzór ogólny i oblicz \(a_{12}\), gdy \(a_1=48\), \(r=-\frac{3}{4}\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_n=48+(n-1)\left(-\frac34\right)=48-\frac34n+\frac34 =\frac{195}{4}-\frac{3}{4}n \] \[ a_{12}=48+11\left(-\frac34\right)=48-\frac{33}{4}=\frac{192-33}{4}=\mathbf{\frac{159}{4}} \]
4 Zapisz wzór ogólny i oblicz \(a_{12}\), gdy \(a_1=-7\), \(r=-9\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_n=-7+(n-1)(-9)=-7-9n+9=-9n+2 \] \[ a_{12}=-9\cdot12+2=-108+2=\mathbf{-106} \]
5 Zapisz wzór ogólny i oblicz \(a_{12}\), gdy \(a_1=\frac{5}{6}\), \(r=\frac{1}{3}\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_n=\frac56+(n-1)\cdot\frac13=\frac56+\frac{n-1}{3} \] \[ a_{12}=\frac56+11\cdot\frac13=\frac56+\frac{11}{3} =\frac{5}{6}+\frac{22}{6}=\mathbf{\frac{27}{6}=\frac{9}{2}} \]
6 Zapisz wzór ogólny i oblicz \(a_{12}\), gdy \(a_1=1-\sqrt{3}\), \(r=\sqrt{3}\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_n=(1-\sqrt3)+(n-1)\sqrt3=1-\sqrt3+n\sqrt3-\sqrt3=1+(n-2)\sqrt3 \] \[ a_{12}=1+(12-2)\sqrt3=1+10\sqrt3=\mathbf{1+10\sqrt3} \]Kategoria II: Oblicz \(a_n\) znając \(a_k\) i \(r\) (wersja „od dowolnego wyrazu”)
7 Oblicz \(a_{52}\), gdy \(a_{19}=-11\) oraz \(r=2\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_{52}=a_{19}+(52-19)\cdot2=-11+33\cdot2=-11+66=\mathbf{55} \]
8 Oblicz \(a_{40}\), gdy \(a_{12}=7\) oraz \(r=-3\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_{40}=7+(40-12)(-3)=7+28(-3)=7-84=\mathbf{-77} \]Kategoria III: Wyznacz różnicę \(r\) z dwóch wyrazów
9 Wyznacz \(r\), gdy \(a_1=2\) oraz \(a_4=14\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_4=a_1+3r \Rightarrow 14=2+3r \Rightarrow 12=3r \Rightarrow \mathbf{r=4} \]
10 Wyznacz \(r\), gdy \(a_1=-5\) oraz \(a_9=27\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_9=a_1+8r \Rightarrow 27=-5+8r \Rightarrow 32=8r \Rightarrow \mathbf{r=4} \]
11 Wyznacz \(r\), gdy \(a_6=-12\) oraz \(a_8=-4\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_8-a_6=(a_1+7r)-(a_1+5r)=2r \] \[ -4-(-12)=8=2r \Rightarrow \mathbf{r=4} \]
12 Wyznacz \(r\), gdy \(a_{13}=20\) oraz \(a_{25}=-4\).
🔍 Rozwiązanie
\[ a_{25}-a_{13}=(a_1+24r)-(a_1+12r)=12r \] \[ -4-20=-24=12r \Rightarrow \mathbf{r=-2} \]Kategoria IV: Którym wyrazem jest liczba \(x\)? (z podanego wzoru \(a_n\))
13 Dany \(a_n=5n-3\). Którym wyrazem jest \(x=97\)?
🔍 Rozwiązanie
\[ 5n-3=97 \Rightarrow 5n=100 \Rightarrow \mathbf{n=20} \]
14 Dany \(a_n=30-7n\). Którym wyrazem jest \(x=-5\)?
🔍 Rozwiązanie
\[ 30-7n=-5 \Rightarrow -7n=-35 \Rightarrow \mathbf{n=5} \]
15 Dany \(a_n=2(n-1)+n\). Którym wyrazem jest \(x=83\)?
🔍 Rozwiązanie
\[ a_n=2n-2+n=3n-2 \] \[ 3n-2=83 \Rightarrow 3n=85 \Rightarrow \mathbf{n=\frac{85}{3}} \] To nie jest liczba naturalna, więc \(83\) nie jest wyrazem tego ciągu.Kategoria V: Którym wyrazem jest \(x\)? (z podanych początkowych wyrazów)
16 Ciąg: \(4,9,14,\ldots\). Którym wyrazem jest \(x=69\)?
\[ 69=4+(n-1)\cdot5 \Rightarrow 65=5(n-1) \Rightarrow n-1=13 \Rightarrow \mathbf{n=14} \]
🔍 Rozwiązanie
\(a_1=4,\ r=5\).\[ 69=4+(n-1)\cdot5 \Rightarrow 65=5(n-1) \Rightarrow n-1=13 \Rightarrow \mathbf{n=14} \]
17 Ciąg: \(18,12,6,\ldots\). Którym wyrazem jest \(x=-42\)?
\[ -42=18+(n-1)(-6)\Rightarrow -60=-6(n-1)\Rightarrow n-1=10\Rightarrow \mathbf{n=11} \]
🔍 Rozwiązanie
\(a_1=18,\ r=-6\).\[ -42=18+(n-1)(-6)\Rightarrow -60=-6(n-1)\Rightarrow n-1=10\Rightarrow \mathbf{n=11} \]
18 Ciąg: \(7\frac{1}{4},\,7\frac{3}{4},\,8\frac{1}{4},\ldots\). Którym wyrazem jest \(x=15\frac{3}{4}\)?
\[ \frac{63}{4}=\frac{29}{4}+(n-1)\cdot\frac12 \Rightarrow \frac{34}{4}=\frac{n-1}{2} \Rightarrow \frac{17}{2}=\frac{n-1}{2} \Rightarrow \mathbf{n=18} \]
🔍 Rozwiązanie
\(a_1=\frac{29}{4},\ r=\frac{1}{2}\).\[ \frac{63}{4}=\frac{29}{4}+(n-1)\cdot\frac12 \Rightarrow \frac{34}{4}=\frac{n-1}{2} \Rightarrow \frac{17}{2}=\frac{n-1}{2} \Rightarrow \mathbf{n=18} \]
19 Ciąg: \(\sqrt2,\,3\sqrt2,\,5\sqrt2,\ldots\). Którym wyrazem jest \(x=29\sqrt2\)?
\[ 29\sqrt2=\sqrt2+(n-1)\cdot2\sqrt2 \Rightarrow 29=1+2(n-1) \Rightarrow 28=2n-2 \Rightarrow \mathbf{n=15} \]
🔍 Rozwiązanie
\(a_1=\sqrt2,\ r=2\sqrt2\).\[ 29\sqrt2=\sqrt2+(n-1)\cdot2\sqrt2 \Rightarrow 29=1+2(n-1) \Rightarrow 28=2n-2 \Rightarrow \mathbf{n=15} \]
Kategoria VI: Wyznacz liczbę wyrazów \(n\) (znasz \(a_1, a_n, r\))
20 Wyznacz \(n\), gdy \(a_1=6\), \(a_n=96\), \(r=5\).
🔍 Rozwiązanie
\[ 96=6+(n-1)\cdot5 \Rightarrow 90=5(n-1)\Rightarrow n-1=18 \Rightarrow \mathbf{n=19} \]
21 Wyznacz \(n\), gdy \(a_1=-20\), \(a_n=15\), \(r=\frac{5}{2}\).
🔍 Rozwiązanie
\[ 15=-20+(n-1)\cdot\frac{5}{2} \Rightarrow 35=\frac{5}{2}(n-1) \Rightarrow 14=n-1 \Rightarrow \mathbf{n=15} \]
22 Wyznacz \(n\), gdy \(a_1=3{,}2\), \(a_n=40{,}7\), \(r=2{,}5\).
🔍 Rozwiązanie
\[ 40{,}7=3{,}2+(n-1)\cdot2{,}5 \Rightarrow 37{,}5=2{,}5(n-1) \Rightarrow n-1=15 \Rightarrow \mathbf{n=16} \]Kategoria VII: Zadania „maturalne” (testowe) – też na wzór \(a_n\)
23 W ciągu arytmetycznym dane są \(a_1=3\) i \(a_2=8\). Wybierz poprawny wzór na \(a_n\):
A. \(a_n=5n-2\) B. \(a_n=5n+3\) C. \(a_n=3n+2\) D. \(a_n=8n-5\)
\[ a_n=3+(n-1)\cdot5=3+5n-5=5n-2 \] Poprawna: A.
A. \(a_n=5n-2\) B. \(a_n=5n+3\) C. \(a_n=3n+2\) D. \(a_n=8n-5\)
🔍 Rozwiązanie
\(r=8-3=5\).\[ a_n=3+(n-1)\cdot5=3+5n-5=5n-2 \] Poprawna: A.
24 Liczby \(9,5,1\) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Wybierz wzór ogólny:
A. \(a_n=-4n+13\) B. \(a_n=4n+5\) C. \(a_n=-2n+11\) D. \(a_n=-3n+12\)
\[ a_n=9+(n-1)(-4)=9-4n+4=-4n+13 \] Poprawna: A.
A. \(a_n=-4n+13\) B. \(a_n=4n+5\) C. \(a_n=-2n+11\) D. \(a_n=-3n+12\)
🔍 Rozwiązanie
\(a_1=9,\ r=5-9=-4\).\[ a_n=9+(n-1)(-4)=9-4n+4=-4n+13 \] Poprawna: A.
25 W ciągu arytmetycznym \(a_1=6\) i \(a_2=10\). Wyraz \(a_{15}\) jest równy:
A. \(58\) B. \(62\) C. \(66\) D. \(70\)
\[ a_{15}=6+14\cdot4=6+56=\mathbf{62} \] Poprawna: B.
🔍 Rozwiązanie
\(r=4\).\[ a_{15}=6+14\cdot4=6+56=\mathbf{62} \] Poprawna: B.
26 W ciągu arytmetycznym dane są \(a_4=18\) i \(a_7=30\). Wtedy \(a_1\) jest równe:
A. \(2\) B. \(6\) C. \(10\) D. \(14\)
🔍 Rozwiązanie
\[ a_7-a_4=3r \Rightarrow 30-18=12=3r \Rightarrow r=4 \] \[ a_4=a_1+3r \Rightarrow 18=a_1+12 \Rightarrow \mathbf{a_1=6} \] Poprawna: B.
27 Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(11\), a różnica \(r=-\frac{5}{2}\). Siódmy wyraz jest równy:
A. \( \frac{57}{2} \) B. \( \frac{47}{2} \) C. \( -\frac{47}{2} \) D. \( -\frac{57}{2} \)
🔍 Rozwiązanie
\[ a_{14}=a_7+(14-7)r=a_7+7r \Rightarrow 11=a_7+7\left(-\frac52\right) \Rightarrow 11=a_7-\frac{35}{2} \] \[ a_7=11+\frac{35}{2}=\frac{22}{2}+\frac{35}{2}=\mathbf{\frac{57}{2}} \] Poprawna: A.
28 W ciągu arytmetycznym \(a_6=4\) oraz \(a_9=19\). Wtedy \(a_{12}\) jest równe:
A. \(29\) B. \(34\) C. \(39\) D. \(44\)
🔍 Rozwiązanie
\[ a_9-a_6=3r \Rightarrow 19-4=15=3r \Rightarrow r=5 \] \[ a_{12}=a_9+(12-9)r=19+3\cdot5=\mathbf{34} \] Poprawna: B.
29 Ciąg arytmetyczny spełnia warunek \(a_4+a_5+a_6=24\). Wtedy:
A. \(a_5=8\) B. \(a_5=7\) C. \(a_5=6\) D. \(a_5=9\)
🔍 Rozwiązanie
W ciągu arytmetycznym suma trzech kolejnych wyrazów to \(3\) razy środkowy: \[ a_4+a_5+a_6=3a_5 \Rightarrow 24=3a_5 \Rightarrow \mathbf{a_5=8} \] Poprawna: A.
30 Dany jest ciąg arytmetyczny: \(a_1=4\), \(a_2=13\). Dla jakiego \(n\) zachodzi \(a_n=148\)?
\[ 148=4+(n-1)\cdot9 \Rightarrow 144=9(n-1)\Rightarrow n-1=16 \Rightarrow \mathbf{n=17} \]
🔍 Rozwiązanie
\(r=9\).\[ 148=4+(n-1)\cdot9 \Rightarrow 144=9(n-1)\Rightarrow n-1=16 \Rightarrow \mathbf{n=17} \]
